Discrete Fourier Transforms Chapter 3 DFT__ Discrete Fourier Transforms SHNU.信息机电学院

第三章提要： 0 不同信号的谱分析特点 1 DFT定义, 性质,几何解释 2 频域取样  DFT与DFS, DTFT,信号ZT的联系 3 用DFT对连续时间, 离散时间信号进行谱分析  DFT是对(连续/离散)时间信号FT的近似；  有限的频率分辨率  DFT, DFS的解释上的不同.  窗函数的概念. 4 DFT谱分析的误差： 混叠、 栏栅效应、 频率泄漏 SHNU.信息机电学院

3.1 不同信号类型的FT 1/6 1、 FT: X(j)=－x(t) ejt dt, t, 连续 x(t)=(1/2) －X(j ) ejt d   |X(j)| t x(t) 图3.1a 连续信号的时频域波形 SHNU.信息机电学院

3.1 不同信号类型的FT 2/6 2. FS: x(t) 的周期T0  0＝2/T0 , t 连续, 0固定 X(jk0)(1/T0)T0/2－T0/2 x(t)ejk0t dt, k 整数 x(t)= X(jk0)ejk0t ，许多个线谱谐波叠加。 t x(t) T0 k0 |X(j)| 0 “eee” 主要频率成分200Hz,400Hz 图3.1b 连续周期信号的时频域波形 SHNU.信息机电学院

3.1 不同信号类型的FT 3/6 3. DTFT: X(ej) x(n)ejn, n整数,隐含参数抽样间隔T x(n)=(1/2)-X(ej)ejnd, 数字频率连续 非周期 DT序列 周期 连续谱 图3.1c 离散时间非周期信号的时频域波形 SHNU.信息机电学院

3.1 不同信号类型的FT 4/6 DTFT特点: 1) x(n)长度无限制; 非周期。 2) 模拟频率是连续的(rad/s) 3) 数字频率=T (rad)亦连续 ∵ e-j(＋2)n=ej(＋2/T)Tn =e j2nejTn =ejn,  X(ej(＋2))= X(ej) , X[j(  ＋2/T)]=X(j) 4) X(ej)是周期函数.数字频率周期2 X(j)是周期函数.模拟频率周期2/T b22 SHNU.信息机电学院

3.1 不同信号类型的FT 5/6 4. DFS , x(n)为周期序列 图3.1d DT非周期/周期信号的时频域波形比较 periodic:DFS nonperiodic:DTFT 变换类型 信号类型 谱的类型 图3.1d DT非周期/周期信号的时频域波形比较 SHNU.信息机电学院

3.1 不同信号类型的FT 6/6 5. DFT: 由信号的有限样值, 用有限的频谱样值,估计信号频率成分.其快速算法是FFT.是DSP的基础. 特点: 在频率域也是有限长序列.  离散的数字频率函数;  隐含有周期性 DFT及FFT,主要有三个用处:  信号频谱的数值计算; 计算机处理有限的离散数据,结果也是离散数值.  高效卷积的实现(FFT);  波形编码(尤其是其变形___离散余弦变换DCT) SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 1/21 3.2.1．DFT/IDFT 定义  离散付氏变换(DFT): 将时域x(n)变换成频域X(k). X(k)DFT[x(n)]= x(n)WNkn, k=0, 1, 2, …,N1. |X(k)| ej(k), |X(k)|幅度谱, (k)相位谱.  逆离散付氏变换(IDFT): x(n)=IDFT[X(k)]=(1/N) X(k)WNkn , n=0, 1, 2, …,N1. 其中, N点样值x(n)称为在DFT窗内; WN=e－j(2/N). 为N点DFT的变换因子. k：离散频率序号. SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 2/21  N点DFT的特点： 隐含有周期性.周期为N. 由DFT的定义, X(k+mN)= x(n)e j(2/N)n(k+mN) = x(n)e j(2/N)nke j2nm =X(k); 同理,由频域到时域的逆变换也以N为周期. x(n+mN)=x(n);  时间序列x(n)的长度(L)和DFT序列的长度(N)可以不一样. 为减少计算量,常取相等. 原长L序列的N(L<N)点DFT=后补零序列的N点DFT 前补零序列的N点DFT又如何? =1,Euler’s identity 说明 证明 ? example SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 3/21  原长L序列的N点DFT＝后补零序列的N点DFT 证明: 设x1(n)长L, n=0, 1, …L1, N点DFT: X1(k)=DFT[x1(n)]= x1(n)WNkn, k=0, 1, …N1, 又设x1’(n)是后面增补NL个零后的序列, 长N , n=0, 1, …L1, …, N1, N点DFT: X1’(k)=DFT[x1’(n)]= x1’(n)WNkn = x1(n)WNk n, k=0, 1, …N1,  X1’(k)=X1(k) x1(n) x’1(n) L-1 N-1 图3.2a L点序列及其后补零序列 SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 7/21 时域序列长L、DFT点数N 可以不一样; 若L>N, 由定义,只取N点的时域序列计算DFT. X(k)DFT[x(n)]= x(n)WNkn, k=0, 1, 2, …, N1. x’(n)=IDFT[X(k)]=(1/N) X(k)WNkn , n=0, 1, 2, …, L1, … N1.  为减少计算量, 对序列长L, 就取N=L点的DFT. 当时域序列的点数LDFT的点数N时, IDFT x’(n) 与原时域序列x(n)有何区别？ ? SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 4/21  前补零： 原x(n)序列长L. x(n)的N点DFT X(k)。 前面补D个零后得g(n)的长L+D=N。设N>L+D. g(n)的N点DFT G(k)。则可以证明， G(k)=e j(2/N)Dk X(k) = WNDk X(k), k=0, 1, 2, …, N1,  G(k)相位在X(k)的相位上面有一线性相移： (-j Dk)。  因|WNDk|=1, 幅度谱相同。 ? g(n) x(n) N-1 D个 图3.2b L点序列及其前补零序列 SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 5/21 例3_1 设序列x(n)=[1 1 1 1 0 0 0 0], L=8 1) 求其N=16 点DFT。 M-file,eg3_2 |X(k)| 相同 图3.3a 8点序列及其前补零序列时域及幅度谱波形 SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 6/21 x(k) 图3.3b 8点序列及其前补零序列的频域相位谱波形 SHNU.信息机电学院 xD(k)

