第八章 平面电磁波 主 要 内 容 理想介质中的平面波、平面波极化特性、平面边界上的正投射、任意方向传播的平面波的表示、平面边界上的斜投射、各向异性介质中的平面波 1. 波动方程 2. 理想介质中平面波 3. 导电介质中平面波 4. 平面波极化特性 5. 平面波对平面边界正投射

6. 平面波对多层边界上正投射 7. 任意方向传播的平面波 8. 平面波对理想介质边界斜投射 9. 无反射与全反射 10. 平面波对导电介质表面斜投射 11. 平面波对理想导电表面斜投射 12. 等离子体中的平面波 13. 铁氧体中的平面波

1. 波动方程 在无限大的各向同性均匀线性介质中，时变电磁场的方程为 上式称为非齐次波动方程。 式中

电荷体密度 (r, t)与传导电流 (E ) 的关系为 若无外源( )，且为理想介质( )，此时传导电流为零，自然也无体分布的时变电荷( )，则上述波动方程变为 此式称为齐次波动方程。 对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波动方程。

对于正弦电磁场，则上式变为 此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中， 。 在直角坐标系中，各个分量分别满足下列方程： 这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。 由于各个分量方程结构相同，其解具有同一形式。

若场量仅与 z 变量有关，则可证明 。 若场量与变量 x 及 y 无关，则 因 ，得 考虑到 代入标量亥姆霍兹方程，即知

2. 理想介质中平面波 正弦电磁场在无外源的理想介质中满足下列方程 若电场强度E 仅与 z 有关，则不可能存在 z 分量。 令电场强度方向为 x 方向，即 ，则磁场强度 H 为

因 得 已知Ex 满足齐次标量亥姆霍兹方程，考虑到 这是一个二阶常微分方程，其通解为 上式第一项代表向正 z 轴方向传播的波，第二项反之。

首先仅考虑向正 z 轴方向传播的波，即 式中，Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值。 瞬时值为 可见，电磁波向正 z 方向传播。 Ex(z, t) z O  电场强度随着时间 t 及空间 z 的变化波形如图所示。  t1 = 0 可见，电磁波向正 z 方向传播。

上式中  t 称为时间相位。kz 称为空间相位。 空间相位相等的点组成的曲面称为波面。 由上式可见，Z = 常数的平面为波面。因此，这种电磁波称为平面波。 因Ex(z)与 x, y 无关，在 Z = 常数的波面上，各点场强振幅相等。因此，这种平面波又称为均匀平面波。

时间相位  t 变化 2 所经历的时间称为周期( T )。 一秒内相位变化 2 的次数称为频率( f )。 空间相位 kz 变化 2 所经过的距离称为波长( ) 。 频率描述电磁波的相位随时间的变化特性。 波长描述电磁波的相位随空间的变化特性。 k 表示单位长度内的相位变化，因此称为相位常数。

空间相位变化 2 相当于一个全波，k 的大小又可衡量单位长度内具有的全波数目，所以 k 又称为波数，还可称为空间频率。 根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这种相位速度以 vp 表示。 令 ，得 ，则相位速度 为 相位速度又简称为相速。 考虑到 ，得

在理想介质中，相速与介质特性有关。 理想介质中相速通常小于真空中的光速。 有时 。因此，相速不一定代表能量传播速度。 由上可得 平面波的频率是由波源决定的，但是平面波的相速与介质特性有关。因此，平面波的波长与介质特性有关。

由上求得 式中 0 为平面波在真空中传播时的波长。 的现象称为波长缩短效应，或简称为缩波效应。 由 可得 可见，在理想介质中，电场与磁场相位相同，且两者空间相位均与变量z有关，但振幅不会改变。

上图表示 时刻，电场及磁场的空间变化特性。 Hy O z Ex 上图表示 时刻，电场及磁场的空间变化特性。 电场强度与磁场强度之比称为电磁波的波阻抗，以 Z 表示, 即 实数 当平面波在真空中传播时，波阻抗以Z0表示，则

均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式表示为 Ex Hy z 或 对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向分量，因此称为横电磁波，或称为TEM波。以后将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的非TEM波。 T － Transverse 均匀平面波是TEM波，只有非均匀平面波才可形成非TEM波，但是TEM波也可以是非均匀平面波。

