复习 《一》 质点运动学 描写运动的三个物理量 位矢 速度 曲线切向方向 加速度 切向加速度 法向加速度

运动学两类问题 （1） （2） 《二》 质点动力学 牛顿运动定律 画隔离体受力图

非惯性系中的力学定律 引进一个假想力 惯性力 惯性力大小 F= - ma 注意几种解题的类型 ① 找微元列微分方程 ② 分离变量，两边积分 变量代换（2-10，2-12） ③ 寻找变量关系 非惯性系中的力学定律 引进一个假想力 惯性力 惯性力大小 F= - ma

《三》 机械能和功 （一）功 一维运动时 （二） 动能定理

重力势能 EP=mgh 以地面为零势能点 或 （三）势能 （1）弹簧原长位置为零点势能 (a) 机械能守恒 （2）对飞船，卫星等问题 (b) 角动量守恒 （2）对飞船，卫星等问题 或

（三）功能原理 （四） 机械能守恒定律 《四》 动量 （一）质点动量定理 （二）动量守恒定律 （系统动量守恒） 分量式最方便

（三）碰撞 特点： 动量守恒 （1） （2） （四）质心运动定律 质心 质心运动就象物体质量全部 集中在质心，外力也都集中 在质心的质点运动一样。 (五) 质点角动量 可与刚体一起考虑

《五》 刚体力学 （1） 力矩 （2）转动惯量 （3）角动量 （平行，垂直轴定理） 力矩的功 转动动能 （一）转动定律 （二）角动量原理 M = 0 角动量守恒 当质点与刚体组成的系统时

（三）动能定理 （四）功能原理 若 M = 0, 则刚体的机械能守恒 （五） 陀螺的进动 绕自身轴转动的角动量： 由角动量定理的微分式：  mg o 绕自身轴转动的角动量： 由角动量定理的微分式： 显然， 时刻改变方向而大小不变

刚体作平面运动时，不论运动如何复杂，总可以分解为随质心的平动和绕通过质心轴的转动。 （六） 刚体平面平行运动 刚体作平面运动时，不论运动如何复杂，总可以分解为随质心的平动和绕通过质心轴的转动。 求解刚体平面运动的基本方程： 质心的平动方程： 绕质心的转动方程： （惯性力力矩为零） 加上初始条件、约束条件 10 10

《六》 相对论 （1） 洛仑兹坐标变换 …… （2） 速度变换 相对时空观 x x′ y y′ o o＇ u s s＇ （一）同时的相对性

1. 位移与路程的不同 A B  瞬时速率 C： 直线运动 xo x1 x2 位移 x1-xo 路程： x2-xo+x2-x1

例 x,y 平面内有一运动质点，其运动方程 为 x=t2 , y=2t 。求 an ，at 。 解： ?

当 F 已知

例 解：

例 桌面光滑。已知均匀细绳，绳长 L，质量m。O 端固定。以旋传。求绳子任一截面处的张力 T。 解：隔离体受力图 T0 m=m1+m2 m1 ,m2--- T T m1 m2 F=(T0-T)=m1a a= 无法列方程 取微元段 dm=  dx : 线密度，即单位长度质量 建坐标如图

F dm F+dF dx x o x 运动微分方程： F+dF - F= - dm an dF= -  dx x2

例题 如图。滑块A光滑， 已知mA=20 千克，l1=20 厘米 ， 此时弹簧伸长 l=10厘米， k=40 牛顿/厘米。求A 下落到 h=15 厘米 时 aA ，N， vA l1 o A  l h 解： （1）隔离体受力图 l=25 , T=k(25-10) cos =0.8 , sin =0.6  T cos =N -Tsin +mAg=mA aA mAg

N=40×15×0.8=480（牛顿） (2) l1  l x （变量代换） (统一变量)

