天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！ 少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟 高中数学第二册(上) 高中数学第七章 直线与圆的方程课件 直线与圆的位置关系 澄海中学数学组 制作：黄伟 　　　　　　　　　　　　　　　　 2018年11月21日2018年11月21日

r 圆心为________ 半径为______ （a，b) 圆心为 半径为 (x-a)2+(y-b)2=r2 直线与圆的位置关系 知识回顾 直线方程的一般式为:____________________________ Ax+By+C=0(A,B不同时为零) (x-a)2+(y-b)2=r2 2.圆的标准方程为：______________ r 圆心为________ 半径为______ （a，b) 3.圆的一般方程：__________________________________ x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0) 圆心为 半径为 结束 返回 下一页

知识点拨 4 d>R+r d=R+r 3 2 d=R-r 1 直线与圆的位置关系 圆和圆的位置关系 两圆的位置关系 图形 公切线的条数 公切线长 外离 4 d>R+r 外切 d=R+r 3 相交 R-r<d<R+r 2 d=R-r 1 内切 内含 0≤d<R-r 结束 返回 下一页

直线与圆的位置关系 知识点拨 问题1：你知道直线和圆的位置关系有几种？ 结束 返回 下一页

知识点拨 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零) 和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 则 d<r d=r d>r d与r 2个 1个 0个 交点个数 图形 相交 相切 相离 位置 r d 结束 返回 下一页

例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆 B C ● A x 图4.2-2

解法一：由直线L与圆的方程，得 ① ② 消去y ，得 因为 ⊿= 所以，直线L与圆相交，有两个公共点。

＜ 解法二：圆 可化为 ，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 ，点C（0，1）到直线L的距离 d＝ ＝ = = 由 ，解得 =2 ， ＝１． 把 =2代入方程①，得 ＝０； 把 ＝１代入方程①，得 ＝３． 所以，直线L圆相交，它们的坐标分别是Ａ（２，０），Ｂ（１，３）． ＜

巩固练习： ①判断直线４x－３y=50与圆 的位置关系．如果相交，求出交点坐标． 解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50 的距离d= = 10 而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0 解方程组 ， 得 切点坐标是（８，－６）

②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆 的位置关系． 解：方程 经过配方，得 　 圆心坐标是（１，０），半径长r=`1． 圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是 因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切． ③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ: 试判断直线L与圆Ｃ有无公共点，有几个公共点．  解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r= ，圆心到直线y＝x+6的距离 所以直线L与圆Ｃ无公共点．

④试解本节引言中的问题． 解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取１０km为单位长度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为 轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0  问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。 点Ｏ到直线L的距离　 圆Ｏ的半径长r=3 因为３.５＞３，所以，这艘轮船不必改变航线，不会受到台风的影响． y B A x

归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种： ①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即⊿＜０，则相离． ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．

判断直线与圆的位置关系的方法2 (代数法): 知识点拨 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系的方法2 (代数法): 将直线方程与圆的方程联立成方程组,利用消元法消去一个元后,得到关于另一个元的一元二次方程,求出其Δ的值，然后比较判别式Δ与0的大小关系, 若Δ<0 则直线与圆相离 若Δ=0 则直线与圆相切 反之成立 若Δ>0 则直线与圆相交 结束 返回 下一页

知识点拨 直线与圆的位置关系判断方法： 一、几何方法。主要步骤： 把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交 结束 返回 下一页

利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 直线与圆的位置关系 知识点拨 二、代数方法。主要步骤： 把直线方程与圆的方程联立成方程组 利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 求出其Δ的值 比较Δ与0的大小: 当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相 切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。 结束 返回 下一页

脑筋转一转 已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与圆C相交？ 问题：你还能用什么方法求解呢? 典型例题 直线与圆的位置关系 已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与圆C相交？ 脑筋转一转 问题：你还能用什么方法求解呢? 结束 返回 下一页

知识反馈 请你来帮忙 一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环 行，它走到哪个位置时与直线l ： 直线与圆的位置关系 知识反馈 请你来帮忙 一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环 行，它走到哪个位置时与直线l ： 3x+4y-2=0的距离最短，请你帮小老鼠找 到这个点并计算这个点到直线l的距离。 结束 返回 下一页

典型例题 直线与圆的位置关系 例1：直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0 相切,求直线l的方程. 结束 返回 下一页

例2:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x上截得弦长为 ，求此圆的方程。 直线与圆的位置关系 典型例题 例2:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x上截得弦长为 ，求此圆的方程。 解：设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2， 圆心(3b,b)到直线x-y=0的距离是 r=|3b| 故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9。 结束 返回 下一页