复能流密度矢量为实数，虚部为零。这就表明，电磁波能量仅向正 z 方向单向流动。 复能流密度矢量 Sc 复能流密度矢量为实数，虚部为零。这就表明，电磁波能量仅向正 z 方向单向流动。 若沿能流方向取出一个圆柱体，如图所示。 设圆柱体中能量密度为wav，能流密度的平均值为Sav，则柱中总储能为(wav Al)，单位时间内穿过端面 A 的总能量为(Sav A)。 l S A

若圆柱体中全部储能在 t 时间内全部穿过端面 A ，则 l S A 式中比值 代表单位时间内的能量位移，因此该比值称为能量速度，或简称能速，以 ve 表示。 求得 又知 ， ，代入上式得 在理想介质中

均匀平面波的波面是无限大的平面，波面上各点的场强振幅又均匀分布，因而波面上各点的能流密度相同，可见这种均匀平面波具有无限大的能量。因此，实际中不可能存在这种均匀平面波。 当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者仅限于局部区域，则可以近似作为均匀平面波。 利用空间傅里叶变换，可将非平面波展开为很多平面波之和。

例 已知均匀平面波电场强度的瞬时值为 试求：① 频率及波长；② 电场强度及磁场强度的复矢量；③ 复能流密度矢量；④ 相速及能速。 解 ① ； ② ； ③ ④

电磁波的波段划分及其应用 名 称 频率范围 波长范围 典型业务 甚低频VLF[超长波] 3~30kHz 100~10km 导航，声呐 名 称 频率范围 波长范围 典型业务 甚低频VLF[超长波] 3~30kHz 100~10km 导航，声呐 低频LF[长波，LW] 30~300kHz 10~1km 导航，频标 中频MF[中波, MW] 300~3000kHz 1km~100m AM, 海上通信 高频HF[短波, SW] 3~30MHz 100m~10m AM, 通信 甚高频VHF[超短波] 30~300MHz 10~1m TV, FM, MC 特高频UHF[微波] 300~3000MHz 100~10cm TV, MC, GPS 超高频SHF[微波] 3~30GHz 10~1cm SDTV, 通信,雷达 极高频EHF[微波] 30~300GHz 10~1mm 通信, 雷达 光频 [光波] 1~50THz 300~0.006m 光纤通信

中波调幅广播（AM）：550~1650kHz 短波调幅广播（AM）：2~30MHz 调频广播（FM）：88~108MHz 电视频道（ TV）：50~100MHz ; 170~220MHz 470~870MHz 无绳电话(Cordless Phone): 50MHz; 900MHz; 2.4GHz ; 5.8GHz 蜂窝电话(Cellular Phone): 900MHz; 1.8GHz; 1.9GHz 卫星直播: SDTV: 4~6GHz; 12~14GHz. SDB: 12~14GHz 全球卫星定位系统（GPS）：L1 =1575.42MHz L2 =1227.60MHz, L3 =1176.45MHz 光纤通信： 1.55m ，1.33m ，0.85m ISM波段： 902~928MHz，2.4~2.4835GHz，5.725~5.850GHz

3. 导电介质中平面波 若   0 ，则在无外源 (J  = 0 ) 区域中 令 式中 e 称为等效介电常数。 由此推知导电媒质中正弦电磁场应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程

令 则 若仍然令 ，且 ，则只要以 kc 代替 k 即可求得其解为 因常数 kc 为复数，令 求得

电场强度可表示为 上式表明电场强度的振幅随 z 增加不断衰减，相位逐渐滞后。 k 称为相位常数，单位为rad/m； k 称为衰减常数，单位为Np/m，而 kc 称为传播常数。 相速为 可见，相速不仅与介质参数有关，还与频率有关。

各个频率分量以不同的相速传播，经过一段距离后，各个频率分量之间的相位关系将发生变化，导致信号失真，这种现象称为色散。所以导电介质又称为色散介质。 波长为 波长不仅与介质参数有关，而且与频率的关系是非线性的。

波阻抗为 复数 复数波阻抗表明电场强度与磁场强度不同相。 磁场强度为 可见，磁场的振幅也不断衰减，且与电场强度的相位不同。

Hy Ex O z 因为电场强度与磁场强度的相位不同，复能流密度的实部及虚部均不会为零，这就表明平面波在导电介质中传播时，既有单向流动的传播能量，又有来回流动的交换能量。

第一，若 ，如低电导率的介质，可以近似认为 那么 可见，电场强度与磁场强度同相，但两者振幅仍不断衰减。电导率 愈大，则振幅衰减愈大。

第二，若 ，如良导体，可以近似认为 那么 可见，电场强度与磁场强度不同相，且因 很大，振幅发生急剧衰减，以致于电磁波无法进入良导体深处，这种现象称为集肤效应。 集肤深度 令