例： 已知 F=2 yi+4 x2j, c点坐标（2，1）求： （A）沿路径 oac b （B）沿路径 obc x （C）沿路径 oc a 解：（1）

(2) 非保守力，做功与路经有关

a dx x

悬挂一根长为l ,密度为2 (2>1)的 均匀细棒AB。棒的B端刚好和液面 接触。今剪断细绳，设AB棒只在浮 例 ： 如图所示，在密度为1 的液体液面上方 悬挂一根长为l ,密度为2 (2>1)的 均匀细棒AB。棒的B端刚好和液面 接触。今剪断细绳，设AB棒只在浮 力和重力作用下下沉。试求AB棒刚 好沉入液体时的速度。 A l B x （1）用动能定理求解 （2）用功能原理求解 x 解：(1) 以棒为研究对象

解（2）棒与地球组成系统，浮力做负功

h m u M  vM H h m M 

x y 0' R M m A B C   h R  y x mg B A 质心运动定律

dm o x dx 例： 正方形薄平板 M，a ,小球 m,v0 ,与边缘作 垂直弹性碰撞。求板与小球的运动。 a o 解： 板与小球系统 无外力矩，角动量守恒 m M v0 o'

r R h m 0 r dr

例： 已知圆盘 m,R,h，与水平桌面摩擦系数为, 初转速o ，求停止转动时间T 解： 摩擦阻力矩使 转动停止 取微元： 0 R m dr 解： 摩擦阻力矩使 转动停止 R r h 取微元： m

根据转动定律有： 分离变量，两边积分 得：

M v0 m o' a o mg A B o

mg Tm Mg TM m M  Nm mg NM Mg am aM

例： 图中 a 为定滑轮，b 为动滑轮。 求（1）每个物体的加速度 （2）两根绳子的张力T1，T2 a0 a 解：设C对地加速度为a0 A对b 加速度为 a a0 a b a C A 以cb为参照系（非惯性系） B mcg=T1+mca0 T2 T2 T1 mca0 a T2-mAg-mAa0=mAa a mBg+mBa0-T2=mBa mBa0 mAa0 T1=2T2 mcg mAg mBg

例： B  A T+maBsin =mgcos maBcos +mgsin =ma'A A Tsin =maB 知mA=mB=m.现使小球摆动， 求最大摆角  时 （1）环 B 的加速度 （2）小球 A的加速度 例： B  A 解： 设B对地加速度为aB ，以 B 为参照系 x y T A mg  maB a'A T+maBsin =mgcos maBcos +mgsin =ma'A A: mg  N maB B T Tsin =maB Tcos +mg=N B:

解得： 对地加速度 aBx= - aB

例 已知弹簧 K, l0 ,重物 m。求任一位置系 统总势能。 x 解： 势能与所选取的零势能 点的位置不同而不同 l0 0' 取 0 点为零势能点 x0 mg=kx0 EP重=mgx (x 负值) m x m

例、 发射卫星用的第二节火箭工作结束后，自动脱落而自 由飞行，经观测，第二节火箭壳体运行到离地面最大高度 （式中R为地球半径，即壳体离地心 ),此时测得它 的飞行速度 （式中g为重力加速度)。求：壳体落 到地面附近处的速度及壳体在该处运行轨迹的曲率半径。  g 解： 角动量守恒 机械能守恒 得

EP 势阱 E1 r r2 r0 r3 r1 E2 看 P 99 的说明

例 ： 巳知一带正电的点电荷在某电场中的电势能曲线如 图所示，oA段为抛物线，且 x= a 处 Ep=Eo，若点电 荷的总能量为 Eo， 求: 点电荷受到的电场力及 F 与 x 的关糸曲线。 a x Ep Eo o A Ⅰ Ⅱ Ⅲ 解：（1）Ep与 x 的关系 而 Fx= 0 ( x < 0 ) ( 0< x< a ) 0 ( x > a ) x o a Fx

