第五講 連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Differentiation 9

目錄 5.0 ﹕綱要 5.1 ﹕合成函數 5.2 ﹕連鎖律 5.3 ﹕隱函數微分 5.4 ﹕動動腦想一想

綱要 本講將介紹連鎖律與隱函數微分法，前者是有關合成函數之微分公式，後者則有別於前面第四講之顯函數微分

合成函數 (Composite Function) 定義﹕5.1 給予兩函數 ƒ 與 g ，則 ƒ 與 g 之合成函數記作 ƒ。g 定義為 (ƒ。g)(χ)= ƒ (g(χ)) 此處ƒ。g之定義域為函數g定義域內所有χ之集合，使得g(χ)在ƒ之定義域 即

合成函數 (Composite Function) 例1﹕ 若 ƒ(χ)=3X+4 且 g(χ)= ， 求 (ƒ。g)(χ)及 (g。ƒ)(χ)與其對應之定義域 解： (ƒ。g)(χ) = ƒ (g(χ)) = (g。ƒ)(χ) = g(ƒ(χ))=g(3X+4)= 註：此例可見，一般而言ƒ。g g。ƒ

合成函數 (Composite Function) 例2： 若 且 求 (ƒ。g)(χ) 解： 又 ∴D ƒ。g=φ 故 無意義 註：由此例可見，任何函數的合成函數不一定有意義

合成函數 (Composite Function) 例3： 已知 試求函數f、g與h 使得 解： 令 、 則

連鎖律 定理：5.1連鎖律 設函數g在點a處有導數存在，函數f在點b=g(a)處有導數存在，則合成函數 ƒ。g在點 a 處亦有導數存在，而且

連鎖律 證明： 令 則 即 F 在點 b 處連續，因 b = g(a) 故

連鎖律 令 則

連鎖律 若令 ， 時 ，則有 連鎖率亦可表為 推廣之 …等等 即 …等等

連鎖律 定理：5.2 設f (x)在點x 處有導數存在 則 證明：令 則 (連鎖律)

連鎖律 例4： 例5：

連鎖律 例6：

連鎖律 例7：

連鎖律 例8：

連鎖律 例9：

連鎖律 例10： 求函數 在何處有水平切線 ？ 解： 故f 在x =0 與 2 處有水平切線

連鎖律 例11： 若 且 求 ？ 解：

連鎖律 例12： 設 f 是一可微分函數且 若 試求 解：

連鎖律

隱函數微分法 給定一方程式 ， 有時可由此求出 例如由方程式 可求出 即 ，其中 此即為顯函數(explicit function) 給定一方程式 ， 有時可由此求出 例如由方程式 可求出 即 ，其中 此即為顯函數(explicit function) 在此之前已討論 ，但有時由方程式 不易解出 ， 則只需對原方程式直接微分就可以求出隱函數 f 的 導數，此法稱為隱函數微分法 (implict differentiation) 。

隱函數微分法 以下為隱函數微分法的例子 例13： 求 ？ 解：

隱函數微分法 例14： 求 及 在 處之切線斜率 解： 故過切點(3,4)之切線斜率為 -3/4 過切點(3,-4)之切線斜率為3/4

隱函數微分法 例15： 求過曲線 上一點(1,0)之切線方程式 解： 故過點 (1,0) 之切線斜率 所求之切線方程式為

隱函數微分法 例16： 試證在橢圓 上點 (x0,y0) 處之切線方程式為 證明： 故過點(x0,y0)之切線斜率

隱函數微分法 切線方程式為 即 ( ∵ (x0,y0) 為橢圓 上之點)

隱函數微分法 例17：若 ， 求 與 解：

隱函數微分法 由此例可見

隱函數微分法 例18： ， 求 解：

隱函數微分法 即 由(1) 代入(2) 得

隱函數微分法 例19：試證過 上之點 的法線也會經過原點 證明： 表過 之切線斜率為 -1；法線與切線垂直，故法線斜率為1 例19：試證過 上之點 的法線也會經過原點 證明： 表過 之切線斜率為 -1；法線與切線垂直，故法線斜率為1 法線方程式 ，即法線 過原點

隱函數微分法 例20：曲線 上過那一點之切線為垂直切線 解： 求垂直切線，即求滿足 之點

隱函數微分法 故 或 (1)當 代回曲線方程式，得 0=2 不合理 (2)當 代回曲線方程式，得 y =1 ∴ x =2 (1)當 代回曲線方程式，得 0=2 不合理 (2)當 代回曲線方程式，得 y =1 ∴ x =2 故在點(2,1)處有垂直切線

動動腦想一想 1.設 試求 及 解：

動動腦想一想 2. 設 試求 兩函數 及 使 解： 令 則

動動腦想一想 3. 求方程式 的圖形在點(1,1)之切線方程式 解： ∴過點(1,1)之切線方程式為

動動腦想一想 4. 求函數 在何處有水平切線 解： 水平切線，即切線斜率為 0，故在χ=4 處有水平切線

動動腦想一想 5.若 求 解：

動動腦想一想 6. 已知 與 求 解：

動動腦想一想 7.若 求 解：

動動腦想一想

動動腦想一想 8.假設 f 為可微分函數，試利用連鎖律 證明： (1)若 f 為偶函數，則 為奇函數 (2)若 f 為奇函數，則 為偶函數 即 故 為奇函數

動動腦想一想 (2)若 f 為奇函數，即 則 即 故 為偶函數

動動腦想一想 9.設 f 為可微分函數，且 令 求 解：

動動腦想一想 10.若 f 為可微分函數，試證 證明：

動動腦想一想 11.若 f 為可微分函數，且 求 解： 令

動動腦想一想 12.求 之圖形在 χ =1處之切線方程式 解：

動動腦想一想 又 χ =1 代入 得 故過(1,-2)之切線方程式為 過(1,3)之切線方程式為

動動腦想一想 求 及 解：

動動腦想一想

動動腦想一想 14. 利用隱函數微分法，求 解：

動動腦想一想 15. ，求 解：

動動腦想一想 16.試證在拋物線 上點 處之切線方程式 為 證明：

動動腦想一想 故過 之切線方程式為 即 故 為所求 ( ∵ 為拋物線 上之點)

動動腦想一想 17.若 求 解： 即 又

動動腦想一想 由 (1) 得 代入 (2) 2

動動腦想一想 18.求過 圖形上一點(-1,-2)之切線方程式 解：

動動腦想一想 ∴過(-1,-2)之切線斜率 故切線方程式為 表過(-1,-2)之切線為水平切線

動動腦想一想 19.求過原點且切於圓C: 之切線方程式 解： 原點不在圓C上，故應先求切點P 故過切點 之切線斜率為

動動腦想一想 又此切線通過原點及(x0，y0) ， ∴切線斜率亦為 由 得 代入圓C之方程式 由 得 代入圓C之方程式 故通過原點且與圓C相切之切線有二，且其切點分別為

動動腦想一想 ∴過切點 之切線方程式為 過切點 之切線方程式為 故 由（1）（2）式化簡 為所求 （1） （2）

動動腦想一想 20.試證兩雙曲線 與 之交角為直角 證明： 兩雙曲線之交角即為過其交點之兩切線的夾角 ∵ 設兩雙曲線之交點為 20.試證兩雙曲線 與 之交角為直角 證明： 兩雙曲線之交角即為過其交點之兩切線的夾角 ∵ 設兩雙曲線之交點為 則此二切線斜率分別為 與 ，斜率乘積為 -1 故兩雙曲線之交角為直角