隱函數微分與反函數微分

隱函數的微分(Implicit Differentiation) 雖然方程式 中的x和y並沒有函數關係,但若我們將y限制為大於等於0, 則x和y有函數關係 且 (如下圖的圖(b)所示)。

圖1

由此函數關係,我們可求y對於x, |x|<r的微分為 所以對於圓( r≠0 )上的 一點 我們可得其切線為

但是並不是所有的方程式都如此容易地利用限制變數的範圍以獲得明確的函數關係,進而求取方程式所代表之曲線上某一點的切線。但不管如何我們都可限制變數的範圍而使得兩變數具有一種函數關係, 此種利用限制方程式中的變數範圍所獲得的函數關係我們稱之為隱函數。

如下所示,圖2(a)為曲線f(x,y)=0, 若我們取點 附近的一段如虛線框框所示的曲線,則如圖2(b)所示y和x將有函數關係y=y(x),利用微分法則我們可求得其微分。

例如上例中y對x, |x|<r的微分,利用微分法則 可得

例1: (a) 求 (folium of Descartes) 中的 。 (b) 求曲線 在點(3,3)的切線。 (c) 在曲線 上的何點, 其切線為水平。 解: (a) 利用隱微分(隱函數微分), 可得

(b) 當x=y=3, 曲線 在點(3,3)的切線為 y-3=-1(x-3) 或 x+y=6

(c) 當切線為水平時, , 故得 代入 , 可得 將上式化簡成 , 可解得x=0或 。經由上述的計算, 我們可知在曲線 上的點(0,0)和 , 其切線為水平。

例2: 求 中y對x的微分 。 解: 將 兩邊同對x微分。

例3: 求 的隱微分 。 解:

例4: 求 的隱微分 。 解:

例5: 求 的隱微分 。 解:

例6: 求曲線 上通過點 (0,1)的切線。 解:

將(0,1)代入上式,得曲線 上通過點(0,1)的切線斜率為 ,故切線為

例7: 方程式xy=c, c≠0代表一組雙曲線。方程式 , k≠0 代表另一組雙曲線, 其漸進線為y=x。驗證這兩組雙曲線互相垂直, 亦即其交點的切線互相垂直。

將方程式 做隱微分, 可得 由於 故兩組雙曲線交點的切線互相垂直。

例8: 利用隱微分驗證橢圓 在點 的切線為

解:

將點 代入上式, 可得橢圓過點 的切線斜率為 切線則為

將上式兩邊同除以 ,可得

例9: 求雙曲線 在點 的切線方程式。 解: 利用隱微分

將點 代入上式, 可得雙曲線 過點 的切線斜率為

切線則為 將上式兩邊同除以 ,可得

例10: 求橢圓 過點(1,1)的切線。 解: 利用隱微分, 可得

將點(1,1)代入上式, 可得橢圓 過點(1,1)的切線斜率為 切線則為

例11: 求拋物線 過點(1,2)的切線。 解: 利用隱微分, 可得

將點(1,2)代入上式, 可得拋物線 過點(1,2)的切線斜率為 切線則為

例12: 若 , 且 f (1)=2, 求 。 解: 利用隱微分, 可得

將f(1)=2代入上式, 可得

例13: 求 的隱微分 。 解:

例14: 驗證曲線 上任一點的切線, 其x-截距和y-截距之和等於c。 解: 設 為曲線 上的一點。

將點 代入上式, 可得曲線 過點 的切線斜率為 切線則為

x-截距為 y-截距為

x-截距+y-截距等於

例15: 利用隱微分驗證以O為原點的圓, 此圓上的任一點P, 其切線垂直半徑OP。 解: 設O對應直角座標的原點(0,0), 而 此圓的半徑為r, 其所對應的方程式 為 。 由於幾何性質不受座標選取的影響, 故我們可設P點的座標為(x,y),且x≠0, y≠0 。利用隱函數微分, 可得

線段OP的斜率為 , 而切線斜率為 , 兩者的乘積為 故得証。

例16: 求 的隱微分 。 解:

例17: 利用隱微分求曲線 上點 的切線。 解:

將點 代入上式可得切線斜率為 故切線為

例18: 利用隱微分求曲線 上點 的切線。 解:

將點(3,1)代入上式可得切線斜率為

曲線 過點(3,1)的切線為

例19: 利用隱微分求曲線 上點 的切線。 解: 將點 代入上式, 可得曲線 過點 的切線斜率為

切線則為

例20: 求 的隱微分 。 解:

例21: 求 的隱微分 。 解:

例22: 利用隱微分求曲線 上點 的切線。 解:

將點(0,-2)代入上式可得切線斜率為 切線則為

例23: 求 的隱微分 。 解:

例24: 求曲線 上的點, 其切線為水平。 解:

切線為水平, 則切線的斜率為0, 故 所以x=0或圓 上的點 滿足 。

將x=0代入 , 得 但是x=0,y=0這一點必須排除, 因為將(0,0)代入 ,分母將為0, 故不合。

將 代入方程式 可得

將 代入上式, 可得 所以點 和點 的切線為水平。

例25: 求 的隱微分 。 解:

例26: 求 的隱微分 。 解:

反函數微分 定理1(反函數微分定理) 設函數f在區間I為嚴格遞增(或遞減)且可微分。若f在區間I內的一點x,其微分值 則f的反函數 在x的對應點y=f(x)為可微分,且

證明: 函數f在區間I為嚴格遞增(或遞減),則函數f為1對1函數, 故其反函數 存在。根據微分的定義 令 , 但是由於 ,所以 再根據反函數的定義

將上述結果帶入

可得 由於y=f(x)為可微分, 故y=f(x)為連續, 亦即

所以 將之帶入前面的式子, 可得

利用極限定理, 可得 定理得證。

在第一單元裡我們已定義過指數函數和 對數函數, 以下我們將探討其微分。 對於指數函數 的微分函數, 根據定義:

由上式可知若 在x=0可微分,則 為可微分。 以下我們接受 在的事實,其中的一個無理數 滿足 故得 。

因為 ,所以利用 微分法則中的Chain Rule可得

我們利用前面的反函數微分定理求 的反函數 的微分。 令y=ln x,則 。由於 所以

由於 ,所以

例27: 求 對x的微分。 解: 利用Chain Rule, 令 ,則

例28: 求 對x的微分。 解: 雖然我們可用微分除法法則(Quotient Rule)來求得解答,但若將上式兩邊同取自然對數ln後再微分,計算上可能會較容易。

將兩邊同對x微分, 可得

例29: 求 對x的微分。 解: 同上例將上式兩邊同取自然對數ln, 得 ,然後兩邊同對x微分:

另一種解法為將 直接對x微分: