第二章 控制系统的数学描述 引言（数学模型的概念和意义） 输入输出描述法 数学模型的分类，传递函数，典型环节， 系统的相似性，线性化 第二章 控制系统的数学描述 引言（数学模型的概念和意义） 输入输出描述法 数学模型的分类，传递函数，典型环节， 系统的相似性，线性化 结构图（方块图）及其等效变换 反馈控制系统的传递函数 闭环传递函数，特征多项式与特征方程

2.1 引言 数学模型的定义: 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式 类型：动态模型、静态模型 2.1 引言 系统 u(t) y(t) 数学模型的定义: 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式 类型：动态模型、静态模型 动态模型：微分方程、差分方程、状态方程等 建模方法：机理分析法、实验法（系统辨识） 白箱法 + 黑箱法  灰箱法

为何要建立数学模型？ 2个简单的静态模型例子： 椅子在不平的地面上是否一定可以放稳？ 例1：椅子问题

设地面光滑，椅子腿为A、B、C、D，腿长相等;椅子转动的角度为θ,并定义 f(θ)：腿A、C与地面距离之和 g(θ)：腿B、D与地面距离之和 ∵起码三腿着地， ∴必有 f(θ)=0 或 g(θ)=0 令 h(θ)= f(θ)-g(θ) 椅子转动的数学模型， 输入θ，输出h， 问题：是否有h(θ)=0 ？ 设 f(0)=0，g(0)≠0， 则当θ=0 时， h(0)＜0;

即使地面不平，只要地面的曲面是连续变化的，则一定能通过转动椅子将其放稳。 结论： 即使地面不平，只要地面的曲面是连续变化的，则一定能通过转动椅子将其放稳。

例2 ：帆船推力问题 航向和风向已知，如何调整风帆角度以获得最大推力？

结论：帆与船的夹角=风向与船的夹角的一半时推力最大 思考：风向与航程一定时，如何以最短时间走完全程？ 作用在帆上的力为 α β 风力F F1 F2 帆 作用在船上的推力为 对F2求导可得 帆船的数学模型， 输入β，输出F2， 问题：β=？时F2最大 结论：帆与船的夹角=风向与船的夹角的一半时推力最大 思考：风向与航程一定时，如何以最短时间走完全程？

为何要建立控制系统的数学模型？ 根据受控对象的模型和性能要求，设计控制器或控制装置； 检测环节 给定信号 扰动 － 反馈信号 控制量 误差 被控量 根据受控对象的模型和性能要求，设计控制器或控制装置； 分析控制系统的性能，进行仿真、实验、调整、校正、综合等。

动态模型例: R-L-C串联网络的数学模型 问题：求输入u(t)与输出uc(t)之间的关系。

线性连续时间单变量系统数学模型的一般形式: u(t) y(t) 实际系统不可能出现 m > n 的情况，或者讲 系统在物理上不可实现

2.2 输入输出描述法 数学模型的分类: 时域模型 （微分或差分方程） 第5章讲

1. 传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比, G(s)=Y(s)/U(s)。 注意 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比, G(s)=Y(s)/U(s)。 对于n阶线性定常系统， 系统 u(t) y(t) G(s) U(s) Y(s) 设初始条件为零，经拉氏变换后 结构图

zi、pi 分别为传递函数的零点和极点（zi≠pi） ∴ n阶线性定常系统的输入输出传递函数为 系统增益 根轨迹增益 zi、pi 分别为传递函数的零点和极点（zi≠pi） 零极点表达形式 时间常数表达形式

注1：为何传递函数只能用于线性定常系统？ 因为传递函数定义为输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，所以要得到传递函数，就需要分别把输入和输出变量的拉氏变换从微分方程的每一项中提出来，而时变或非线性系统做不到这一点。

注2：为何定义传递函数时要求系统满足零初始条件？ 无法直接得到传递函数，只能将输出表达为：

2. 关于传递函数的几点说明 只适用于线性定常系统 是复变量s的真有理分式； 只取决于系统或元件的结构和参数， 与输入量无关； G(s) U(s) Y(s) 是复变量s的真有理分式； 只取决于系统或元件的结构和参数， 与输入量无关； 与微分方程可相互转换； 反映系统零初始状态下的响应； 传递函数G(s) 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应； 无零极点相消时传递函数是系统的一种完全描述。

例: R-L-C串联网络的传递函数 输入u(t)，输出uc(t)，求传递函数? 由输入输出微分方程 G(s) U(s) UC(s)

3. 系统的相似性及非线性系统的线性化 例1：RC电路 uo ui R C 输入输出传递函数为 G(s) Ui(s) Uo(s)