一定厚度的金属板即可屏蔽高频时变电磁场。 f /MHz 0.05 1  /mm 29.8 0.066 0.000 38 一定厚度的金属板即可屏蔽高频时变电磁场。 介 质 频 率 / MHz 干 土 2.6 (短波) 湿 土 6.0 (短波) 淡 水 0.22 (中波) 海 水 890 (超短波) 硅 (微波) 锗 铂 (光波) 铜 对应于比值 的频率称为界限频率，它是划分介质属于低耗介质或导体的界限。 考虑到 可见，非理想介质中以位移电流为主，良导体中以传导电流为主。

电导率 引起热损耗，所以导电介质又称为有耗介质，而理想介质又称为无耗介质。 考虑到极化损耗和磁化损耗时，介电常数及磁导率皆为复数， 即 复介电常数和复磁导率的虚部代表损耗。 损耗正切 非铁磁性物质可以不计磁化损耗。 对于频率低于微波的电磁波，介质的极化损耗也可不计。

例 已知向正 z 方向传播的均匀平面波的频率为 5 MHz ， 处电场强度为 x方向，其有效值为100V/m。若 区域为海水，其电磁特性参数为 试求: ① 该平面波在海水中的 。② 在 处的 。 解 ① 良导体 求得

② 海水中z = 0.8m 处的场强的复振幅为 瞬时值为 复能流密度为

4. 平面波极化特性 电场强度的方向随时间变化的规律称为电磁波的极化特性。 设电场强度的瞬时值为 在空间任一固定点，电场强度矢量的端点随时间的变化轨迹为与 x 轴平行的直线。因此，这种极化特性称为线极化，其极化方向为 x 方向。 设另一同频率的 y 方向极化的线极化平面波的瞬时值为

上述两个相互正交的线极化平面波 Ex 及 Ey 合成后，其瞬时值的大小为  O Ey Ex E y x  O Ey Ex E y x  O 可见，合成波电场强度矢量端点的变化轨迹是与 x 轴夹角为  的一条直线。因此，合成波仍然是线极化波。

若Ex 与 Ey 的振幅相等，结果如何？ 若Ex 与 Ey 的相位相反，结果如何？ 两个相位相同或相反、空间相互正交的线极化平面波，合成后仍然形成一个线极化平面波。反之，任一线极化波可以分解为两个相位相同或相反的空间相互正交的线极化波。 若两个线极化波 Ex 及 Ey 的相位差为 ，但振幅皆为Em , 即

则合成波瞬时值的大小为 合成波矢量与 x 轴的夹角  为 即 可见，对于某一固定的 z 点，夹角为时间 t 的函数。 电场强度矢量的方向随时间不断地旋转，但其大小不变。因此，合成波的电场强度矢量的端点轨迹为一个圆，这种变化规律称为圆极化。

上式表明，当t 增加时，夹角 不断地减小，合成波矢量随着时间的旋转方向与传播方向 ez 构成左旋关系，这种圆极化波称为左旋圆极化波。 Ey Ex E y x  O 右旋 z y x O 左旋 上式表明，当t 增加时，夹角 不断地减小，合成波矢量随着时间的旋转方向与传播方向 ez 构成左旋关系，这种圆极化波称为左旋圆极化波。

若Ey比Ex滞后 ，则合成波矢量与x轴的夹角 。可见，对于空间任一固定点，夹角 随时间增加而增加，合成波矢量随着时间的旋转方向与传播方向 ez 构成右旋关系，因此，这种极化波称为右旋圆极化波。 两个振幅相等，相位相差 的空间相互正交的线极化波，合成后形成一个圆极化波。反之，一个圆极化波也可以分解为两个振幅相等，相位相差 的空间相互正交的线极化波。 一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。反之亦然。

若上述两个相互正交的线极化波 Ex 和 Ey 具有不同振幅及不同相位，即  y x E x' y ' Ey m Ex m 这是一个椭圆方程，它表示合成波矢量的端点轨迹是一个椭圆，因此，这种平面波称为椭圆极化波。

