机 械 制 图 万婧 力学与工程科学系 wanjing@fudan.edu.cn

第一章 投影法和点、线、平面的投影  1－1 投影法 一、投影的基本知识 第一章 投影法和点、线、平面的投影  1－1 投影法 一、投影的基本知识 　　在图中，点S和A均是 P平面外的点，从 S点过 A点交于P平面上的图象 a点。则将S、A连成直线，作出 SA 与 平面P 的交点 a，a点称为点A的投影图象。 S点 称为：投射中心（称点光源） P平面称为：投影面 SA线称为 ：投射线 a 点 称为 ：投影（图象） 产生A点图象的方法称为: 投影法。 投影法分为两类： 中心投影法 平行投影法（称平行光源）

二、中心投影法 　 如图所示，点S（投射中心）射出过A点射线，在投影面 P形成 a点的投影图案，该方法称为： 　中心投影法。

三、平行投影法 如图所示，投射线（由平行光源）平行投射，在投影面P形成的投影图案，称为平行投影法。 平行投影法又可分为： 正投影法：投影线（平行光源）垂至于投影面的投影法 斜投影法：投影线（平行光源）倾斜于投影面的投影法 正投影法 斜投影法

中心投影法 平行投影法

 1－2 多面正投影和点的投影 一、多面正投影 点的位置A(x0,y0,z0)由正投影获得。 如图，空间点A作垂至于投影面P的投影线，相交与平面P唯一投影点a。 若又已知点A0(x1,y1,z1)与A点为同一垂直线上的点，投影也相交与平面P上a点，这样就出现问题，点 A的位置不能被唯一确定。 要准确地描述A点的空间位置,可应用两个或更多的投影面，A点向多个投影面作正投影，形成多面投影。来获得A(x0,y0,z0)坐标值和点在空间的位置。

几何形体放在相互垂直的两个或更多的投影面之间 ，向这些投影面投影，形成 ：多面投影。 多面正投影 几何形体放在相互垂直的两个或更多的投影面之间 ，向这些投影面投影，形成 ：多面投影。

国标规定： 物体在互相垂直的两个或多个投影面上得到的正投影后，将这些投影面旋转展开到同一图面上，使物体的各正投影图 有规则地配置，并相互之间形成对应关系，这样的图形称为： 两面投影 或 多面投影图 《三维立体图的多面投影》 《投影面展开图》 《两面投影》

二、点在两面投影面体系第一角中的投影 如图所示，设立互相垂直的 正立投影面（简称正面或V面） 水平投影面（简称水平面或H面） 组成两投影面体系。 H 面和 V面相交于投影轴 OX (投影面的交线)将空间分为四个角。 我国制图标准规定将形体处在 《图2－4》①角中投影，本课程只 讲述 第①角投影法 。

如图2-5(a)所示，将空间点A分别向正投影面 V 和水平投影面V作出投影 a’和 a。然后V面不动，将H面绕投影轴OX向下旋转90度，就得到点A的投影图，如图2-5(b)所示。实际上不画出边框和ax。点 a' (Aa')和 a(Aa)的连线称为投影连线。 点的两面投影特性： （1）点的投影连线垂直投影轴。 （2）点的投影到投影轴的距离等于点到相邻投影面的距离。 A(x0,y0):V面的距离=y0 (Aa 或 axa’) 、H面的距离=x0 (Aa’或 axa)

三、点在 三投影面体系第①分角中的投影 点在两个面的投影已基本能确定点在空间位置，但还不能清晰描述几何图形的特牲，再设立一个与 V面和H面都垂直的侧立投影面（简称侧面或W面）形成一个三投影面体系。 如图所示，三个投影面之间的交线 OX，OY，OZ ，它们必定互相垂直。称为：三投影面体系的三根投影轴。 (注：三根投影轴与三维笛卡尔坐标系类似，在三维坐标系中A点的位置为A(ax ,ay ,az )）。

投影面展开 不动 Z 向右翻 a Z a X Y O  V W V a a A a X a O W H a a H Y 向下翻 z ● x z Z a y X Y O  V W V a a z ● A a X x a ● ● O W H a y a ● H Y 向下翻