（1）当直线和圆相切时，求切线方程和切线长; （2）若直线的斜率为2，求直线被圆截得的弦AB的长; 例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M: (x-3)2+(y-4)2=4 （1）当直线和圆相切时，求切线方程和切线长; （2）若直线的斜率为2，求直线被圆截得的弦AB的长; （3）若圆的方程加上条件x≥3，直线与圆有且只有一个交点，求直线的斜率的取值范围. 或 x=1 培养学生用数形结合的思想 优化解题程序，用运动变化的观 点分析解决问题的能力。 演示

例2: 在圆（x+1）2+(y+2)2＝8上到直线ｘ+ｙ+１=０的距离为 的点有_____个.

在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圆上是否存在四个点到直线AB：3x-4y-3=0的距离等于１。 开放性问题: 在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圆上是否存在四个点到直线AB：3x-4y-3=0的距离等于１。 R>3 演示

直线与圆部分练习题 1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（ ） B C.5 D. 5.5 A. 4 B. 2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是( ) A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0 C 3、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是（ ） A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定 B

5、直线 x+y+a=0与 y= 有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A. [1, ) B.[1, ] C.[ , -1] D ( , -1] A

高考荟萃 ①（2000年全国理）过原点的直线与圆 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ） C Ａ.　 Ｂ．　 Ｃ．　 Ｄ．

. r y x = + ), ( x y - = + y x . 1 k - y , x k = . y x k - = 例2. 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。 . 1 k OM - 解:当M不在坐标轴上时，设切线的斜率为k,则k = y x O y , x k OM = . y x k - = 经过点M 的切线方程是 ), ( x y - = 整理得 , 2 r y x = + 因为点M在圆上,所以 . 2 r y x = + 所求的切线方程是 当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.

y-y0=k(x-x0) 例2. 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。 解法二：①当点 M 不在坐标轴上时， y 设切线方程为 例2. 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。 解法二：①当点 M 不在坐标轴上时， y x O 设切线方程为 y-y0=k(x-x0) 整理成一般式，利用点到直线的距离公式求k,代入所设方程即可. ②当点 M 在坐标轴上时，同解法一一样可以验证.

x0x +y0 y = r2 例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。 y 例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。 y x O 解法三：利用平面几何知识，按求曲线方程的一般 步骤求解. P(x,y) 如图，在Rt△OMP中 由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2 x0x +y0 y = r2

小结: 1:过圆x2＋y2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为xox+yoy=r2 2:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2 3:过圆x2＋y2＝r2外一点(xo,yo)的作圆的切线，两切点的连线的直线方程为xox+yoy=r2 4:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2外一点(xo,yo)的作圆的切线， 两切点的连线的直线方程为 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2

1.已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上任意一点，求(1)2x+3 (2)(x-2)2+(y-3)2 (3)y/(x+4)的取值范围 2.已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1:x-3=0上，且 在直线l2:x-y=0上截得的弦长为 ,求圆C的方程 3.已知圆C: x2+(y+4)2=4，求在两坐标轴上截距相等的圆 的切线方程

与y轴交于A，B两点，与x轴 的一个交点为P，求∠APB的大小 30度 2.已知圆(x-3)2+(y+4)2=4与直线y=kx相交于P,Q两点，则 |OP|·|OQ|= . 21 3.已知A(1,2)是圆(x-2)2+(y-4)2=10内的一个点，求过点A 且被A平分的圆的弦所在直线l的方程 X+2y-5=0 4. 已知圆C满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段 圆弧，其弧长之比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离 为 ，求这个圆的方程 (x+1)2+(y+1)2=2 或(x-1)2+(y-1)2=2

4.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线 使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出 直线方程

二.例题讲解 例1．过点P(-2，-3)作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条 切线，切点分别为A、B.求： (1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程； (2)直线AB的方程； (3)线段AB的长.

4.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a＞0)及直线l：x-y+3=0当直线l 被C截得的弦长为 时，则a=( ) (A) (B) (C) (D) C

例2.己知圆C: x2+y2－2x－4y－20=0, 直线l: (2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R) (1)证明: 无论m取何值 直线l与圆C恒相交. (2)求直线l被圆C截得的最短弦长,及此时 直线l的方程. 分析: 若直线经过圆内 的一定点，那么该直线 必与圆交于两点，因此 可以从直线过定点的角 度去考虑问题.

解 (1)将直线l的方程变形，得 m(2x+y-7)+(x+y-4)=0． ∵对于任意的实数m, 方程都成立，

此时l方程 y -1 = 2 (x - 3)，即 2x－y－5=0

解答 3 2