例2：小车速度与推力的关系 m F f v 设小车速度为v(t)，推力为F， 属于非线性方程，忽略风阻则为线性方程 非线性方程的线性化：

m F f v 输入输出传递函数为 G(s)

例3：水箱系统 H 设水箱横截面积为A，则有 属于非线性方程 非线性方程的线性化：

H 输入输出传递函数为 G(s) Qi(s) H(s)

结论 同一形式的数学描述可以代表不同的实际系统，这些系统具有相同的输入输出特性； 对于不同的实际系统，只要其数学描述相同，则分析和设计的思路、方法及过程也基本一致。 注：上述例子采用的是机理建模方法，但很多实际系统是无法进行机理建模的，而必须借助于“系统辨识”，即通过采集输入输出的实验或运行数据，用一个最接近这些数据的数学方程来代表系统的模型，系统辨识可以离线或在线进行。

典型环节的零极点主要分布在虚轴及其以左 的复平面上 2.2.3 典型环节的传递函数 σ jω × s复平面上 零极点的分布 典型环节的零极点主要分布在虚轴及其以左 的复平面上

1、比例（放大）环节 例： 比例系数K u(t) y(t) 数学方程：y(t) = Ku(t) 传递函数：G(s) = K K U(s) Y(s) G(s) uo ui R1 + － R0 Rb 例： F1 F2 杠杆系统 其他如齿轮系统、电位器、纯电阻电路等。

比例（P）控制作用（参考3.7） 误差幅度越大，控制量越大，是最基本的控制方式； 扰动 控制量 给定信号 误差 被控量 比例控制 受控对象 － 反馈信号 检测环节 误差幅度越大，控制量越大，是最基本的控制方式； 即使是恒值控制系统，调节过程结束、系统达到稳态后仍有误差（稳态误差≠0）。

很多实际系统都可近似看作惯性环节，如 RC电路、炉温系统、水箱系统、汽车的加减速过程等。 2、惯性环节 惯性环节 u(t) y(t) G(s) U(s) Y(s) 特点：T越大，响应速度越慢。 K=1时的单位阶跃响应曲线 T1 T2 T=2T1 =T2 0.632 1.0 t y(t) 斜率1/T T=T1 很多实际系统都可近似看作惯性环节，如 RC电路、炉温系统、水箱系统、汽车的加减速过程等。

特点：只要输入不为零，输出就会变化，输入为零后，输出不再变化；常用来消除跟踪误差。 3、积分环节 积分环节 u(t) y(t) G(s) U(s) Y(s) 水箱系统 h q uo ui C + － R0 Rb 例： 特点：只要输入不为零，输出就会变化，输入为零后，输出不再变化；常用来消除跟踪误差。

附：求电路系统传递函数的复阻抗法 u + － R i C u i L u i

比例+积分（PI） 控制作用（参考3.7） 比例控制的作用同前，是最基本的控制方式； 量 扰动 比例控制 被控量 给定信号 误差 受控对象 积分控制 － 反馈信号 检测环节 比例控制的作用同前，是最基本的控制方式； 对于恒值控制系统，积分控制可使误差最终为零，即稳态误差=0； 对跟踪给定的动态性能，比例控制先强后弱，积分控制则正好相反，有互补作用。

4、微分环节 ①理想微分 ②一阶微分 ③二阶微分环节 R C ui uo Rb 特点：反映输入的变化率，有超前作用，常用来改善动态性能 + － C Rb ①理想微分 ②一阶微分 特点：反映输入的变化率，有超前作用，常用来改善动态性能 注：微分对信号的高频噪声很敏感，实际使用时通常加惯性环节 ③二阶微分环节

比例+积分+微分（PID） 控制作用（参考3.7） Proportional-Integrel-Derivative Control 量 扰动 比例控制 被控量 给定信号 误差 积分控制 受控对象 － 微分控制 反馈信号 检测环节 比例控制提供最基本的控制作用； 积分控制用来消除稳态误差； 微分控制反应误差变化率，具有“超前”或“预测”作用，可抑制被控量的变化。

5、振荡环节 例： ζ称为阻尼比， ζ<1 时传递函数有一对共轭复数极点，响应为衰减振荡型。 ζ：决定振荡幅度 T：决定响应快慢 单位阶跃响应 t K 仿真图 例： ui uo R L C RLC串联电路 （复阻抗法） 继续