3.2 DFT定义 8/21  不同变换区间长度DFT间的联系： 设序列x(n), 0 n N1. 其N点DFT： X(k)= x(n)WNk n = x(n) e j(2/N)nk， k= 0,1,…,N-1  N点DFT离散频率间隔: i=2/N. SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 9/21 1) L=rN点DFT G(k), L是N的整倍数. x(n)后补零成L点的g(n)序列.其L点DFT: G(k)= x(n)e j(2/rN)nk ,当k是r的倍数时, = x(n)e j(2/N)n(k/r) =X(k/r) k=0, 1, 2, …, N1, N, …, rN1.  L点DFT频率间隔： i’=2/(rN). < i=2/N.  rN点DFT G(k)谱线更加密. 2/8 k=0 2 4 7=N-1 |z|=1 Re(z) jIm(z) 2/2*8 图3.4a 8点及16点DFT中的数字频率值. SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 10/21 2) L点DFT，L rN, 不是N的整数倍. 设L>N, x(n)后补零成L点.  L点DFT G(k)的频率间隔： i’=2/L< i=2/N.  比原N点DFT X(k)谱线更加密. 多LN根谱线. 2/10 k=0 2 5 9=N-1 Re(z) jIm(z) 图3.4b 10点DFT中的10个数字频率值 SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 11/21 例3_2 设序列x(n)=[1 1 1 1 0 0 0 0] 1) 求其N=8点DFT。 2) 后补8个零，即 r =2。求其N=16点DFT 3) 后补3个零，即 L=11。求其N=11点DFT M-file,eg3_1 图3.5a 8点序列的时域波形 SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 12/21 N=8 N=16 N=11 图3.5b 信号的N=8,16,11点频域DFT幅度波形比较 SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 13/21 频率间隔 频率间隔 频率间隔 除k＝0外，余 谱线相对对称 图3.5c 信号的N=8,16,11点频域DFT幅度波形比较 SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 14/21 3.2.2 DFT和ZT的关系  关系： 当x(n)长M=N时，其ZT和DFT定义： X(z)= x(n) zn，且设其ROC含单位圆。 X(k)DFT[x(n)] = x(n)WNk n, k=0, 1, 2, …,N1. z=zk=WN－k=ej(2/N)k 两变换的值相等。  zk相邻点的角度间隔: i =2/N。  z=ej, X(z)为DTFT. zk对应的频率k=ki=k2/N,  X(ej)在[0,2]范围的N点等间隔采样X(ejki), 数字频率k用频点的序号k  DFT序列为X(k)。  DFT X(k)处于离散频点：k=ki=k2/N, SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 15/21  DFT的物理意义,几何解释  X(k): 对X(z)在单位圆上N点等间隔采样。  对DTFTX(ej)在[0,2]范围的N点等间隔采样X(ejkN),  序号k: 对应离散频率点k (fk).  k=ki =(2/N)k (rad)，数字频率 已知系统采样率fs, 因数字频率2  fs,  fk=(fs/N)k (Hz)， 模拟频率  当DFT变换区间长度N(DFT窗)不同， 对X(ej)的采样间隔i和点数不同，DFT结果不同.  当DFT点数N>原时域序列长M时，IDFT可完全恢复原的时域M点序列值。 R6 SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 16/21 fbin 图3.6 DFT的物理意义、特点图示 SHNU.信息机电学院 x(n)有限长 DTFT连续谱 P52 P48 P53 IDFT隐含周期性 图3.6 DFT的物理意义、特点图示 SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 17/21  IDFT与DFT的关系： 2次DFT  IDFT ∵WN＝ ej(2/N), ∴ WN* ＝ ej(2/N)＝ WN 1, x(n)是实的， ① 序列的DFT ：X(k)  x(n)WNkn  ② 共轭： X(k)*＝ x(n)WN－kn,  ③ DFT： x’(k)  X(n)*WNkn  ④ 共轭： x’(k)*＝ X(n)WN*kn＝ X(n)WN－kn  ⑤乘1/N ： x’(k)*/N＝1/N X(n)WN－kn  x(k)  x(n). SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 18/21 其一个周期的内容, 包含了所有的信息. 把DFS, IDFS的序列取值范围限定在一个周期内, 3.2.3 主值区间,主值序列: 周期序列与有限长序列的内在联系 周期离散序列x~(n)及其频谱X~(k)都是周期离散序列, 其一个周期的内容, 包含了所有的信息. 把DFS, IDFS的序列取值范围限定在一个周期内,  周期离散序列x~(n)可用主值区间和主值序列表示. 1) 主值区间 x~(n)的1st周期序号n=0, 1, 2, …, N1. 2) 主值序列 x~(n)在主值区间上的函数值 =其主值序列x(n). N-1 x~(n) 主值区间 图3.7 周期序列的主值区间和主值序列 SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 19/21  时域 x(n):周期序列x~(n)的主值序列; x~(n): x(n)的周期延拓. x(n)= x~(n), 0 nN1, 0, 其它n x~(n)= x(mN+n1) , 0 n1N1, n=mN+n1在(-, +)间任意. ∵不同m值, x(mN+n1)不重叠. x~(n)= x(mN+n) , n在(, +)间任意; 频域 X(k)：周期序列 X~(k)的主值序列; X~(k)：X(k)的周期延拓. SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 20/21 3) 余数运算(模N运算) 模N(余数)运算的解: 任意n除以N所得的余数n1. ∵ n=mN+n1. (m为整数), 0 n1N1 ∴ ((n))N=n1; ((n))N=n对N取余数。余数运算符. 例： x~(n)周期为9, 主值序列x(n1), 0 n1 8 x~(25)=x((25))9=x(7) x~(- 5)=x((-5))9=x(4)  x~(n)可用主值序列的相应值x(n1)求出. SHNU.信息机电学院

