2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 设计与制作 铜陵市第三中学数学组 胡春林 新课标实验教材:人教版 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 复习引入 新课讲解 例题选讲 课堂练习 课堂小结 设计与制作 铜陵市第三中学数学组 胡春林

a a o b b A B C D 相交直线 平行直线 复习与准备：平面内两条直线的位置关系 相交直线 （有一个公共点） 平行直线 （无公共点） A B C D 两路相交 立交桥 立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交 BACK NEXT

六角螺母 A B C D BACK NEXT

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 注1 1.异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 练习1：在教室里找出几对异面直线的例子。 注1 两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内. BACK NEXT

b b a a a b 合作探究一 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 M 异面直线的定义:不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 a b a b M a b a与b是异面直线 a与b是相交直线 a与b是平行直线 BACK NEXT

2.空间两直线的位置关系 相交直线 同在一个平面内 平行直线 按平面基本性质分 异面直线 不同在任何一个平面内: 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 平行直线 无 公 共 点 异面直线 BACK NEXT

b A a a a b b 3.异面直线的画法 如图： 说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托. (1) 如图： a a b b (2) (3) BACK NEXT

合作探究二 F H C B E D G A 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对? 答:共有三对 F H C B E D G A 还原正方体.gsp BACK NEXT

A B G F H E D C 4.异面直线所成的角 O (1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. A B G F H E D C (2)问题提出 在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢? BACK NEXT

思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 (3)解决问题 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). 异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ] o 如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注2 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变? b b ′ a ″ a′ a O BACK NEXT

a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ … (4)理论支持 ㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 　　那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？ a b c e d a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ … 公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． ———平行线的传递性 推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行． BACK NEXT

㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结 论是否仍然成立呢？ 　　两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结 　　论是否仍然成立呢？ 观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 , ∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小 关系如何? D1 C1 B1 A1 C A B D 答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 O 定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补． BACK NEXT

a″ a′ a 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小 答 : 这个角的大小与O点的位置无关. b 是否改变? 答 : 这个角的大小与O点的位置无关. 解答： 如图 设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4), 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理) a a″ b ∠2 b ′ a′ O ∠1 BACK NEXT

在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等) 注3

课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线? 5.例题选讲 旋转长方体 例1 下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系? B A C D E F H G 相交 ① EC 和BH是 直线 平行 ② BD 和FH是 直线 异面 ③BH 和DC是 直线 (2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条? 4 分别是 ：CG、HD、GF、HE 课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线? BACK NEXT

A B G F H E D C 例2 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？ 解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的确 角，又  BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45 o A B G F H E D C (2)连接FH，则∠HFO（或其补角） 为异面直线 FO与BD所成的角。 连接HA、AF， 等边△AFH中，由O为AH中点 , 可得∠HFO=30 o 所以FO与BD所成的夹角是30 O BACK NEXT

注4 求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角 注4 BACK NEXT

H G E F D C A B 合作探究三 在平面内我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行” 在空间, 这一结论是否一定成立? 答 : 不一定, 如图正方体ABCD-EFGH中 ① GF⊥AB , HE ⊥ AB 此时GF与HE平行 A B G F H E D C ② GF ⊥ AB , GC ⊥ AB 此是GF 与GC相交 ③ GF ⊥ AB , HD ⊥ AB 此时GF与HD异面. 不是所有的平面中的定理都可以推广到空间 ,若推广需证明其正确性. 注5 BACK NEXT

H G b E F c D C a A B c c 合作探究四 “ 若直线 a 与直线 b 异面，直线 b 与直线 c 异面。 则a与c 也异面”。这一命题对吗？为什么？ (即:异面直线是否具有传递性） 答：不一定。 A B G F H E D C 如图： b c ① a 与 c 可以平行 ② a 与 c 可以相交 c ③ a 与 c 可以异面 c 注6 异面直线不具有传递性 a BACK NEXT

5.课堂练习 1.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? A B G F H E D C 解答： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o (2) ∵BF∥AE ∴∠FBG（或其补角）为所求, Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o BACK NEXT

5.课堂练习 合作探究五 菱形 2. 如图，空间四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＢＣ， ＣＤ，ＤＡ的中点，求证：四边形ＥＦＧＨ是平行四边形． 证明：连接ＢＤ ∵Ｅ，Ｈ分别为ＡＢ，ＤＡ中点. ∴ＥＨ为△ＡＢＤ的中位线. ∴ＥＨ∥ＢＤ且ＥＨ＝ 　ＢＤ. １ ２ Ｅ Ｇ Ｆ Ｈ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 同理 , FG∥BD,且FG ＝ BD. １ ２ ∴EH ∥FG 且EH ＝ FG（公理4） ∴四边形EFGH为平行四边形. 合作探究五 在练习1中，连接AC ，若有AC ＝ BD，则四边形EFGH是什么图形？ 菱形 BACK NEXT

课堂小结 P56：4,6 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 异面直线的定义: 相交直线 平行直线 异面直线 空间两直线的位置关系 异面直线的画法 用平面来衬托 异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角 公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补． 等角定理： 异面直线的求法: 一作(找)二证三求 作业： P56：4,6 BACK NEXT

如图，正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、BC 的中点，求异面直线 EF与AC 所成的角？ 思考题 解：取BC中点G ，连接EG 则EG∥AC, ∴∠GEF(或其补角)为异面直线 EF与AC 所成的角, 连FG, 设正四面体的棱长为2,则EG =FG =1, 连接AF,DF D A B C F E 则 AFD中,AF =DF = 又E为AD中点 , ∴FE⊥AD, Rt AEF中,得EF = ∴ EGF 中, 有EG2 +EF2 = EF2 , ∴ EGF为等腰直角三角形. ∴∠GEF=450 为异面直线 EF与AC 所成的角. G 思考:对棱AC与BD所成的角为多少度? 注 正四面体的对棱互相垂直 BACK NEXT

本课结束 欢迎指导 BACK music