等腰三角形 本节内容 本课内容 2.3.

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等腰三角形 本节内容 本课内容 2.3

我们前面已经学习了三角形的一些性质,那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外,还具有哪些特殊的性质呢?

探究 任意画一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,如图. 作△ABC 关于顶角平分线AD所在直线的轴反射, 1 2 D

射线AB的像是射线AC, 射线AC的像是射线 ; 线段AB的像是线段AC, 线段AC的像是线段 ; 点B的像是点C, 点C的像是点 ; 线段BC的像是线段CB. 从而等腰三角形ABC关于直线 对称. AB AB B AD

由于点D的像是点D, 因此线段DB的像是线段 , 从而AD是底边BC上的 . 由于射线DB的像是射线DC, 射线DA的像是射线 , 因此∠BDA ∠CDA= °, 由于射线BA的像是射线CA, 射线BC的像是射线 , 因此∠B ∠C. DC 中线 DA = 90 高 CB =

结论 由此得到等腰三角形的性质定理: 等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线所在的直线.

结论 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”). 等腰三角形的两底角相等( 简称“等边对等角”).

动脑筋 如图,△ABC是等边三角形,那么∠A,∠B,∠C 的大小之间有什么关系呢? 因为△ABC是等边三角形, 所以AB=BC=AC, 由三角形内角和定理可得: ∠A=∠B=∠C=60°.

结论 由此得到等边三角形的如下性质: 等边三角形的三个内角相等,且都等于60°.

由于等边三角形是特殊的等腰三角形,因此等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,分别是三个内角的平分线所在的直线.

举 例 例1 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E 在边BC上,且AD=AE. 求证:BD=CE. 证明 作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高,也是底边上的中线. ∴ BF=CF, DF=EF, ∴ BF-DF=CF-EF, F 即 BD=CE.

议一议 如图的三角测平架中,AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂,调整架身,使点A恰好在铅锤线上. (1)AD与BC是否垂直,试说明理由. (2)这时BC处于水平位置,为什么?

练习 1. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上 的高,∠BAC=49°,BC= 4,求∠BAD的度 数及DC的长.

2. 如图,点P为等边三角形ABC的边BC上一 点,且∠APD= 80°,AD=AP,求∠DPC 的度数. 答:∠DPC =20°.

探究 我们知道,等腰三角形的两底角相等,反过来,两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 如图,在△ABC中,如果∠B=∠C,那么AB与AC之间有什么关系吗?

3cm 3cm 我测量后发现AB与AC相等.

事实上,如图,在△ABC中,∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折, 得∠BAC的平分线AD交BC于点D, 则∠1=∠2. D 又∠B=∠C, 1 2 由三角形内角和的性质得 ∠ADB=∠ADC.

沿AD所在直线折叠, 由于∠ADB=∠ADC,∠1=∠2, 所以射线DB与射线DC重合, 射线AB与射线AC重合. 从而点B与点C重合, 于是AB=AC.

有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). 结论 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).

结论 由此并且结合三角形内角和定理,还可以得到等边三角形的判定定理: 三个角都是60°的三角形是等边三角形.

举 例 例2 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E 分别是AB,AC上的点,且DE∥BC. 求证:△ADE为等腰三角形. ∴ ∠ADE=∠B,∠AED=∠C. ∴ ∠ADE=∠AED. 于是△ADE为等腰三角形.

动脑筋 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗?为什么?

如图,在等腰三角形ABC中, AB=AC. 由三角形内角和定理得 ∠A+∠B+∠C= 180°. 如果顶角∠A=60°, 则∠B+∠C= 180°-60°=120°. 又 AB=AC, ∴ ∠B=∠C. ∴ ∠B=∠C=∠A=60°. ∴ △ABC是等边三角形.

结论 由此得到另一条等边三角形的判定定理: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

举 例 例3 已知:如图,△ABC是等边三角形,点D,E 分别在BA,CA的延长线上,且AD=AE. 求证:△ADE是等边三角形. ∴∠BAC=∠B=∠C= 60°. ∵∠EAD=∠BAC= 60°, 又 AD =AE, ∴△ADE是等边三角形 (有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)

练习 1. 已知:等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点O. 求证:△OBC为等腰三角形. A B C D E O 证明 ∴ ∠ABD =∠DBC= , ∠ACE =∠ECB= ,

又∵ △ABC是等腰三角形, ∴ ∠ABC =∠ACB, A B C D E O ∴ ∠DBC =∠ECB, ∴ △OBC是等腰三角形.

2. 已知:如图,CD平分∠ACB,AE∥DC,AE 交BC的延长线于点E,且∠ACE= 60°. 求证:△ACE是等边三角形. 证明 ∵CD平分∠ACB, ∴ ∠ACD =∠DCB, 又∵∠ACE=60°, ∴ ∠ACD=∠DCB=60°, 又 ∵ AE∥DC, ∴ ∠BCD=∠E=60°, ∴ 在△ACE中,∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.

3. 已知:如图,AB=BC ,∠CDE= 120°, DF∥BA,且DF平分∠CDE. 求证:△ABC是等边三角形. 证明 ∵ AB=BC, ∴ △ABC是等腰三角形, 又∵∠CDE=120°,DF平分∠CDE. ∴ ∠EDF=∠FDC=60°, 又∵DF∥BA, ∴ ∠FDC=∠ABC=60°, ∴△ABC是等边三角形.

中考 试题 例1 等腰三角形两边长分别是2cm和5cm,则这个三角形周长为( ) B A.9cm B.12cm C.9cm或12cm D.14cm B 解析 另一边长为2cm或5cm,2,2,5不符合三角形三边关系定理,故选5. ∴周长为5+5+2=12cm.

中考 试题 例2 若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) D A. 50° B. 80° 若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A. 50° B. 80° C. 65°或50° D. 50°或80° D 解析 因为50°可作为等腰三角形的一顶角或一底角,故选D.

结 束