第5章 相量法基础

第5章 相量法基础 5.1 数学基础 5.2 相量法的基本思想 5.3 电路定律的相量形式

本章要求 1.了解相量法的数学基础； 2.正确理解正弦量、相量、相量模型及相量图等概念； 3.熟练掌握正弦量与相量之间的联系和区别、元件伏安特性和电路定律的相量形式； 4.初步掌握相量法分析正弦稳态电路。

5.1 数学基础 1 复数基础 1)复数的表示形式 a、代数式 b 、 三角函数式

根据欧拉公式 ，得 c、 指数形式 d、极坐标形式 F的共轭复数 2）复数的运算 (1) 加减运算 ——常采用代数式 设 ， 则

F1+F2 F1-F2 2）复数的运算 (1) 加减运算 ——采用图解法 F1 F2 Re Im o F1 Re Im o F2 F1-F2

(2) 乘除运算——常采用极坐标形式 设 ， 则 模相乘 角相加 (3) 旋转因子 模相除 角相减 复数 F• ejθ 相当于F逆时针旋转一个角度θ ，而模不变。故把 ejθ 称为旋转因子。

特殊旋转因子 设F = Fej +1 +j 注意：+j, –j, –1 都可以看成旋转因子。

【例5.1】 计算复数 原式 【例5.2】 计算复数 原式=

5.1.2 正弦量 1．正弦量及其三要素 1）正弦量:电路中瞬时值以时间t为变量，按正弦规律变化的电压或电流。 正弦量的瞬时值表示式可表示为 5.1.2 正弦量 1．正弦量及其三要素 1）正弦量:电路中瞬时值以时间t为变量，按正弦规律变化的电压或电流。 正弦量的瞬时值表示式可表示为 例如：

i Im 2）正弦量的三要素 设正弦交流电流： 初相角：决定正弦量起始位置 角频率： 决定正弦量 变化快慢 幅值：决定正弦量的大小  2 i O Im 设正弦交流电流： T i 角频率： 决定正弦量 变化快慢 初相角：决定正弦量起始位置 幅值：决定正弦量的大小 幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。

i (1)周期与频率 周期T：变化一周所需的时间 （s） 频率f： （Hz） 角频率： （rad/s） 例:已知 f=50Hz,求T 和ω。  2 i O 周期T：变化一周所需的时间 （s） T 频率f： （Hz） 角频率： （rad/s） 例:已知 f=50Hz,求T 和ω。 [解] T=1/f =1/50=0.02s, ω=2πf =2×3.14×50＝314rad/s

i Im (2) 初相位 (i) 相位角： 反映正弦量变化的进程。 随时间t变化。 初相位 ： 表示正弦量在 t =0时的相位角。  2 i O 　相位角： 反映正弦量变化的进程。 随时间t变化。 初相位 ： 表示正弦量在 t =0时的相位角。 不同初相时的正弦波形 一般规定：|| 。 在波形图上，与wt+φ=0相应的点，称为零值起点，用s表示。计时起点是wt=0的点，即坐标原点0。初相角就是计时起点对零值起点（即以零值起点为参考）的电角度。

相位差 ： 规定： | |  (180°) 　两同频率的正弦量之间的相位角或初相位之差。 例如： 若 若 电压超前电流 电压落后电流

特殊相位关系  = (180o ) ，反相  ＝ 0， 同相  = /2：u 领先 i /2 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。

两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。 例 计算下列两正弦量的相位差。 解 不能比较相位差

(3)幅值和有效值 瞬时值和幅值 瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母表示， 如：Im、Um 有效值 正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如 i、u等。 瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母表示， 如：Im、Um 有效值 在工程应用中常用有效值表示交流电的幅度。一般所讲的正弦交流电的大小，如交流电压380V或220V，指的都是有效值。 有效值:与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。设一交流电流和一直流电流I 流过相同的电阻R，如果在交流电的一个周期内交流电和直流电产生的热量相等，则交流电流的有效值就等于这个直流电的电流I。