例： 质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球一速度v0绕管心作半径为r0的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径变为r1。求小球的速度以及外力所作的功。 解： 角动量守恒 v0 r1 r0 v0 F 动能定理：

ac  当cos  >r/R 纯滚动时 FMax=? ac>0向前滚动  当cos  <r/R Ff Rcos-r 当cos  <r/R Ff ac<0向后滚动 令Ff=mg

* t A o 《七》 振动力学与波动 振动 回复力 作谐振动的必要条件: （始终指向平衡位置的力） （一）振动方程 （二）参考圆 《七》 振动力学与波动 振动 作谐振动的必要条件: 回复力 （始终指向平衡位置的力） （一）振动方程 （二）参考圆 o A t (a) 振幅 A 表示矢径 (b) 矢径在 x 轴上的投影为位移 (c) 矢经旋转的角速度为圆频率 * （三）速度，加速度

o x 当 A1 = A2 时 A = 0 静止 加速度与位移恒成正比且反向 称谐振动的运动学特征方程 （四）同频率平行简谐振动的合成 同位相 反位相 当 A1 = A2 时 A = 0 静止

（五）不同频率平行简谐振动的合成　拍　 每秒加强的次数称拍频 拍频 （六）　同频率垂直简谐振动的合成 直线方程 椭圆或圆方程

波动 （一）基本概念 ① 波是振动状态的传播 ② 波速与传播媒质有关，也称相速度 ③ 频率：单位时间传播的波数 ④ 特征方程 ⑤ 波动式

（二）波的能量 （1）能流密度（波的强度） （2）声强级 （分贝） （三）相干波的叠加 （1） ±2n 同位相 干涉加强 A = A1+ A2 ±(2n+1) 反位相 干涉减弱 A = A1－ A2

* （2）当 1 = 2 n 同位相 干涉加强 (2n+1) 反位相 干涉减弱 （3）驻波：正反方向传播的波的叠加 （2）当 1 = 2 n 同位相 干涉加强 (2n+1) 反位相 干涉减弱 （3）驻波：正反方向传播的波的叠加 （a）驻波是分段振动，每段相差 （b）每段内各个质点振动具有相同位相 （四）简正模 *

（五）　多普勒效应 趋近 分子 + ，分母 - 远离 分子 - ，分母 + 趋近 远离

《八》 热力学平衡态 （一）平衡态与平衡过程 （1）热动平衡态：气体内各处温度，压力相同， 且不随时间变化，与外界也没有能量交换 （2）平衡过程：当气体状态改变时所经历的中间 过程都无限接进於平衡态 平衡过程就是过程进行的非常缓慢 （二）理想气体状态方程 其中

（三）压力公式 理想气体模型假设: (1) 视为质点 （气体分子大小与距离相比可忽略不计） 气体分子线度10-10米 (2) 相互作用力，重力忽略 （以碰撞为主） (3) 看作弹性小球，遵循牛顿运动定律 （研究问题的一种方法） 二个统计性假设 (1) 容器内各处密度均匀 (2) 分子向各个方向运动的趋势（或机会）均等 其中 分子平均平动动能

（四）能量均分原理 每个气体分子的能量 m 千克气体分子的能量 i=3 单原子 i=5 双原子 i=6 多原子

（五）麦克斯韦速率分布函数 （1） 满足归一化条件 （2）三个统计速率 150K 273K f (v) vP v o

（4）f (v) 的物理意义 某一速率的分布率 1. 2. 某一速率可能出现的分子数 3. d v 速率区间的分布率 （3）麦克斯韦速率分布曲线主要特点 1. 速率很大与很小的分子 数较少，中间的较多。 2. 温度升高，曲线高度下降并右移。 3. 同温度下，分子量小的分子的曲线高度下降并右移。 （4）f (v) 的物理意义 1. 某一速率的分布率 2. 某一速率可能出现的分子数 3. d v 速率区间的分布率