线极化波、圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情况。  y x E x' y ' Ey m Ex m 当 时，Ey 分量比 Ex 滞后，与传播方向ez 形成右旋椭圆极化波； 当 时， Ey 分量比 Ex 导前，与传播方向ez 形成左旋椭圆极化波。 长轴与短轴之比称为椭圆极化波的轴比。 线极化波、圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情况。 各种极化波均可分解为线极化波的合成，因此，仅讨论线极化平面波的传播特性。

平面波在边界上的反射及透射规律与介质特性及边界形状有关。我们仅讨论平面波在无限大的平面边界上的反射及透射特性。 5. 平面波对平面边界正投射 平面波在边界上的反射及透射规律与介质特性及边界形状有关。我们仅讨论平面波在无限大的平面边界上的反射及透射特性。 入射波 反射波 边界 正投射 透射波 首先讨论平面波向平面边界垂直入射的正投射。 边界 斜投射 再讨论平面波以任意角度向平面边界的斜投射。

一个 x 方向极化的平面波向两种介质形成一个无限大的平面边界正投射的情况如图所示。 111 222 z x y 一个 x 方向极化的平面波向两种介质形成一个无限大的平面边界正投射的情况如图所示。 S r S i S t 发生反射与透射时，平面波的极化特性不会发生改变。反射波及透射波仅可具有与入射波相同的分量。

入射波 反射波 透射波 式中 ， ， 分别为 z = 0 边界处各波的振幅。 磁场强度分量为 入射波 反射波 透射波 111 222 z x y S i 入射波 S r 反射波 S t 透射波 式中 ， ， 分别为 z = 0 边界处各波的振幅。 磁场强度分量为 入射波 反射波 ? 透射波

电场强度的切向分量在任何边界上均是连续的，考虑到所讨论的有限电导率边界上不可能存在表面电流，因而磁场强度的切向分量也是连续的。 即在 z = 0 的边界上 求得

边界上反射波电场分量与入射波电场分量之比称为边界上的反射系数，以 R 表示， 即 边界上透射波电场分量与入射波电场分量之比称为边界上的透射系数，以 T 表示, 即

介质①中任一点的合成电场强度与磁场强度可以分别表示为 第一，若介质①为理想介质 ，介质②为理想导体 ，则两种介质的波阻抗分别为 全部电磁能量被边界反射，这种情况称为全反射。

因 ，介质①中任一点合成电场为 对应的瞬时值为 此式表明，介质①中合成电场的相位仅与时间有关，而振幅随 z 的变化为正弦函数。 在 处，任何时刻的电场为零。 在 处，任何时刻的电场振幅最大。 空间各点合成波的相位相同，同时达到最大或最小。平面波在空间没有移动，因此称为驻波。

驻波与行波的特性截然不同，行波的相位沿传播方向不断变化，而驻波的相位与空间无关。 Ex 0>0 z 1 O 1 = 0 2 =  t1 = 0 Ex 0>0 1 z 1 = 0 2 =  O 波节 波腹  t1 = 0 Ex(z, t) z O 驻波与行波的特性截然不同，行波的相位沿传播方向不断变化，而驻波的相位与空间无关。

磁场也形成驻波，但其零值及峰值位置与电场驻波的分布恰好相反，时间相位相差 。 介质①中的合成磁场为 对应的瞬时值为 电场的瞬时值为 Hy 0 z 1 O 1 = 0 2 =  y 磁场也形成驻波，但其零值及峰值位置与电场驻波的分布恰好相反，时间相位相差 。

由于电场与磁场的相位差为 。因此，复能流密度的实部为零，只存在虚部。这就表明介质①中没有能量单向流动，能量仅在电场与磁场之间进行交换。 已知介质①中的合成磁场为 在 边界上，介质①中的合成磁场分量为 ，但介质②中 ，边界上磁场强度的切向分量不连续，因此边界上存在表面电流 JS 。

第二，若介质①为理想介质  = 0 ，介质②为一般导电介质，则介质①的波阻抗及传播常数分别为 反射系数为 式中， 为R 的振幅； 为 R 的相位。 电场强度可用R表示为 在 处，电场振幅取得最大值， 得

两个相邻振幅最大值或最小值之间的距离为半波长。 在 处，电场振幅取得最小值。 得 1 z 反射系数 电场振幅 两个相邻振幅最大值或最小值之间的距离为半波长。 电场振幅的最大值与最小值之比称为驻波比，以 S 表示 。 SWR

当发生全反射时， 。 当 时， 。这种无反射的边界称为匹配边界。 若两种介质均是理想介质，当 时，边界处为电场驻波的最大点；当 时，边界处为电场驻波的最小点。 上述情况不同于前述的完全驻波。此时介质中既有向前传播的行波，又包含能量交换的驻波。