(一) 点的投影与坐标 A点在三投影面体系中： 用a 表示空间点A的(H)水平投影； 用a’表示空间点A的(V)正投影； 用a”表示空间点A的(W)侧投影。 点A ( ax ,ay ,az )的 坐标分量： ax=H 投影面的距离(Ya) 或 正投影到W投影面与Y轴的距离； ay=W投影面的距离(Xa) 或 正投影到W投影面与X轴的距离； az=A点到投影面H的垂直距离(Za) 或 ax与ay投影面在Z轴上的交点。

ay = OayH = axa = 0ayw = aZa” az = Oaz = axa’= aywa” A (ax ,ay ,az) ax = Oax = ayHa =aZa’ ay = OayH = axa = 0ayw = aZa” az = Oaz = axa’= aywa” 立体图 展开图 投影图

点的三面投影特性： （1）点的投影连线垂至于投影轴。 （2）点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标分量值，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。

点的每个投影反映它的两个坐标值： a(ax,ay) a’(ax,az) a”(ay,az)

（二）投影面和投影轴上的点 图表示了投影面和投影轴上点的投影特性： （1）投影面上的点有一个坐标分量为零(V面上B点、H面上C点) 　　　 在该投影面上的投影与该点重合(即投影面上的点)，在相邻的投影面上的投影分别在相应的投影轴上。 （2）投影轴上的点有两个坐标分量为零：（OX轴上D点） 　　　 在包含该轴的两个投影面上的投影与该点重合(即投影轴上的点) ，在另一个投影面上的投影与点O重合。 B ( ob,0,ob”） D(od,0,0） C(oc ’,oc”,0）

例3： 已知：B点和 C点 的坐标：B(15,10,0) ，C(0,0,20)。 求作：两点的第三投影图。

例：A (ax ,ay ,az)， B (bx ,by ,bz)， C (cx ,0 ,cz)， D (dx ,dy ,0)， E (ex ,0 ,0)， F (0 ,fy ,fz)：

（三）两点的相对位置 如图1－8所示，两个点的投影沿左右、前后、上下三个方向所反映的坐标差，即这两个点对应投影面W、V、H的距离差，能反映两点的相对位置；反之，若已知两点的相对位置和其中一点的投影，也能作出另一点的投影。

两点的相对位置 A(XA,YA,ZA) 和 B(XB,YB,ZB) 两点的相对位置： 如：b’→ a’ : a’(△X=Xa-Xb ，△Z =Za-Zb ) b → a : b (△X=Xa-Xb ，△Z =Za-Zb ) 如：a’→ b’ : b’(△X =Xb-Xa ，△Z =Zb-Za ) a → b : b (△X=Xb-Xa ，△Z =Zb-Za ) CAD的输入格式： @△X ,△Y, △Z

（四）重影点 从下图可知，点C在点A之后，两点无左右、上下距离差，这两点的正面投影互相重合，点A和点C称为对正投影面的重影点。同理，也有对水平投影面和测投影面的重影点。 表示重影点时，看不见点的投影，其代号用圆括号括起来,例如上面所述的C点的正投影看不见，可表示为a’(c’)。

两个空间的点，发生重影的条件： 两对坐标值相等，一对坐标值不相等. Xa = Xc Za = Zc Ya > Yc

重影点的可见性问题： 在H面：上遮下；在W面：左遮右；在V面：前遮后

1－3 直线的投影 一、直线及直线上点的投影特性 1）不垂直于投影面的直线在该投影面上的投影仍然是直线。 1－3 直线的投影 一、直线及直线上点的投影特性 1）不垂直于投影面的直线在该投影面上的投影仍然是直线。 2）垂至于投影面的直线的投影，积聚成一点。 3）直线上点的投影必在直线的同面投影上（几何形体在同一投影面上的投影，称为同面投影）。 4）不垂直于投影面的直线上的点，分割直线之比，在投影后保持不变。

