例1 ：甲击中的环数； X ：乙击中的环数； Y 平较高？ 试问哪一个人的射击水 ： 的射击水平由下表给出 甲、乙两人射击，他们 §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例1 ： 的射击水平由下表给出 甲、乙两人射击，他们 ：甲击中的环数； X ：乙击中的环数； Y 平较高？ 试问哪一个人的射击水

( ) ( ) EX = 8 . 3 + 9 . 2 + 10 . 5 乙的平均环数为 解： = + + EY 8 . 2 9 . 4 10 §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例1（续） 解： ． 比较两个人的平均环数 甲的平均环数为 EX = 8 . 3 + 9 × . 2 + 10 . 5 ( ) 环 2 . 9 = × × 乙的平均环数为 = + + ( ) 环 2 . 9 = EY 8 × . 2 9 × . 4 10 × . 4 环数的方差不同。 一样的，但两个人射击 是 ，甲乙两人的射击水平 因此，从平均环数上看

第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 方差的定义 方差的性质 方差的计算

在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度， 可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用 §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 一、方差的定义 在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度， 可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用 来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度。 1）定义： 设 X 是随机变量，若 存在， 称其为随机变量 X 的方差，记作 DX,或 Var ( X ) ，即： 离散型： 连续型：

( ) ( ) 624 . = 76 . = 甲稳定． 这表明乙的射击水平比 ， 由于 DX DY < 5 2 9 10 3 8 - §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例1（续） 76 . = ( ) 5 2 9 10 3 8 - + DX × 624 . = ( ) 4 2 9 10 8 - + DY × ， 由于 DX DY < 甲稳定． 这表明乙的射击水平比

( ) ( ) ( ) X E EX + - = X E EX DX - = EX DX + = 第四章 随机变量的数字特征 ( ) 2 EX DX - = 2）方差公式： 注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏 离程度。 X E 证明： ( ) 2 EX + - = X E × 由此式还可得： ( ) 2 EX DX + =

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例 14 解：

第四章 随机变量的数字特征 例 14（续） 先求：

第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 则：

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 二、方差的性质 证3）：

则 EY = 0, DY = 1。 称 Y 是随机变量 X 的标准化了的随机变量。 第四章 随机变量的数字特征 性质4）的证明将在后面给出。 §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 性质4）的证明将在后面给出。 则 EY = 0, DY = 1。 称 Y 是随机变量 X 的标准化了的随机变量。

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 小结： 1）方差的定义； 2）方差的性质；

第四章 随机变量的数字特征 §3.几种重要随机变量 的数学期望及方差 两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布

. , 2 1 } { n i p X P q L = 则 1）两点分布 2） 二项分布 方法1： 第四章 随机变量的数字特征 §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 1）两点分布 2） 二项分布 方法1： . , 2 1 } { n i p X P q L = 则

第四章 随机变量的数字特征 §3 几种期望与方差 即 所以 ， 方法1说明了二项分布与两点分布的关系。

第四章 随机变量的数字特征 §3 几种期望与方差 方法2：

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 3）泊松分布 设 X 服从参数为  的泊松分布，

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 4）均匀分布

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 5）指数分布

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 6）正态分布 作变换

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 说明：

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 契比雪夫不等式

因此，对于正态随机变量X来说，它的值落在区间 内几乎是肯定的。 §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 x 因此，对于正态随机变量X来说，它的值落在区间 内几乎是肯定的。 注意：下面将刚刚学习的这种情况用切比晓夫不等式 概括。

定理：（契比雪夫不等式） 设随机变量 X 有数学期望 则对任意 证明：(只证 X 是连续型) 第四章 随机变量的数字特征 §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 定理：（契比雪夫不等式） 设随机变量 X 有数学期望 则对任意 证明：(只证 X 是连续型)

这个不等式给出了随机变量X 的分布未知情况下，事件 §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 这个不等式给出了随机变量X 的分布未知情况下，事件 的概率的一种估计方法。 例如：在上面不等式中，取 ，有：

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 设种子的良种率为1/6，任选600粒，试用切比雪夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。 例15 解：

§3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 例16

( ) { } = DX ． 为常数 C X P 1 = 我们有： 由此例及方差的性质， 的充分必要条件为 第四章 随机变量的数字特征 §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 例16（续） 我们有： 由此例及方差的性质， { } ( ) 为常数 C X P 1 = 的充分必要条件为 ． = DX