3.2 DFT定义 21/21  利用列长N矩形序列符号RN(n)＝ 1, 0 nN1, 0，其它n 有限长序列和N周期序列的关系: 时域 x(n)= x~(n)RN(n) x~(n)=x((n))N=x(n1) ((n))N：余数运算. 频域 X(k)= X~(k)RN(k) X~(k)=X((k))N ((k))N：余数运算. SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 1/20 1．线性性质 x3(n)= ax1(n)+bx2(n)  DFT X3(k)= DFT[ax1(n)+bx2(n)] = aX1(k)+bX2(k)  DFT的点数 N = max[N1,N2]. N1,N2分别是序列x1(n),x2(n) 的长. 2. 序列的和 x(n)= X(k)|k=0 ∵ X(k)= x(n)WNkn |k=0= x(n)  有限长x(n)的各取样值和=DFT函数在k=0处的值. SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 2/20 3. 序列的初值 x(0)=(1/N) X(k) 4. 序列的圆周移位  圆周移位 (循环移位)  圆周移位 (循环移位) 设x(n)为有限长序列，长为N。 x(n)的圆周移位 定义： xm(n)=x((n-m))NRN(n)  物理解释：  几何解释: 取主值序列 周期序列: 延拓、移位得到 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 3/20  物理解释：  x(n)周期延拓： x~(n)=x((n))N  右移位m个单位,m>0： x~(nm)=x((nm))N,  取主值序列： xm(n)=x((nm))NRN(n).  x(n)右循环移m位的结果.有限长序列. m=-2<0 “左”移 取主值序列 图3.8 有限长序列的循环移位 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 4/20 几何解释: 在圆周上循环 ① 将x(n), 0 n  N1. m x(n) 几何解释: 在圆周上循环 ① 将x(n), 0 n  N1. 均匀排列在 N等分的圆周上, 正水平轴方向: n=0的序列值. 相邻两序列值间隔2/N的角度. x(n) m N=6 n=0 m=2 ②将整个x(n)逆时针方向沿圆周旋转(移位) m(2/N)的角度； ③从正水平方向开始逆时针的序列值, x(n)的圆周移位序列. xm(n)=x((n-m))NRN(n), 0 n N1, xm(n) n=0 圆周移m个单位,序列值只是顺序重新定义. 图3.9 循环移位的几何示意 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 5/20  时域圆周移位定理 设 x(n)  DFT X(k)= x(n)WNkn, xm(n)=x((nm))NRN(n),圆周移位m个单位  DFT Xm(k)= WNkm X(k), 证： Xm(k)= DFT[xm(n)]= x((nm))NRN(n)WNkn, = x(i)WNk(i+m), = WNkm x(i)WNki Xm(k)= WNkm X(k) = ej(2m/N)k X(k) 令变量代换i = nm 因x(n)均匀分布在圆周上, 求和项与[0, N1]之间的是完全一样的. 附加与频率k成正比的线性相移 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 6/20  频域圆周移位定理: _____调制特性. 设 X(k)=DFT[x(n)]，0≦k≦N-1 x(n)=IDFT[X(k)] 若 Xm(k)=X((k－m))NRN(N) 则 xm(n)= IDFT[Xm(k) ]= WN―n m x(n) 其中， WN―n m =e+j(2/N)nm = e+j(2m/N)n  相当于时域序列被调制到载波振幅上。载频： 0m=2m/N (rad.) X(k)圆周移位|m|个单位 时域序列x(n)被调制 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 7/20 N 5. 