4. d v 速率区间出现的分子数 5. 显然： 归一化条件 6. 总分子数 7. 0v 速率间分子数 出现的几率 8. 0v 速率间的分子数

（空间位置的分布） （六） 玻耳兹曼分布 其中 密度 大气压公式

《九》 热力学定律 （一） 热力学第一定律 正负号要清楚 P~V 图上为曲线下面积 或 摩尔热容

(a) 等容过程 (b) 等压过程 (c) 等温过程 (d) 绝热过程 （二） 第一定律对等值过程的应用 1：等值过程的特征要清楚 2：过程方程？

其中 和 （三） 循环过程 1：特点 ① ② 闭合曲线的面积为净功 2：正循环 （热机） 3：逆循环 （冷机） 热泵 e =  +1

（四） 热力学第二定律 1: 可逆过程与不可逆过程 2: 卡诺定理 在 T1 , T2 间的一切可逆机，效率均相等 在 T1 , T2 间的一切不可逆机，效率均小于 开尔文叙述 3：热力学第二定律的两种叙述 克劳修斯叙述

T o S （五）熵 描写热力学系统过程进行的方向性的态函数 （1）只有熵变才有意义。 1： （2）不可逆过程可在两状态间选 一个可逆过程来代替，再用公式 T S o dS 2：温熵图 dQ=TdS 闭合曲线表示一个循环过程。所围面积是糸统吸收的净热,也是对外所做的净功。 3：熵增原理: 在封闭糸统中任何不可逆过程导 致熵的增加。也就是说，自发过 程是沿着熵的增加方向进行的。

例 1：河宽为 d，靠岸处水流速度为零，中流的流速最快 Y 为 vo ，从岸边到中流，流速正比增加。 中流 vo 某人以不变的划速 u 垂直于流水 方向离岸划去。 （1）写出船的运动方程； （2）求船的运动轨迹。 解： （1） X （2）消去 t

例 2: 一质量为5干克的物体，在合力 Fx = R - k t 2 (R = 10牛 (1) 分析物体的运动情况 (2) 求 t = 15秒时 x、v=？ 解 （1） 讨论：1、t = 10秒时,速度达最大 Vm= 20-20/3=13.33(米/秒) 2、v=0 即 时，速度为零。

（2） 得 （米）

例3： 质量为m的渡船在动力 Fo和与速度 v 成正比的水的 阻力共同作用下能到达的极限速度为vo则以此极限速度运 动的渡船在离码头多少距离 l 就可关闭发动机，使船靠岸 时的速度为零？为不使靠岸过程的时间过长，实际上离码 头 处才关闭发动机，这样船靠岸时的船速为多少？从 关闭发动机到船靠岸这个过程中用了多少时间？ 解 ① 达极限

② ③

例 4： 已知 m，M，h，相叠自由落下作弹性碰撞。 求证 m 反跳 9 h。（ h 》R） M 解：弹性碰撞，动量守恒，机械能守恒 h 设大球到达地面速度为 V，则 v10=V， v20= －V，M 》m 代入得 小球速度增加 3倍，动能增加 9倍 ，故回跳 9 h

例5： 物体A与水平桌面间的摩擦系数为 ，不可伸长的细 绳一端系住物体A，另一端绕在半径为R的圆柱形转轮B 上，物体的质量为m，转轮的质量为M=4m。开始时物体 A静止，绳子松驰着，转轮以 o 绕其轴线转动。求：细绳 从绷紧拉动物体A运动开始，到物体A重新停止，物体A运 动通过的路程和所用的时间。 解：绷紧瞬间，角动量守恒 与 动能定理 动量与角 动量定理

例 6 ： 轻滑轮光滑。已知 M，m，下降 h 后绳刚好拉紧。 （1）讨论绳拉紧瞬间，动量、动能、 机械能是否守恒？ （2）求 M 上升的高度。 m 解：（1） 判断守恒的条件 h m ① 动量守恒 M ② 动能守恒 ③ 机械能守恒 （天花板对滑 轮的拉力） (a) 动量不守恒 (b) 动能不守恒 但 （没有位移） 而 （绳子发生形变） （c）机械能也不守恒