MATLAB 仿真结构图

振荡环节的单位阶跃响应（K=1, T=1） y time ζ=0.1 ζ=0.4 ζ=0.6 ζ=1

振荡环节的单位阶跃响应（K=1,ζ=0.6） y time 返回

6、纯滞后环节 例： 滞后环节 u(t) y(t) u(t) y(t) τ t 滞后时间越大，控制难度越大 水温控制系统电功率与温度检测 温控开关 期望温度 测温元件 冷水 热水 电加热器 水箱 水温控制系统电功率与温度检测 燃气热水器进气与水温 冷水 热水 进气 轧辊 厚度检测 钢板轧制过程 此外如计算机控制、测控卫星、网络控制、过程控制等。

练习： B2.9（2），（3）； B2.12； B2.14 (c)

实验1：典型环节的电模拟（3学时） 联系：李亚力老师 电气信息学院专业实验楼403 85466288→8216， 13330961802

2.3.1 结构图（方块图）及其等效变换 例：RC电路的结构图 R i C ui uo 引出点 相加点 或综合点 Uo(s) I(s) Ui(s) I(s) Uo(s) Uo(s)

注意：两级RC≠2个单级RC的串联，∵有“负载效应” i1 R1 U1 R2 C1 C2 uo ui i2 Uo - Ui U1 I1 I2 注意：两级RC≠2个单级RC的串联，∵有“负载效应”

结构图的等效变换 串联连接 G1(s)·G2(s) G1(s) G2(s) 并联连接 G1(s)+G2(s) G1(s) G2(s) 自证

反馈连接（重要，很常用） 前向通道传递函数 G (s) H (s) 开环传递函数

相邻引出点之间或综合点之间可任意交换或合并 综合点前移后移 引出点后移前移 相邻引出点的移动 相邻引出点之间或综合点之间可任意交换或合并 交换或合并相加点

课堂练习：通过结构图化简求两级RC网络的输入输出传递函数，并与单级RC网络进行比较。 注意 引出点和综合点之间不能交换! 课堂练习：通过结构图化简求两级RC网络的输入输出传递函数，并与单级RC网络进行比较。 化简思路？

解：

比较：单级RC网络的传递函数为

课堂练习：通过化简下面的结构图来求传递函数 Y(s)/R(s) 有几种可行方案？ G1 G2 G3 G4 Y(s) G6 - G5 G7 R(s) D A B C 也可将3条反馈支路移成并联关系（有多种方式）后相加，好处是只需运用1次反馈公式（课后完成)

- - A点后移 G1 G2 G3 G4 Y(s) G6 G5 G7 R(s) A 1/G4 G1 G2 G3 G4 Y(s) G6 G5

- - - Y(s) G1 G2 G3G4 G6/G4 G5 G7 R(s) Y(s) 反馈公式 G1 G2 G3G4 1+G3G4G5

练习：B2.15 (a), (c)

G(s)=G1(s)G2(s)：前向通道传递函数 闭环传递函数: Y(s)/R(s), Y(s)/D(s)， E(s)/R(s) 等 2.3.4 反馈控制系统的传递函数 G1(s) G2(s) H(s) D(s) Y(s) R(s) - E(s) B(s) 相关术语： R(s)：参考输入 D(s)：扰动输入 Y(s)：输出信号 G(s)=G1(s)G2(s)：前向通道传递函数 B(s)：反馈信号 H(s)：反馈支路的传递函数 E(s)：跟踪误差 G(s)H(s)：开环传递函数 闭环传递函数: Y(s)/R(s), Y(s)/D(s)， E(s)/R(s) 等

G1(s) G2(s) H(s) D(s) Y(s) R(s) - 输入信号作用下的闭环传递函数： 运用反馈公式 分母为 1+开环传递函数

扰动作用下的闭环传递函数： G1(s) G 2(s) H(s) D(s) Y(s) R(s) - 分母同样为 1+开环传函

闭环系统的误差传递函数： G1(s) G 2(s) H(s) D(s) Y(s) R(s) - E(s) 分母同样为 1+开环传函

复合控制系统的抗扰性： G1(s) G 2(s) H(s) D(s) Y(s) R(s) - F(s) 分母同样为 1+开环传函

复合控制系统的跟踪性： 理想目标是使 E(s)=0 F(s) R(s) Y(s) E(s) G1(s) G 2(s) - H(s) 分母同样为 1+开环传函 最理想的跟踪性能

特征多项式或特征方程的根是闭环系统的极点，闭环极点决定了闭环系统响应的基本形态 闭环系统的特征多项式与特征方程： 特征式 所有闭环传函都有相同的分母，即 1+开环传函 “系统结构的不变量”指所有闭环传函的分母都一样。 特征多项式或特征方程的根是闭环系统的极点，闭环极点决定了闭环系统响应的基本形态 练习：B2.11

练习汇总： B2.9，（2），（3）； B2.12; B2.14 (c) B2.11 B2.15 (a), (c)