圆周卷积和（循环卷积）、 与有限长序列线性卷积的关系  时域圆周卷积和: 设x1(n),x2(n)长分别为N1,N2;  N=max[N1,N2]点DFT: X1(k)、 X2(k)， 若X3(k)=X1(k)X2(k) 则 x3(n)= x1(m)x2((n-m))N, x2(n-m)是圆周移位. = x1((n-m))N x2(m), x1(n-m)是圆周移位. x1(n) x2(n) 后补零成N点序列圆周移位 N点圆周卷积的定义 N SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 9/20 N N  圆周卷积的计算: n 例3_3 设x1(n)=[1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]; 求x3(n)= x1(n) x2(n) 解: 法1:  x1(m)循环反序 逆时针移位n个单位 与x2(m)对应位乘 求和 x3(n): x3(n)= x1(n) x2(n) = x1(n―m)x2(m), n x1(-m) (1) N n=0 x2(m) (0) x3(n) (2) (3) (1) N 循环反序:原序列相对水平轴的对称点对褶. n 1 2 3 4 5 6 7 x3(n) 圆周卷积值 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 10/20 x1(n)=[1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0] ; x2(n)=[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1] ; 解法2:  x2(m)循环反序 逆时针移位n个单位 与x1(m)对应点相乘， 求和,  x3(n): x3(n)=x2(n) x1(n) = x1(m)x2(n―m), x1(m) (1) n=0 x2(-m) (0) n N x3(n) (2) (3) (1) n 1 2 3 4 5 6 7 x3(n) 图3.10 序列的循环卷积图解 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 8/20 N N  频域圆周卷积定理: 根据时域、频域的对称性， 设 x3(n)=x1(n)x2(n) X1(k)=DFT[x1(n)]， X2(k)=DFT[x2(n)], 则 X3(k)=(1/N) X1(j)X2((k―j))NRN(k), (1/N)X1(k) X2(k) = (1/N) X2(j)X1((k―j))NRN(k), (1/N)X2(k) X1(k) N点DFT N N SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 11/20  圆周卷积和线性卷积的关系: ① y(n)=x(n)*h(n).  圆周卷积和线性卷积的关系: ① y(n)=x(n)*h(n). 输入x(n)和系统单位取样响应h(n)的线性卷积 ② 两列长分别为M, N的序列, 线性卷积长N+M-1, 圆周卷积长=max(N, M). ③ 相同的条件: 设x(n)长M, h(n)长N, 因线性卷积y(n)长：L =N+M1.  x(n)和h(n)后分别补L-M, L-N个零 ,使 长均为L, LN+M1 的序列。 其L点的圆周卷积前N+M1 点 =原两序列的线性卷积.  否则，由于周期延拓, 会产生“混叠” 。 h(n) x(n) y(n) SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 12/20 eg3_4 例3_4：设x1(n)和x2(n)是两个4点序列： a.  确定它们的线性卷积x3(n). b. 计算补零后的7点圆周卷积x4(n)。 c. 讨论不补零的4点圆周卷积和其它补零数目的圆周卷积。 解： a. 线性卷积应长：4+4-1=7 b. 循环卷积长max[4,4]=4，应使后补至少 7-4=3个零，再进行延长序列的圆周卷积， 即，N≥7 eg3_4 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 13/20 图3.11a 有限长序列的时域波形 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 14/20 x5 vs x4： 首尾各有7-6= 1点结果错误， 混叠的结果 思考：4点圆周卷积结果和线性卷积结果比较,哪些点是错误的？ 图3.11b 两有限长序列的线性卷积,循环卷积波形 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 15/20  圆周卷积应用:  DFT (FFT)快速实现圆周卷积 快速线性卷积. 设x(n)长L, h(n)长M 各自的N=L+M1点DFT (FFT)X(k), H(k)  X(k)H(k)  IDFT: y(n)=x(n) h(n)  线性卷积 系统输出.  运算量:md=LM; 快速卷积mF=(3/2)Nlog2N+N  LM>64: M, mF<<md;  L>>M: 分段圆周卷积(重叠相加,重叠保留法). to be discussed in chapter 4 y(n) x(n) h(n) L M L+M-1 N点 N SHNU.信息机电学院