（2） 对 m 用冲量原理（向上为正） 提问：从结果看好象动量守恒也可解得 错在什么地方？ 错在动量是矢量 M 上升过程，机械能守恒

v = V 例7：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与 铁钉进入木块内的深度成正比。用铁锤 o dx s1 s2 x o 铁钉进入木块内的深度成正比。用铁锤 击第一次时能将铁钉击入木块 1 厘米， 问：击第二次时能将铁钉击入多深？假 定铁锤击打铁钉的速度相同。 解：设铁锤质量 M，铁钉质量 m。 M,m系统，动量守恒 v = V 由于 m << M 打入过程，用动能原理

第二次击打 得 第二次再击入深度

例8： 如图。质量为m1， m2 的二滑块分别穿於两平行光滑 v1 导轨上，两导轨间距为 d。再以一 弹簧系数为 k，自然长度为 d 的轻 弹簧连结。设开始时 m1 位於 x1=0 处，m2 位於 x2=l 处，初速均为零 求释放后二滑块的最大速度。 x1 d m2 v2 解： m1, m2 系统, x 方向动量守恒 x2 滑块与弹簧垂直时速度最大 机械能守恒

9： 两相向飞行的火箭原长都为 l 。而地面观测者测得 各火箭长度都为原长的一半，则两火箭相对地面的速度为 多大？其中一飞船测得另一飞船的长度为多少？ 解：长度缩短 A B X 地面 地面为 S 系，A 为 S' 系

× × × √ × （一）判别下列讲法是否正确 1．同一温度下，各种分子的平均动能都相同。 2．同一温度下，同种分子的平动动能都相同。 （平均） 3．分子的平均平动能越大,压力必然越大。 × 4．压力、体积、温度相同的氢气和氧气，它们 ① 质量相 同， ② 内能相同， ③ 平均速率相同。 × √ × × 5．最可几速率就是具有这种速率的分子最多的速率。

6 : ① 平衡过程就是无摩擦的，平衡力作用的过程 ② 平衡过程一定是可逆过程 无摩擦的平衡过程 6 : ① 平衡过程就是无摩擦的，平衡力作用的过程 × ② 平衡过程一定是可逆过程 × 无摩擦的平衡过程 ③ 平衡过程是无限多个连续变化的平衡态的连接 √ ④ 平衡过程在 PV 图上可用一连续曲线表示 √ 7 : 一定量气体由一定初态绝热压缩到一定体积，若一次快 速压缩，一次缓慢压缩，这二次系统的温度变化不同 √ 8: 将一致冷机用来取暖，即将外界的空气制冷，使室内温 度升高，其效率将比使用相同功率的电炉取暖来的高 √ 9 : 功可以全部转化为热，但热不能全部转化为功。热量 能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温 物体。这二种说法前者不完整，后者也不正确 √ 7 :不平衡过程 8 : e =ω+1 > 1 9 :循环，自发

P V o A 1：在 P ~ V 图上画出理气体的等 容、等压、绝热过程曲线，这 三个过程的初始状态相同，末 状态的内能相同。 则末状态 等容 绝热 等温 则末状态 一定在等温线上。 解：设状态从 A 开始，

2: 图示两曲线分别表示了氢气和 氧气同温度下的麦克斯韦速率分布 情况。求氢气的最可几速率和氧气 的均方根速率与速率从 vp到 2: 图示两曲线分别表示了氢气和 氧气同温度下的麦克斯韦速率分布 情况。求氢气的最可几速率和氧气 的均方根速率与速率从 vp到 的平均速率的表达式。 f (v ) 氧 氢 o v 解： 当 T 一定时 1000m/s M 大 → vp 小