例 已知形成无限大平面边界的两种介质的参数为 ， ； ， 。当一右旋圆极化平面波由介质①向介质②垂直入射时，试求反射波和透射波及其极化特性。 例 已知形成无限大平面边界的两种介质的参数为 ， ； ， 。当一右旋圆极化平面波由介质①向介质②垂直入射时，试求反射波和透射波及其极化特性。 111 222 z x y S t S r S i 解 建立直角坐标系，令边界平面位于平面。入射波、反射波和透射波可以分别表示为

111 222 z x y S t S r S i 反射系数和透射系数分别为 由于反射波及透射波的 y 分量仍然滞后于 x 分量， 但反射波的传播方向为负 z 方向，因此变为左旋圆极化波。透射波的传播方向仍沿正 z 方向，因此还是右旋圆极化波。

以三种介质形成的多层介质为例，说明平面波在多层介质中的传播过程及其求解方法。 6. 平面波对多层边界正投射 以三种介质形成的多层介质为例，说明平面波在多层介质中的传播过程及其求解方法。 Zc1 Zc2 Zc3 −l O z ① ② ③ 在两条边界上发生多次反射与透射现象。

介质①和②中仅存在两种平面波，其一是向正 z 方向传播的波，以 及 表示；另一是向负 z 方向传播的波，以 及 表示。在介质③中仅存在一种向正 z 方向传播的波 。 各层介质中的电场强度可以分别表示为 Zc1 Zc2 Zc3 -l O z ① ② ③

相应的磁场强度分别为 Zc1 Zc2 Zc3 -l O z ① ② ③

根据两条边界上电场切向分量必须连续的边界条件，得 根据两条边界上磁场切向分量必须连续的边界条件，得 是给定的，4 个方程中只有 ， ， 及 等4个未知数，因此完全可以求解。

如果仅需计算第一条边界上的总反射系数，引入输入波阻抗概念可以简化求解过程。 对于 n 层介质，总共只有 (2n–2) 个待求的未知数。但根据 n 层介质形成的 (n–1) 条边界可以建立 2(n–1) 个方程，可见这个方程组足以求解全部的未知数。 如果仅需计算第一条边界上的总反射系数，引入输入波阻抗概念可以简化求解过程。 Zc1 Zc2 Zc3 n-2 n-1 3 2 1 Zc(n-2) Zc(n-1) Zc n

以三种 3 层介质为例，定义介质②中任一点的合成电场与合成磁场之比称为该点的输入波阻抗，以 Zin 表示， Zc1 Zc2 Zc3 -l O z ① ② ③ 即 已知介质②中合成电场为 式中，R23 为介质②和③之间的边界上(z = 0)的反射系数，即

介质②中的合成磁场可以表示为 求得 在 边界上合成电场及合成磁场应该连续，得

第一条边界上总反射系数定义为 式中 对于第1层介质，第2层及第3层介质可以看作为波阻抗为 Zin(l) 的一种介质。 已知第2层介质的厚度和电磁参数以及第3介质的电磁参数即可求出输入波阻抗Zin(l) 。 上述方法的理念是，仅考虑后置介质的总体影响，不关心其内部结构 。

首先求出第 (n2) 条边界处向右看的输入波阻抗 Zc1 Zc2 Zc3 n-2 n-1 3 2 1 Zc(n-2) Zc(n-1) Zc n 首先求出第 (n2) 条边界处向右看的输入波阻抗 ，则对于第 (n2) 层介质，可用波阻抗为 的介质代替第(n1) 层及第 n 层介质。 依次类推，自后向前逐一计算各条边界上向后看的输入波阻抗，直至求得第一条边界上向后看的输入波阻抗后，即可计算总反射系数。

Z1 Zn Z3 Z2 Zn-1 Zn-2 Z1 Z3 Z2 Zn-2 Z3 Z1 Z2 Z1 Z1 Z2

解 首先求出第一条边界上向右看的输入波阻抗。 例 设两种理想介质的波阻抗分别为Z1 与Z2 ，为了消除边界反射，在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长的理想介质夹层，试求夹层的波阻抗 Z 。 Z1 Z Z2 ② ① 解 首先求出第一条边界上向右看的输入波阻抗。 考虑到 求得第一条边界上输入波阻抗为 为了消除反射，必须要求 ，得