延迟m: x(n)的时间－y*(n-m)的时间 3.3 DFT的性质 16/20 6. 序列的相关性 两N点序列x(n), y(n)的相关  N点圆周相关 rxy(m)= x(n)y*((n－m))NRN(m), = x((n＋m))NRN(m) y*(n)  线性相关 rxy(m)= x(n)y*(n-m )= x(n+m)y*(n ), = r*yx (-m)  线性相关与圆周相关 两序列x(n), y(n) 长分别为N1, N2时, 其 线性相关=它们的N点圆周相关. 条件: N=N1+N21 延迟m: x(n)的时间－y*(n-m)的时间 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 17/20  快速求信号序列的相关 (DFT的FFT算法)  x1(n), x2(n)的DFT: X1(k),X2(k) 相乘, X1(k)X*2(k)  IDFT: x1(n), x2(n)的圆周相关  x1(n), x2(n)的线性相关.  讨论 圆周相关和圆周卷积:前者不需对褶, 只要移位, 若是同一序列移位后和原序列相关____自相关. rx,x(m)= x(n)x*((n-m))NRN(m), 若是两序列,其中一个移位,和另一序列求相关____互相关. 只含两信号的共有频率成分. 否则rxy的DFT=0 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 18/20 7. Parseval 定理 频域序列的能量=时域有限序列的能量  设有限长序列x(n),y(n)的DFT: X(k),Y(k) x(n)y*(n)= (1/N) X(k)Y*(k),  let y(n)=x(n) 能量： e= |x (n)|2 =(1/N) |X(k)|2,  自相关序列的Rx(n)|n=0＝序列的能量. 与<<通信原理>>中, 零均值平稳随机过程的自相关函数的性质类似. R(0)为功率有限信号的平均功率. SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 19/20 8. 有限长序列及其DFT的奇偶性,对称性 对称性是关于N/2点的对称性。  有限长序列： 定义：xep(n)=xep*(N-n)；0≤n≤N-1; 共轭对称 xop(n)=－xop*(N-n)；0≤n≤N-1;共轭反对称； when N is even， xep(N/2-n)= xep*(N/2＋n)；0≤n≤N/2-1; xop(N/2-n)=－xop*(N/2＋n)；0≤n≤N/2-1;  性质： 有限长x(n)， x(n)＝xep(n)＋xop(n)， xep(n)＝[x(n)＋x*(N-n)]/2 xop(n)＝[x(n)－x*(N-n)]/2 SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 19/20 when N is even，the symmetric center N/2 is real SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 19/20 when N is odd，the symmetric center N/2 is virtual (c)共轭对称序列,N=7 (d)共轭反对称序列,N=7 对称中心 xep(n) xop(n) 0 1 2 3 4 5 6 n 0 1 2 3 4 5 6 n * SHNU.信息机电学院