直线的投影 a b b 两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。 a b 直线对一个投影面的投影特性 b ● 两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。 直线对一个投影面的投影特性 ● A B a b  A M B ● a≡b≡m B A ● a b 直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积　聚　性 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB

【例1－1】作出分线段AB为3:2的点C的两投影c和c’

◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。 c a X b Y O Z ′ ″ c A H a V b B C W ′ ″ ◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。　 ◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即： AC:CB=ac:cb= ac : cb= ac : cb 定比定理

1、一般位置的直线(倾角 00< αβγ <900) ： 2、特殊位置的直线： （a）投影面的平行线(倾角 = 00) ： 二、直线对投影面的各种相对位置 1、一般位置的直线(倾角 00< αβγ <900) ： 对V、H、W面倾斜。 2、特殊位置的直线： （a）投影面的平行线(倾角 = 00) ： 只平行于一个投影面的直线，投影面的平行线包括水平线、正平线和侧平线(对其它两投影面都倾斜)。 （b）投影面的垂直线(倾角 = 900) ： 垂至于投影面的直线，它必定平行于另外两个投影面，所以它是投影面的平行线的特例。投影面的垂直线包括铅垂线、正垂线和侧垂线。 3、直线与投影面的夹角(倾角 00< αβγ <900) ： 定义：、、分别为直线与投影面H、V、W面的夹角。

（一）一般位置的直线 (倾角 00< αβγ <900) 一般位置直线的投影特性为： 三个投影都倾斜于投影轴 投影长度小于直线的真实长度 投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的夹角 图1－12 为一般位置直线的投影。

（二）投影面的平行线 (倾角 = 00) 表 1－1 列出 了投影面平行线的投影和投影特性。 表 1－1 列出 了投影面平行线的投影和投影特性。 1）在平行的投影面上的投影反映实长；它与投影轴的夹角，分别反映直线与另两个投影面的夹角。 2）在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴。

（三）投影面的垂直线(倾角 = 900) 表1－2列出了三种投影面的垂直线的投影和投影特性。 1）与直线垂直投影面上的投影，积聚成一点。 2）在另外两个 投影面上的投影 平行于投影轴， 反映真实长度。

三、两直线的相对位置 图1－3表示了两直线的三种相对位置：平行、相交、交叉。

【例1－2】判断两直线的相对位置。(P77)

【例1－3】判断直线AB、CD的相对位置。 解： 1、由于两直线的同面投影不平行，所以AB // CD； 2、若AB、CD相交，则a’b’和c‘d’的交点是AB和CD的交点的投影； 若AB、CD交叉，则a’b’和c‘d’的交点分别是位于AB、CD上对正面投影的重影点的投影。 添加W面，e“点投影不是共点。 3、红线1e//2b，所以E点在ab线上。 所以AD与CD交叉。

例：判断点C是否在线段AB上。 另一判断法? 应用定比定理 ② c a b c a b a b c a b c ① a a ● a b c a b c ① ● a ● a a b c b ③ c b ● c 另一判断法? 应用定比定理

例：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。 解法二： （应用定比定理） 解法一： （应用第三投影） ● a a b b k ● a a b b k a ● ● k ● k ● k ● b

例：过C点作水平线CD与AB相交。 a ● b b a c k d 先作正面投影 d k c ●

交点不符合一个点的投影规律！ ⒊ 两直线交叉 c a b d O X a c A C V b H d D B 两直线相交吗？ 不相交！ ′ a c A C V b H d D B ′ 两直线相交吗？ 不相交！ 为什么？ 交点不符合一个点的投影规律！

例1－4：作水平线MN与AB、CD、EF分别交于点M、S、T，N点在V面之前6mm（图1－16）

四、换面法以及直线在换面法上的基本情况 用换面法解题时有两条原则： 根据几何形体作平行与投影面的镜面投影，能直接反映真长和投影面的倾斜角的启示，使几何形体在新的投影面体系上处于便利解题的特殊位置，可在新的投影面体系中作图求解，这种方法称为：变换投影面法，简称：换面法。 用换面法解题时有两条原则： (1)、新投影面应选择在新投影面体系中使几何形体处于便利解题的位置。 (2)、新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面，并与它组成新投影面体系，必要时可连续变换。