3: 如图理想气体经过三个不同的过程由 a 状态到达 f 状态 其中 acf 状态是绝热过程，说明abf， adf 过程中热量 Q 和摩尔热容 C 的正负号，并填入下表中。 P V o a f c b d a b f a d f 过程 热量 Q 摩尔热容 C － ＋ － ＋ 解：

4: 对 N=1.2×1010 个粒子的速率进行测定，它的速率分布 曲线近似于题图所示 f (v) o 10 20 30 40 50 m/s v a (1) 速率处于29米/秒到 31米/秒间的粒子数 为多少？ (2) 速率小于20米/秒的 那些粒子数的平均 速率为多少？ 解： （1）

（2）

5：单原子理想气体作如图所示循环，求循环效率。 a b c V（升） P（大气压） 1 2 解：

例 一平面简谐波在空间传播，已知 A 点的振动方程为 ， 就下列给出的四种坐标 （1）写出波动式 （2）若 B 点距 A 点为 b 恒定，则四种坐标对 B 点的振 动描述是否相同 y u A B x o B 振动式 y u A B x o B 振动式

y u A B x o l B 振动式 y u A B x o l B 振动式

例 ： 一沿 x方向传播的波，在固定端B点处反射。A点处的质点由入射波引起的振动方程为 O x A B 已知入射波的波长为 ，OA= 0.9 ，AB = 0.2 。 如图所示，设振幅不衰减。求： （1）入射波波动式； （2）反射波波动式； （3）合成驻波波动式。 解1：0点振动式 波动式： 2：

3：驻波表达式，由

例 ： 以光速传播的微波从正在远处趋近微波源的飞机 上反射，在地面上形成 5000 KHz 的拍频。微波波 长  = 0.1 毫米。求飞机的速度 V 解： 拍频是波源与反射波差频所形成 反射波频率 （飞机为接收器） 地面接收到反射波的频率 （飞机为反射波波源） 拍频

200 a -2 a v = 0 vp = 100(m/s) 例： 假设有 N = 1.2×1010 个粒子,其速率分布函数 f (v)为 o v(m/s) ① 试求其最可几速率。 ② 速率处在 99 m/s ~ 101 m/s 的粒 子数约为多少？ ③ 求速率处在 0 ~ 100 m/s 之间那些粒子的平均速率。 解：① 200 a -2 a v = 0 vp = 100(m/s)

② 先确定归一化常数 a (个) ③ N N

例： PV 图上为单原子气体的 循环过程。请填表: P a→b 等压 b→c 绝热 c→d 等容 o V d→a 等温 解： 根据等值过 Q( J ) A ( J ) c a→b 等压 250 100 150 b→c 绝热 75 -75 d c→d 等容 -75 -75 o V d→a 等温 -125 -125 解： 根据等值过 程的特征  ( 效率) 20%

c→a a→b 绝热 p 例： 如图。等温，等容，绝热 构成一个循环。已知a→b 绝热 b→c 等温，c→a 等容，s1=30( J ) 例： 如图。等温，等容，绝热 构成一个循环。已知a→b 绝热 b→c 等温，c→a 等容，s1=30( J ) s2=70(J )。 求 =？ a s1 c s2 而 b 解： o V 只有 c→a 等容吸热 c→a （因 b→c 等温） a→b 绝热

例： 把 0.5 干克 00 C 的冰放在 200 C 的热源中， 使冰正好全部融化。求系统熵变？ （已知冰的融解热为 3.35×105 J/千克） 系统熵变 增加

可逆 例： 理想气体，质量 m ,开始 初态为 1，体积V1 。至末态 2, 体积V2 。求熵变？ P 1 b e a 等温 2 绝热 d 解：（1）等温 o V V1 V2 （2） 等压，等容

另外： T1=T2 （等温） 和 （等压） （3）绝热，等容

绝热方程 （4）任意可逆过程