3.3 DFT的性质 20/20  DFT的对称性 x(n)＝xr(n)＋jxi(n)＝xep(n)＋xop(n) X(k)=DFT(x(n))=Xep(k)+ Xop(k)=XR(k) + jXI(k) 对称性的应用 实序列的N点DFT计算可提高效率。 N=even,算前N/2+1点。N=odd,算前(N+1)/2点； 一N点DFT X(k)可得两个不同实序列的N点DFT。 x(n)＝xr(n)＋jxi(n) DFT[xr(n)] = [X(k)＋X*(N-k)]/2 DFT[xi(n)] =－j[X(k)－X*(N-k)]/2 DFT SHNU.信息机电学院

3.4 频域取样  频域采样定理： 设x(n)长M，当DFT的点数N  M， 才有 xN(n)=IDFT[X(k)]=x(n)  频域采样定理： 设x(n)长M，当DFT的点数N  M， 才有 xN(n)=IDFT[X(k)]=x(n) xN(n)=周期为N的时域序列,x(n)长为M? 两者的关系?  ZT在单元圆上的N点等间隔采样可得N点DFT序列. 由DFT可恢复原ZT函数? P87, （3.4.4~3.4.6） X(z)＝(1/N) X(k) k(z)＝(1/N) 内插函数 X(z)＝ X(k)k(z) 内插公式 ? P21 SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 1/13 一. DFT是对连续时间信号FT的近似.  谱分析: 信号频谱中各分量的相对电平关系. 近似程度与信号带宽,采样频率,截取长度有关。  实现DFT，涉及两个处理, 截断: 有限长信号.总持续时间TL 取样: 离散序列, 由信号的最高频率fh，选择采样频率fs 2fh  计算DFT的基本参数  确定采样点数L＝TL/T, T=1/fs. 对采样序列进行N点DFT,X(k); SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 2/13 二. 频率分辨率  物理频率分辨率f 取决于模拟信号的长度TL .  信号能包含的最小频率分量fmin.  频谱分析应分辨的最小频率差.  ∵fmin=1/TL. TL越长,信号能包含的最低频率分量就越小.  给定系统采样率fs后,抽取的样值数L确定f: f =1/TL=fs/L TL 最大周期 fmin SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 3/13 由DFT点数N确定. 设系统的采样率fs已知. P21 ∵ fs是周期频谱函数的周期,  计算频率分辨率fbin : 由DFT点数N确定. 设系统的采样率fs已知.  定义: fbin = (Hz). ∵ fs是周期频谱函数的周期, ∴ N点DFT离散频率点间隔 fs/N(Hz), i.e. 2/N(rad.).  N点DFT能反映的最小频率变化为fs/N(Hz). P21 SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 4/13  f 和 fbin的比较:  对 TL长的时域记录x(t)进行采样(fs)，得x(n): f=1/TL.  采样序列x(n)固有的.  x(n)的频谱DTFT只能分辨频差  物理频率分辨率的各频率分量. 若x(t)中的频率分量差小于物理频率分辨率, x(n) 频谱混叠.  用N点DFT进行序列频谱分析,给定fs 计算频率分辨率fbin= fs/N, 由DFT的点数限定. SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 5/13  若原x(n)频谱的物理频率分辨率f=1/TL=fs/L足够高,则DFT点数N,得到更多离散频率点k， k=0,1,…N-1 的频谱值. 各谱线间隔 I= 2/NT=2fs/N (rad./s). 计算频率分辨率fbin提高. 可分辨出频率变化更小的频率分量的谱.  若物理频率分辨率低, i.e. TL is short. x(n)已不能反映原x(t)的实际最小频率变化fmin： f >fmin. 计算频率分辨率再高(fbin很小), 也无法识别实际x(t)中的最小频率变化fmin. SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 6/13 例3_5 模拟信号有三个频率分量: f1=2kHz, f2=2.5kHz, f3=3kHz. x(t)=cos(2f1t)+cos(2f2t)+cos(2f3t), t(ms). 用fs=10kHz对其采样.取采样点L=10, 20两种情况. 分别进行N=32, 64点的DFT. 问所得频谱能否区分这三个频率分量? 解: x(t)的最小频率间隔fmin=0.5 kHz. 物理频率分辨率： f=fs /L; 计算频率分辨率： fbin=fs /N;  L=10: f=fs/L=10/10 =1 kHz >0.5 kHz. SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 7/13 fbin =10kHz/32, 10kHz/64  10个样值序列频谱DTFT会表现出混叠.  虽计算频率分辨率 fbin =10kHz/32, 10kHz/64 = 0.3125, 0.15625 kHz< 0.5 kHz，  N点DFT无明显的3个峰: 不能区分实际信号中的三个频率分量. SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 8/13 x1(t) ，L=10samples; x2(t)， L=20samples 图3.12a x(t)的10,20点采样序列x(n) SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 8/13 x1(t) ，L=10samples; x2(t)， L=20samples 图3.12a’ x(t)的10,20点采样序列x(n)的DTFT SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 9/13 N=32点DFT 峰平坦 N=64点DFT 峰平坦 x1(t) ，L=10samples; 图3.12b 10点采样序列的32点,64点DFT |X(k)| SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 10/13  L=20: f=fs/L=10/20 =0.5kHz =fmin=0.5 kHz. 20点样值序列的频谱DTFT刚能区别3个分量.  N点DFT, 计算频率分辨率fbin 仍是 =10/32, 10/64 = 0.3125, 0.15625 (kHz) 则能识别x(t)信号中的三个频率分量.  相应于DFT 的离散谱线ki (fki=kifs/N fi) eg.代表f1分量的数字频率点序号： N=64, k1=f1N/fs=2*64/10=12.813, 对称地：64-13=51  有近似误差。 SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 11/13 3个峰 P68 图3.12c 20点采样序列的32点,64点DFT |X(k)| 实际频点两个最高峰值位置的平均 估计频率误差= fbin/2 图3.12c 20点采样序列的32点,64点DFT |X(k)| P68 SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 12/13 kfi = fiN/fs. kfi正好指示实际频率分量fi,  误差分析：  DFT X(k)序列号k为整数, 对应的频率值与实际的频率分量可能有误差. 若对实际fi,  整数kfi, 满足fi=kfi fs/N , kfi = fiN/fs. kfi正好指示实际频率分量fi, 如f2=2.5KHz. 对应32点DFT的序号kfi =2.5*32/10=8 . 32-8=24 N=32 kfi f1对应的 f2 f3 取整的序号[kfi] DFT离散频点 f1 6.4, 25.6 8, 24 9.6, 22.4 6~7 9~10 N=64   12.8, 51.2 16, 48 19.2, 44.8 12~13 19~20 SHNU.信息机电学院