投影变换的基本作图法（步骤）： 1、按照实际需要确定新投影轴，由原有的投影作垂直与新投影轴的连线。（画出新的投影面-变换面） 2、在这投影连线上，从新投影轴向新投影面(变换面)一侧，量取点的被更换的投影与被更换的之间的距离，就得到该点所求的新投影。（镜面投影） 投影变换可连续投影变换。 第一次投影变换加注下标"1”; 第二次投影变换加注下标"2”; ……； 依此类推。 见教材P79-83

直线在换面法中常用的三种情况 情况一：一次换面可将一般位置直线变换成投影面的平行线。新投影轴应平行于直线原有的投影。 情况二：一次换面可将投影面平行线换成另一投影面的垂直线。新投影轴应垂直于直线直线所保留的反映真长的投影。 情况三：两次换面可将一般位置直线变换成投影面的垂直线。先将一般位置直线变换成投影面的平行线，在将投影面的平行线变换成投影面的垂直线

五、一边平行于投影面的直角的投影 例：已知：AB//H, ABC=900。 求证：一边平行于投影面的直角的投影仍是直角。 例: 过C点作AB的垂线CD及其垂足为D，并求点C与正平行线AB的距离。

例P20：求作两交叉直线AB，CD的公垂线及它们之间的距离。

六、用直角三角形法直线的实长及对投影面的倾角 方法为：以直线某一投影面上的投影为底边，两端点与这投影面的距离差为高，形成直角三角形的斜边是直线的真长，斜边与底边的夹角就是直线对这个投影面的倾角。

 1－4 平面的投影 （一）平面的表示法(几何表示法) c a b c a b a b c a b c b a c a b  1－4 平面的投影 （一）平面的表示法(几何表示法) c ● a b c a b a b c a b c ● b ● a c a b c a b c a b c ● c ● a b a b c d ● d ● 两相交直线 平面图形 直线及线外一点 两平行直线 不在同一直线上的三个点

(二）用迹线表示平面 平面与投影面的交线称为迹线。图2－31所示了用迹线 表示平面的方法。

二、平面对投影面的相对位置 1、一般位置的平面：对三个投影面都倾斜的平面。 2、特殊位置的平面： （1）投影面的垂直面：只垂至于一个投影面的平面。 （2）投影面的平行面：平行于一个投影面，垂至于另 外两个投影面的平面。 （一）一般位置平面 图1－29示出了一般位置平面的投影图。 其投影特性为： 它的投影都仍是平面图形，而面积缩小。

（二）投影面的垂直面 （P88） 表1－4表示了投影面的垂直面投影图和投影特性： (1)在垂直的投影面上，积聚成直线；它与投影轴的夹角反映平面对另两个投影面的夹角。 (2)在另外两个投影面上的投影仍为平面图形，面积缩小。

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 ⑴ 投影面垂直面 b b 类似性 类似性 c c a a 积聚性 β c b γ 铅垂面 a 是什么位置的平面？ 投影特性： 为什么？ 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。

例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。 ● a c b

（三）投影面的平行面 （P89） 表1－6表示了投影面的平行面的投影和投影特性： （1）在平行的投影面上反映实形。 （2）在另外两个投影面上的投影，分别积聚成直线，平行于相应的投影轴。

三、用有积聚性的迹线表示特殊位置的平面 平面也可以用迹线表示、迹线是平面与投影面的交线。用迹线表示的平面称为迹线平面，平面与V面、H面、W面的交线分别称为正面迹线、水平迹线、侧面迹线，用平面名称的大写字母附加投影面名称的注脚表示(PV、PH、PW）。 如图所示：