输入波阻抗的方法是一种阻抗变换方法。 可见，如果 为实数，输入波阻抗的变化与正切函数的变化规律一致，那么厚度为半波长或半波长整数倍的介质夹层没有阻抗变换作用。 利用四分之一波长的传输线可以实现阻抗变换，此时既可变更传输线的长度又能保证匹配。 这种变换仅在给定的单一频率点完全匹配，因此频带较窄。

如果该例中夹层介质的 ，那么，夹层的波阻抗等于真空的波阻抗。 当这种夹层置于空气中，平面波向其表面正投射时，无论夹层的厚度如何，反射现象均不可能发生。换言之，这种介质对于电磁波似乎是完全“透明”的。 这种介质制成的天线罩，其电磁性能十分优越。 普通介质的磁导率很难与介电常数达到同一数量级。近来研发的新型磁性材料可以接近这种需求。

设传播方向为eS，则与 eS 垂直的平面称为波面。 7. 任意方向传播的平面波 设传播方向为eS，则与 eS 垂直的平面称为波面。 令坐标原点的电场强度为E0，则波面上 P0 点的场强应为    z y x d eS P0 E0 波面  P(x, y, z) r 令P点为波面上任一点，则该点的位置矢量 r 为 令r 与eS的夹角为  ，则距离 d 可以表示为

k 称为传播矢量，其大小等于传播常数k，方向为传播方向 eS 。 那么，P0 点的电场强度可表示为 若令 , 则 上式为沿任意方向传播的平面波表达式。 k 称为传播矢量，其大小等于传播常数k，方向为传播方向 eS 。    z y x d eS P0 E0 波面  P(x, y, z) r 传播方向 eS 的方向角分别为  、 、 ，则

若令 则 那么，电场强度又可表示为 或者 考虑到 ，求得 可见，三个分量 中只有两个是独立的。

电场与磁场相互垂直，两者又垂直于传播方向，这些特点反映了均匀平面波具有TEM波的性质。 理想介质中的均匀平面波满足下列方程 S E H 电场与磁场相互垂直，两者又垂直于传播方向，这些特点反映了均匀平面波具有TEM波的性质。

复能流密度矢量Sc 的实部为 考虑到 ，得 例 已知真空中的平面波为TEM波，其电场强度为 式中， 为常数。 试求：① 是否是均匀平面波？② 平面波的频率及波长；③ 电场强度的 y 分量 ；④ 平面波的极化特性。

解 给定的电场强度可改写为 可见，平面波的传播方向位于 xy 平面内，因此波面平行于 z 轴。 由于场强振幅与 z 有关，因此，它是一种非均匀平面波。 根据上式求得传播常数、波长、频率分别为

因电场强度的 x 分量与 y 分量构成线极化波，它与z 分量合成后形成椭圆极化波。 因为 ，求得 。 因电场强度的 x 分量与 y 分量构成线极化波，它与z 分量合成后形成椭圆极化波。 x y z k 波面 (Ex + Ey) (Ex+Ey +Ez) Ez 由于分量 比 Ez 分量的相位滞后，因此合成矢量形成的椭圆极化波是右旋的。

向平面边界斜投射时，透射波的方向将发生偏折，因此，这种透射波称为折射波。入射角、反射角、折射角，以及入射面、反射面、折射面的定义如下图所示。 8. 平面波对理想介质边界斜投射 向平面边界斜投射时，透射波的方向将发生偏折，因此，这种透射波称为折射波。入射角、反射角、折射角，以及入射面、反射面、折射面的定义如下图所示。 i t 1 1 2 2 x z 折射波 反射波 法线 y r 入射波

可以证明，①入射线，反射线及折射线位于同一平面；② 入射角 i 等于反射角 r ；③ 折射角 t 与入射角  i 的关系为 上述三条总称为斯耐尔定律。 设入射面位于xz平面内，则入射波的电场强度可以表示为 而反射波及折射波分别为

由于 边界上电场切向分量必须连续，得 上述等式对于任意 x 及 y 变量均应成立，因此各项指数中对应的系数应该相等。 即 由第一式得知， ，即 可见，反射线和折射线均位于 xz 平面。

考虑到 ， , ,由第二式获得 关系式 表明反射波及折射波的相位沿边界的变化始终与入射波保持一致，因此，该式又称为相位匹配条件。 斯耐尔定律描述的反射和折射规律获得广泛应用。

