2 各向异性材料弹性力学基础 2.1 各向异性弹性力学基本方程 2.2 各向异性弹性体的应力-应变关系 2 各向异性材料弹性力学基础 2.1 各向异性弹性力学基本方程 2.2 各向异性弹性体的应力-应变关系 2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数 2.4 正交各向异性材料工程常数的限制条件

2.1 各向异性弹性力学基本方程 2.1.1 弹性体中任意一点的应力分量 对于直角坐标系oxyz，三个正交平面上的应力张量为 2.1 各向异性弹性力学基本方程 2.1.1 弹性体中任意一点的应力分量 对于直角坐标系oxyz，三个正交平面上的应力张量为 其中：txy = tyx， tzx = txz， tzy = tyz 6个应力分量：sx， sy ， sz ， txy ， tyz ， tzx

2.1.2 弹性体中任意一点的应变分量 对于直角坐标系oxyz，应变张量为: 2.1.2 弹性体中任意一点的应变分量 对于直角坐标系oxyz，应变张量为: 其中：exy = eyx= gxy / 2， ezx = exz = gzx / 2 ， ezy = eyz = gyz / 2 。 exy ， ezx ， eyz 为张量切应变， gxy ， gzx ， gyz 为工程切应变。 6个应变分量：ex， ey ， ez ， gxy ， gyz ， gzx

2.1.3 弹性体中任意一点的位移分量 对于直角坐标系oxyz，位移分量: 3个位移分量：u， v ， w 2.1.3 弹性体中任意一点的位移分量 对于直角坐标系oxyz，位移分量: 3个位移分量：u， v ， w 各向异性弹性力学有15个基本未知量： 3个位移分量：u， v ， w 6个应力分量：sx， sy ， sz ， txy ， tyz ， tzx 6个应变分量：ex， ey ， ez ， gxy ， gyz ， gzx

2.1.4 各向异性弹性力学平衡微分方程 其中：fx， fy， fz 为体力分量，r 为密度，t 是时间。

2.1.5 各向异性弹性力学几何方程

根据变形协调方程，应变分量间满足： 应力边界条件： 位移边界条件：

2.1.6 各向异性弹性力学应力-应变关系 小变形时，应变分量与应力分量间的关系： 其中：C11，C12，…，C66 称为刚度系数。

写成矩阵表示式为: C 矩阵称为刚度矩阵。 15个基本方程，加上给定的边界条件，可以确定15个基本未知量。 各向异性弹性力学基本方程与各向同性弹性力学基本方程相比，平衡微分方程、几何方程相同，只是物理方程不同。

2.2 各向异性弹性体的应力-应变关系（本构关系） 2.2.1 各向异性弹性体的本构关系 2.2.1 各向异性弹性体的本构关系 用1，2，3 轴代替x，y，z 轴，把应力应变分量符号用简写符号表示，相应替代关系为 应力： 应变： gij 表示工程切应变， eij （i ≠ j）表示张量切应变。

应力应变线弹性关系： 凡 j 重复，表示由 1,2, …,6 共6项相加。si 是应力分量， ej 是应变分量， Cij 是刚度系数。

对于完全弹性体，当应力 si 作用于应变增量 dei 时，单位体积外力功的增量为 dA，即应变能密度增量 dW 应变能与加载过程无关 沿整个加载变形过程积分，应变能密度为 应变能密度为应变分量的二次函数。

刚度矩阵 C 为对称矩阵，只有21个刚度系数是独立的，即

Sij 为柔度系数，柔度矩阵 S = C -1，也为对称矩阵，即Sij = Sji， 也只有21个柔度系数是独立的。

各向异性材料的应变能密度表达式为

2.2.2 几种常见对称材料的应力-应变关系 绝大多数工程材料具有对称的内部结构，因此材料具有弹性对称性。 常见的对称材料有单对称材料、正交各向异性材料、横观各向同性材料和各向同性材料。

材料内每一点都存在一个弹性对称面，则称该材料为单对称材料。关于弹性对称面对称的任意两个方向上的弹性性质是相同的。 1. 单对称材料的应力-应变关系 材料内每一点都存在一个弹性对称面，则称该材料为单对称材料。关于弹性对称面对称的任意两个方向上的弹性性质是相同的。 例如取1-2坐标平面与弹性对称面平行，3 轴与弹性对称平面垂直，过 o 点按坐标方向切取一微单元体。由弹性对称面定义可知，将 3 轴转到 3’轴，应力-应变关系保持不变。 1 2 3 o 1 2 3’ o

1 2 3 o s3 t13 t23 当 3 轴换成 3’ 轴时， 1 2 3’ o s3’ t13’ t23’