投影面的垂直面的迹线表示：

投影面的平行面的迹线表示：

四、平面上的点和直线 （1）点在平面上的几何条件是： 点在平面上，则该点必定在这个平面上的一条直线上。 （2）直线在平面上的几何条件是： 直线在平面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点； 或 通过这个平面上的一个点，且平行于这个平面上的一条直线。 【例1－11】 （P92）　判断点D是否在平面ABC上。 解：作通过d ’点的直线a’ e’ ， 　　交于 b ’ c ’直线，交点为e’。 证明： e’在b ’ c ’直线上。 　　　be：ec = b ’ e ’： e ’ c ’ 　则：e’是b ’ c ’直线上的点； 　　　ae是平面ABC上的直线。 《图1-34》

面上取点的方法： 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 首先面上取线 例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 b a c a k b ● ① c ② ● a b c a b k c d d k ● k ● 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解

[例1-12] 　（P92-93） 《图1-35》

例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。 d 解法二: 解法一: a b c b c a a b c b c a m ● n ● m ● n ● 有多少解？ 有无数解！

例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。 有多少解？ m n 唯一解！ 10 c b b c n m a

已知：点D和直线DE位于相交两直线AB，BC所确定的平面ABC上。 《图1-33》平面上的点和直线

例：已知AC为正平行线，补全平行四边形ABCD的水平投影。 解法一: 解法二: k c a d d a c k b b

五、圆的投影 圆的投影特性： （1）在与圆平面平行的投影面上的投影反映实形。 （2）在与圆平面垂直的投影面上的投影为一直线，长度等于圆的直径。 （3）在与圆平面倾斜的投影面上的投影为椭圆，长轴为平行于投影面的直径的投影，短轴为圆的与上述直径垂直的直径的投影。

六、平面在换面法中的基本情况 情况 1： 一次换面可将一般位置平面换成投影面垂直面。新投影轴应于平面上平行原有投影的直线的投影相垂直。 　　　一次换面可将一般位置平面换成投影面垂直面。新投影轴应于平面上平行原有投影的直线的投影相垂直。 情况 2： 　　　一次换面可将投影面垂直面变换成投影面平行面。新投影轴应于这个平面平行于这个平面的有积聚性的原投影。 情况 3： 　　　两次换面可将一般位置平面变换成投影面平行面，先将一般位置平面换成投影面垂直面，再将投影面的垂直面变换成投影面平行面。 例题：见教材（P95-P97）

不在同一平面上的直线与平面以及两平面之间的相对位置，只可能是相交或平行；垂直是相交的特例。 1－5 直线与平面以及两平面之间的相对位置 不在同一平面上的直线与平面以及两平面之间的相对位置，只可能是相交或平行；垂直是相交的特例。 现将两者之一垂至于投影面的相对位置作为：特殊情况； 而将两者都不垂至于投影面的相对位置作为：一般情况。

投影面垂直线与平面的交点的一个投影，就集聚在该直线的积聚成一点的同面投影上，其它投影可按平面上取点的方法作出；并可用交叉线重影点来判断直线投影的可见性。

一、在特殊情况下图示与图解直线与平面以及两平面之间的相对位置 （一）相交 直线与垂直于投影面的平面相交, 平面有积聚性投影与直线的同面投影的交点，就是交点的投影，从而可以作出交点的其它投影；并可在投影图中直接判断直线投影的可见性。 （未判定前用双点线表示；判定后用虚线表示）

平面图形与垂至于投影面的平面相交，可以作出前者的任意两条直线与后者的交点，然后连成交线；并可在投影图中直接判断投影重合处的可见性。

例：已知黑线图形，作平行四边形ABCD与侧平面P的交线，并表明可见性。(P34)

能! 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。 作图 例：求两平面的交线 MN并判别可见性。 空间及投影分析 f a b m(n) 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。 e ● c d  X O e 作图 a n ● c ① 求交线 d ② 判别可见性 m ● 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。 f b 如何判别？ 可通过正面投影直观地进行判别。 能否不用重影点判别？ 能!