隐形轰炸机 B2  i  r

隐形战斗机 F117

斜投射时的反射系数及透射系数与平面波的极化特性有关。 电场方向与入射面平行的平面波称为平行极化波。 电场方向与入射面垂直的平面波称为垂直极化波。 i r t 1 , 1 2 , 2 E i E t E r H i H r H t z x O 垂直极化 i r t 1 , 1 2 , 2 E i E t E r H i H r H t z x O 平行极化

反射波及折射波仍然是线极化平面波。 平行极化波入射后，由于反射波和折射波的传播方向偏转，因此其极化方向也随之偏转，但是仍然是平行极化波。 任意极化方向的平面波总可以分解为一个平行极化波与一个垂直极化波之和。 对于平行极化波，根据边界上电场切向分量必须连续的边界条件，得

考虑到相位匹配条件，上述等式变为 再根据磁场切向分量必须连续的边界条件，类似可得 根据边界上反射系数及透射系数的定义，求得平行极化波的反射系数 及透射系数 分别为

垂直极化波的反射系数 及透射系数 分别为 当入射角 时，上述情况变为正投射，那么 当入射角 时，这种情况称为斜滑投射。 此时，无论极化或介质特性如何，反射系数和透射系数分别为

可见，入射波全被反射，且反射波与入射波大小相等，但相位相反。 当十分倾斜地观察任何物体表面时，物体表面会显得比较明亮。 这种现象导致地面雷达存在低空盲区，因而地面雷达无法发现低空目标。

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9. 无反射与全反射 考虑到大多数实际介质的磁导率相同，则

已知 可见，若入射角 满足下列关系 则 ，即反射波消失，因此称为无反射。 发生无反射时的入射角称为布儒斯特角，以 B 表示。 求得

可见，只有当 时，反射系数 。因此，垂直极化波不可能发生无反射。 垂直极化波的反射系数为 可见，只有当 时，反射系数 。因此，垂直极化波不可能发生无反射。 当一束无固定极化方向的光波以布儒斯特角向边界斜投射时，由于平行极化波不会被反射，因此，反射波中只剩下垂直极化波，从而获得具有一定极化特性的偏振光。

已知 若 , 则 。 这种现象称为全反射。 根据斯耐尔定律 ，可见当入射角满足上式时，折射角已增至 。 当入射角大于发生全反射的角度时，全反射现象继续存在。

开始发生全反射时的入射角称为临界角，以c 表示，求得 因函数 ，故只有当 时才可能发生全反射现象。即仅由光密介质进入光疏介质时，才可能发生全反射现象。 x z 已知折射波可以表示为 c 求得

比值 或入射角越大，振幅沿正 z 方向衰减愈快。 一种光导纤维即是由两种介电常数不同的介质层形成的，其芯线介电常数大于外层介电常数。 表面波 2 1 当光束以大于临界角的入射角度自芯线内部向边界投射时，即可发生全反射，光波局限在芯线内部传播，这就是光导纤维的导波原理。

上述全部结论均在 的前提下成立。 当 ， 时，只有垂直极化波才会发生无反射现象。 当 ， 时，两种极化波均会发生无反射现象。 例 设 区域中理想介质参数为 ； 区域中理想介质的参数为 。若入射波的电场强度为 试求：① 平面波的频率；② 反射角与折射角； ③ 反射波与折射波。

解 入射波可以分解为垂直极化波与平行极化波两部分之和，即 y i r t 1 1 2 2 z x 解 入射波可以分解为垂直极化波与平行极化波两部分之和，即 其中 已知 求得

由 ，得 那么

反射波的电场强度为 ，其中 折射波的电场强度为 ，其中 注意，上述计算中应特别注意反射波及折射波的传播方向和极化方向的变化情况。

10. 平面波对导电介质表面斜投射 设介质①为理想介质，介质②为导电介质，即 对于介质②可引入等效介电常数，令 则介质②的波阻抗为 因 Zc2 为复数，此时反射系数及透射系数均为复数，无反射及全反射现象将不会发生。

若对于给定的频率，海水为良导体，则无论入射角如何，进入海水中的折射波几乎全部垂直向下传播。 折射波是一种非均匀平面波。 斯耐尔折射定律修正为 i r  1  1  2  2  2 z x 等幅面 波面 波 面 t 若 ，得 即折射角 若对于给定的频率，海水为良导体，则无论入射角如何，进入海水中的折射波几乎全部垂直向下传播。 海水中潜艇接收天线的最强接收方向应指向上方。