R 交流 i R 直流I 物理意义 有效值也称均方根值 设 有效值必须大写

同理： 正弦量的三角函数式也可以表示成： 注意： 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。 测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。

例 已知正弦电流波形如图，＝103rad/s， 1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1 解 t i o 100 50 t1 由于最大值发生在计时起点右侧

正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。 研究正弦电路的意义 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。 正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数； 正弦信号容易产生、传送和使用。

正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。 结论 对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。

5.2 相量法的基本思想 在分析求解正弦电路时，将遇到正弦量的加减、积分和微分等运算，在时域形式下进行这些运算十分繁复。相量法是利用欧拉公式，通过借用复数表示正弦信号，可以使正弦电路分析得到简化。

5.2.1 正弦电量的相量表示 设正弦电流 利用复数，也可表示为 可见正弦量i有唯一与其对应的复数指数函数F(t)。 5.2.1 正弦电量的相量表示 设正弦电流 利用复数，也可表示为 可见正弦量i有唯一与其对应的复数指数函数F(t)。 取F(t)的复常数 来表示正弦量 i，称为i的幅值相量，写为 和 分别是正弦量 i 的振幅和初相角

也可以以正弦量的有效值为模，初相角为辐角构建出正弦量的有效值相量，即 可见： 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 注意 用相量表示正弦量，并不是说相量就等于正弦量。

正弦量的相量图 幅值相量图 有效值相量图

【例5.5】已知 试用相量表示i, u . 解： 【例5.6】若 试写出电流的瞬时值表达式。 解:

5.2.2 正弦量的计算 1．同频率正弦量的加减运算 …… 设: 则: 是正弦量i对应的相量

结论：同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算 可由 ， 【例5.7】 已知 ，求：i1 + i2 ； 解：由题意得

所以

2正弦量的微分、积分运算 微分运算 积分运算 i的n重积分的相量 说明，可用相量的代数运算来替代同频率的正弦量的加减、微积分运算。

5.3 电路定律的相量形式 1. 基尔霍夫定律的相量形式 5.3 电路定律的相量形式 1. 基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示： 表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。

2. 电阻元件VCR的相量形式 时域形式： 频率相同 有效值关系 UR=RI u=i 相位关系 相量形式： 相量关系： 时域模型 相量模型 相量形式： 相量图 相量关系：

3. 电感元件VCR的相量形式 时域形式： 频率相同 有效值关系 相位关系 相量形式： 相量关系：

感抗和感纳 XL= U/I = L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆) BL=-1/ L =-1/2fL， 称为感纳，单位为 S 感抗的性质 表示限制电流的能力； 感抗和频率成正比。 w XL 由于感抗的存在使电流落后电压。 相量表达式

3. 电容元件VCR的相量形式 时域形式： 频率相同 有效值关系 相位关系 相量关系：

容抗与容纳 ω |XC| XC= 1/ω C 称为容抗，单位为 (欧姆) B C = ω C， 称为容纳，单位为 S 容抗表示限制电流的能力； 容抗的性质 容抗和频率成反比 0， |XC| 直流开路(隔直) ω ，|XC|0 高频短路 由于容抗的存在使电流超前电压。 相量表达式

4.受控源的相量形式 VCVS： u2( t ) = u1( t ) U2 = U1 . VCCS： i2( t ) = gu1( t ) I2 = gU1 . CCVS： u2( t ) = ri1( t ) U2 = rI1 . CCCS： i2( t ) = i1( t ) I2 = I1 .

对于一个正弦稳态交流电路，若将电路中所有电压和电流都用它们所对应的相量代替，将所有的电路元件都用它们的相量模型表示，则可得到原电路对应的相量模型。 相量法的优点 把时域问题变为复数问题； 把微积分方程的运算变为复数方程运算； 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。

， 【例5.8】图 示电路，已知 求 解：由题意得 则 相量模型 得

【例5.9】图示RLC并联电路中，已知 V ，求 解：由题意得 相量模型

【例5.9】图示RLC并联电路中，已知 V ，求 解：由题意得 根据KCL 故