123坐标系下，材料的应变能密度为

123’ 坐标系下，材料的应变能密度为 材料的应变能密度为

应变能密度W是应变状态的单值函数，是标量，与坐标系的选择无关。为保证W 值不变，含g23和g13的一次项（即e4和e5 ）的刚度系数等于零。 独立的刚度系数减为13个

同样为保证W 值不变，含 t23 和 t13 的一次项的柔度系数等于零。 独立的柔度系数减为13个

讨论材料弹性对称性的物理意义 取单对称材料，仅在3-3’方向加正应力，即s3≠0，其他应力分量均为零。 垂直于弹性对称面的正应力只引起正应变和垂直于正应力平面的切应变。材料弹性对称性的存在，可降低正应力和切应变或切应力与正应变的耦合程度，降低材料各向异性。

2. 正交各向异性材料 材料中的每一点都存在三个相互垂直的弹性对称面，称作正交各向异性体。材料有三个正交的弹性主轴。1-2 面、 1-3 面 和 2-3 面均为弹性对称面。 1 2 3 o s3 t13 t23 1 2 3’ o s3’ t13’ t23’

按单对称材料分析方法有 独立刚度系数减少为9个

独立柔度系数减少为9个 对于正交各向异性材料，正应力只引起正应变，切应力只引起切应变。正应力与切应变或切应力与正应变之间没有耦合，这一点是和各向同性材料相同。

3. 横观各向同性材料 材料中的每一点都存在三个相互垂直的弹性对称面，但其中的一个平面是各向同性的，称为横观各向同性材料。取1-2 面为各向同性面，1，2，3 轴都是弹性主方向。与3 轴有关的系数 S33 、S13 、 S44 、C33 、C13 、S44 都独立。 1 2 3 o

将坐标 1-2 在面内转 45°，新坐标 1’-2’下的应力分量 s 2 1 t1’2’ 1’ 2’ 某点应力状态： 将坐标 1-2 在面内转 45°，新坐标 1’-2’下的应力分量

5个独立弹性常数

4. 各向同性材料 材料具有无穷多个性能对称平面，称为各向同性材料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面的弹性性能完全相同。刚度系数、柔度系数分别满足

独立弹性常数2个

2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数 除了表示材料弹性特性的刚度系数 Cij 、柔度系数 Sij 外，工程上常用工程弹性常数来表示材料的弹性特性。 大型通用结构有限元分析软件输入复合材料的弹性性能时，也要求按工程弹性常数形式给出。 工程弹性常数：拉压弹性模量 Ei 、剪切弹性模量 Gi 和泊松比 nij 。 工程弹性常数可用三个单向拉伸和三个纯剪切试验测定。

1方向单向拉伸试验： s1≠0，其他应力均为零。 s1 s1

3方向单向拉伸试验： s3≠0，其他应力均为零。 2方向单向拉伸试验： s2≠0，其他应力均为零。 s3 s2 s3 s2

1-2面、2-3面和1-3面纯剪切试验： t21 t12 t23 t32 t13 t31

用工程常数来表示的正交各向异性材料的柔度矩阵 Ei（i =1，2，3）表示沿材料主方向 i 的弹性模量 。 nji 表示由于沿材料主方向 j 作用应力sj 时，材料主方向 i 应变与主方向 j 应变的负值，称为泊松比 。Gij 表示在 i-j 平面的剪切模量。

三个互等关系： （i，j＝1，2，3，但i≠j）

用工程常数来表示的正交各向异性材料的应力-应变关系

正交各向异性材料的刚度系数：

2.4 正交各向异性材料工程常数的限制条件 2.4.1 各向同性材料工程弹性常数的限制条件 各向同性体受到静水压力 –p 作用时的体积应变为 各向同性材料工程弹性常数 E、G、n 之间的相互关系 各向同性体受到静水压力 –p 作用时的体积应变为 体积模量 各向同性材料泊松比取值范围

2.4.2 正交各向异性材料工程弹性常数的限制条件 材料应变能密度 考虑材料承受单向拉应力s1 正交各向异性材料的刚度矩阵 C 和柔度矩阵 S 主对角线元素大于零，刚度矩阵 C 和柔度矩阵 S 正定。

柔度矩阵正定

三个泊松比的乘积小于1/2

例2-1：通过实验得玻璃钢单层板实验数据： 试由工程弹性常数的限制条件验证实验数据。 解： 计算结果表明，实验数据合理。

例2-2：由碳纤维增强聚合物制得的正交各向异性材料的工程弹性常数为 试求其刚度矩阵和柔度矩阵。 解： 计算柔度系数 计算其他泊松比