11. 平面波对理想导电表面斜投射 设介质①为理想介质，介质②为理想导电体，即 则 那么反射系数为 ? 可见，当平面波向理想导体表面斜投射时，无论入射角如何，均会发生全反射。 上半空间理想介质中的场分布值得详细讨论。 上半空间的场分布与平面波的极化特性有关。

对于平行极化波，上半空间合成电场的 x 分量为 考虑到 ， ，上式变为 同理可得合成电场的 z 分量及合成磁场分别为 合成波的相位随 x 变化，而振幅与 z 有关，合成波为向正 x 方向传播的非均匀平面波。

由于在传播方向上存在 Ex 电场分量，合成场是非TEM 波，这种仅磁场强度垂直于传播方向的电磁波称为横磁波或 TM 波。 O 1 = 0 2 =  x z Ex Ex 分量的振幅沿 z 轴的变化如左图示。 在 z 方向上形成驻波，沿 x 方向为行波。

合成波的复能流密度矢量为 其实部和虚部分别为 可见，在 x 方向上存在单向的能量流动，而在 z 方向上只有电磁能量的相互交换。 若在 Ex = 0 处放置一块无限大的理想导电平面，不会破坏原来的场分布，这就意味着在两块相互平行的无限大理想导电平面之间可以存在 TM 波的传播。

O 1 = 0 2 =  x z Ex 无限大理想导电平面 TM波 E S x Ex Ez H 

对于垂直极化波，同样可以求得上半空间合成场的各个分量分别为 合成场同样构成向 x 方向传播的非均匀平面波。但是电场强度垂直于传播方向，因此，这种合成场称为横电波或TE 波。 由于Ey 及 Hz 的振幅沿 z 方向按正弦函数分布，而Hx 的振幅沿 z 方向按余弦分布。

若在 处放置一块无限大的理想导电平面，不会破坏原来的场分布。 这就表明， 在两块相互平行的无限大的理想导电平面之间可以传播 TE 波。 若再放置两块理想导电平面垂直于 y 轴，由于电场分量与该表面垂直，因此也符合边界条件。这样，在四块理想导电平板形成的矩形金属管中可以存在 TE 波。 Ey O 1 = 0 2 =  y z TE波  E H S x Hx Hz

由第九章即将获悉，矩形或圆形金属波导可以传输，而且只能传输 TE 波或 TM 波，它们不可能传输 TEM 波。 例 当垂直极化的平面波由空气向无限大的理想导电平面斜投射时，若入射波电场振幅为 ，试求理想导电平面上的表面电流密度及空气中能流密度的平均值。 解 令理想导电平面为 平面，那么表面电流 JS 为 i r  0  0    E i E r H i H r z x O

能流密度的平均值为 根据垂直极化平面波的各分量 ，即可求得

12. 等离子体中的平面波 等离子体是一种电离气体，它由带负电的电子，带正电的离子以及中性分子组成，由于电子与离子数目相等，因此称为等离子体。位于地球上空 60 ~ 2000 km 处的电离层就是等离子体。 等离子体在恒定磁场作用下，显示电各向异性的特点，即其介电常数可能多至 9 个分量。 在地球磁场的作用下，位于地球上空的电离层的介电常数为 地球的磁通密度大约为0.03~0.07mT。

电离层 1000km O3 平流层 60km 对流层 12km

进一步分析还表明，平面波的极化方向也会发生偏转。 电离层 平面波进入电离层后将被分裂为两条不同路径传播，形成两个折射波，这种现象称为双折射现象。 地 球 进一步分析还表明，平面波的极化方向也会发生偏转。 E(t1) E(t2)

13. 铁氧体中的平面波 铁氧体是一种磁性材料，其磁导率很高，但电导率很低，介电常数大约在 2～35 之间。这种铁氧体在外加恒定磁场作用下，显示磁各向异性。 当平面波在铁氧体中传播时，前述的双折射和极化面旋转等现象同样也会发生。这种极化面旋转效应在微波器件中获得应用。

主 要 内 容 自由空间中的平面波、平面波极化特性、单层和多层边界上的正投射、任意方向传播的平面波的表示、平面边界上的斜投射 主 要 概 念 频率、波长、相速、波阻抗、相位常数、衰减常数、传播常数、传播矢量、反射系数、透射系数 波的极化、行波和驻波、集肤效应 无反射、全反射、斜滑投射 TEM波、 TE波、 TM波