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。 例：求两平面的交线 MN并判别可见性。 空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。 f a b m(n) e ● c d X O 作图 e a n ● c ① 求交线 d ② 判别可见性 m ● 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。 f b

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn 即为交线MN的水平投影。 空间及投影分析 a′ a b d(e) e′ b′ d′ h(f) c f′ c′ h′ 平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn 即为交线MN的水平投影。 m′ ● 1(2 ) ′ n′ ● ● 作图 ① 求交线 ② 判别可见性 2 ● m ● 点1在MC上，点2在FH上， 点1在前，点2在后， 故mc 可见。 n ● 1 ●

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn 即为交线MN的水平投影。 空间及投影分析 d′ h′ 平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn 即为交线MN的水平投影。 m′ ● n′ ● b′ c′ e′ f′ 作图 a ① 求交线 ② 判别可见性 h(f) m ● 点1在MC上, 点2在FH上， 点Ⅰ在前，点Ⅱ在后， 故mc 可见。 b n ● d(e) c

互交 投影分析 b m f d k n e ● f d k ● n ● e N点的水平投影n 位于Δdef 的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。 a c b f m ● e a n ● 互交 c d k ●

互交 投影分析 N点的水平投影n位于Δdef 的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 b m f ● f d k ● e N点的水平投影n位于Δdef 的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。 a c b f m ● e a k ● c 互交 d

（二）平行 当直线与垂直于投影面的平面相平行时，直线的投影平行于平面的有积聚性的同面投影，或直线、平面在同一投影面上都有积聚性。

当平面与垂至于投影面的平面平行时,前者必定垂至于与已知平面垂直的投影面,两平面有积聚性的同面投影相互平行。

（三）垂直 直线与垂至于投影面的平面垂直时，直线一定平行于该平面所垂直的投影面，而直线的投影垂直于平面的有积聚性的同面投影。

与垂至于投影面的已知平面相垂直的平面有三种情况： （1）一般位置平面：根据立体几何可知，在一般位置平面上必定包含已知平面的垂线，垂线是与已知平面相垂直的投影面的平行线，垂线的投影垂至于已知平面的有积聚性的同面投影。 （2）投影面的平行面：这些平面平行于已知平面所垂直的投影面。 （3）投影面的垂直面：这些平面也垂直于已知平面所垂直的投影面，由立体几何也可推知它们有积聚性的投影必定与已知平面的有积聚性的同面投影相垂直。

二、用换面法解点、直线、平面的定位和度量问题 用换面法直接反映点、直线、平面之间的距离和夹角的情况。 （如位置、真长等） 【例3－17】 (P105)

【例3－17】

 小 结  重点掌握： 一、直线上的点 ★ 点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性。  小 结  重点掌握： ★ 点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性。 ★ 点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。 一、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。 ⒊ 判断方法 a b c a b c ① 直线为一般位置时 ② 直线为特殊位置时 b a b k a k ●

二、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同面投影互相平行。 c b d d b a c ② a a b c d c a b d ① 对于一般位置直线，只 要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。 对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。

同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。 ⒉ 相交 同面投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。 ⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。 c ′ a b d ② ● c a b b a c d k k d ①

三、点与平面的相对位置 面上取点的方法 ② a b c a b k c b a c a k b ① c 利用平面的积聚性求解 ● a b c a b k c b a c a k b ● ① c 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解

四、直线与平面的相对位置 ⒈ 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。 ⒉ 直线与平面相交 ⑴ 一般位置直线与特殊位置平 a b c m n c n b a m ⒉ 直线与平面相交 ⑴ 一般位置直线与特殊位置平 面求交点，利用交点的共有 性和平面的积聚性，采用直 线上取点的方法求解。 m(n) b ● m n c b a a c ⑵ 投影面垂直线与一般位置平 面求交点，利用交点的共有 性和直线的积聚性，采取平 面上取点的方法求解。

五、两平面的相对位置 e b f ⒈ 两平面平行 d c ⑴ 若一平面上的两相交 a 直线分别平行于另一 平面上的两相交直线， 则这两平面相互平行。 f h a b c d e f h a b c d e ⑵ 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必 相互平行。

⒉ 两平面相交 c′ c a b c d e f c f d b e a ⑴ 两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。 a′ a b d(e) e′ b′ d′ h(f) c f′ c′ h′ ⑵ 一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交 线。