3.5 用DFT对连续时间信号进行谱分析 13/13 eg3_5 一般DFT的谱线近似地反映x(t)中的分量有误差. 用最接近的序号与归一化离散频率之差表示误差 E=|fi/fs- [ki]/N|. 若物理频率分辨率够, 该(归一化)离散频率与实际(归一化)频率的误差随DFT的长度N，误差. eg. f1=2kHz, f2=2.5kHz, f3=3kHz   f1/fs f2/fs f3/fs 取整 误差E N=32 0.2 0.25 0.3 [ki]/N 0.1875 0.3125 0.0125 N=64 0.203125 0.296875 0.0031 DFT分析的离散频率V.S.实际频率: 随DFT的长度N，误差.. 13/64=0.203125 eg3_5 SHNU.信息机电学院

3.6 用DFT对离散时间信号进行谱分析 1/3 1. 有限长序列： 序列的谱是DTFT=其ZT在Z平面单位圆上的情况。  DFT是ZT单位圆上的等间隔有限采样。 序列的DTFT可用DFT估计。 2. 周期为N 的序列： 其严格的DTFT不存在。 但在冲击函数的意义下，其频谱X(ej)是以N为周期的离散谱， 即其DFS的系数。  如果截取周期序列的主值序列：  由DFT隐含的周期性：DFT X(k) 正是周期序列的DFS。 SHNU.信息机电学院

3.6 用DFT对离散时间信号进行谱分析 2/3 则M=mN点的DFT XM(k) 与主值序列的N点DFT X(k)的关系： XM(k)＝mX(k/m), k/m=integer 0， k/m integer  m个周期的序列的mN点DFT XM(k)和以前讲的后补零成为mN点序列，再进行mN点的DFT G(k) 之间的差别：  m个周期参与运算，信号总能量， 各谐波幅度相对单周期的X(r)是成倍数的； 如果只补零，信号总能量未变，相应各谐波幅度自然不变。 SHNU.信息机电学院

3.6 用DFT对离散时间信号进行谱分析 3/3 先取较短的一段M点，做M点的DFT;  若时域是带限序列，周期未知： 先取较短的一段M点，做M点的DFT; 然后时域序列取2M长，再计算2M点的DFT，……, 当连续两次的主谱误差满足要求，则谱分析可完成。 SHNU.信息机电学院

3.7 用DFT进行谱分析的误差问题 1/5 取样、截断带来的误差产生3种问题: 混叠(时域, 频域抽样), 栏栅效应(有限个频点), 频率泄漏(加窗截断). 一 混叠 1) 混叠的产生 预滤波fh xa(t) x(n),T DFT, N IDFT x’(n)  滤波  xa’(t)混叠  避免混叠, 取样率fs  2fh, T=1/fs 1/2fh=Tmax , SHNU.信息机电学院

3.7 用DFT进行谱分析的误差问题 2/5 2） 主要参数关系  fh, f给定: 取样点数N=TL/T，必须满足2fh/f, fh   fs   T  , N固定  TL f  要折衷考虑。 SHNU.信息机电学院

3.7 用DFT进行谱分析的误差问题 3/5 二 栏栅效应 1）产生: DFT仅给出有限的离散频点处的信号频谱. 2）现象: 二 栏栅效应 1）产生: DFT仅给出有限的离散频点处的信号频谱. 2）现象: 好象通过”栏栅”看景象,只有离散频点处才看得见. 两根谱线间如有重要的频谱分量,将被错过,而检测不出. 3）克服: 在记录序列后面补零, (增加DFT的长度), 改变离散谱 (栏栅)的分布. 就可能检测出错过的重要频谱分量. 如前面例子中L=20的情况, N=64, 存在更接近实际频率的 DFT离散谱线. P60 SHNU.信息机电学院

3.7 用DFT进行谱分析的误差问题 4/5 SHNU.信息机电学院

3.7 用DFT进行谱分析的误差问题 5/5 三 频率泄漏、谱间干扰 1）产生: 信号序列截断、短,成为有限长. 2）现象: 三 频率泄漏、谱间干扰 1）产生: 信号序列截断、短,成为有限长. 2）现象: 突然的截断,等效于长的数据序列乘时间窗函数. 如矩形. 截断处的突变产生了信号中没有的频率分量. 从频谱上看,截断序列的谱扩散到原来没有频谱的区间 ____频率泄漏. 主谱线两边的旁瓣,产生不同频率分量间干扰。 3）克服: 选用”泄漏”小的窗函数. 且要在谱分辨率和谱间干扰之间折衷考虑。 SHNU.信息机电学院

 序号k对应模拟频率f=kfs/N (Hz)  有线性性,循环移位性,隐含的周期性 2 频域取样 第三章总结： 0 谱分析: 1 N点DFT: fs=抽样频率  由有限样值,得到N个频谱值  序号k对应模拟频率f=kfs/N (Hz)  有线性性,循环移位性,隐含的周期性 2 频域取样  对连续谱DTFT在数字频率=2k/N处的采样  DFS表示了离散周期信号的谱线. 原信号是周期的. DFT分析有限长样值信号的谱,原信号可能是周期的,也可能是非周期的. 但IDFT总是周期的. 样值点数=周期信号的周期时,DFT与DFS结果一样,  稳定信号ZT在单位圆上的等间隔N点取样值,等于该信号的N点DFT. 信号 变换 连续 FT 周期连续 FS 离散 DTFT 周期离散 DFS SHNU.信息机电学院

3 用DFT对连续时间, 离散时间信号进行谱分析  DFT是对连续(离散)时间信号(DT)FT的近似；  DFT的频率间隔决定其有限的频率分辨率  DFT可得周期和非周期信号的谱估计.仅由数据窗选定的样值计算.  (矩形,Hanning, Hamming, Blackman etc.)窗函数的选择可影响DFT谱估计的细节. 4. DFT谱分析的误差：  混叠, 时域抽样,使原始信号的谱周期延拓时混叠. 频域抽样,使IDFT结果,在时域混叠  栏栅效应, 只得到原连续谱的有限个频点的谱值.  频率泄漏, 时域截短(加窗)引起. SHNU.信息机电学院

10月14日、 10月31日、 11月19日 数字信号处理 上机实验 内容： 3次Matlab实验 班级： 通信工程12级， 人数： 数字信号处理 上机实验 内容： 3次Matlab实验 班级： 通信工程12级， 人数： 地点：综合试验楼315室 时间：每周?晚 17:00~18:20 1班 18:30~19:50 2班 日期：第 6,8,11 周 10月14日、 10月31日、 11月19日 SHNU.信息机电学院

Homework: P102, 3-1. (5),(7) 3-2.(4) 3-3 （2） 3-5, 3-7, 3-10 3-2.(4) 3-3 （2） 3-5, 3-7, 3-10 3-9 3-16 3-17 SHNU.信息机电学院

END & THANK YOU! SHNU.信息机电学院