第三章 投影法基础 §3.1 投影法的基本概念 §3.2 点的投影 §3.3 直线的投影 §3.4 平面的投影 §3.1 投影法的基本概念 §3.2 点的投影 §3.3 直线的投影 §3.4 平面的投影 §3.5直线与平面以及两平面间的相对位置 §3.6 综合问题 §3.7 投影变换

§3.1 投影法的基本概念 投影法的基本知识 平行投影的基本性质

投影法的基本知识 画透视图 画斜轴测图 中心投影法 投影方法 斜投影法 平行投影法 正投影法 画工程图样及正轴测图

中心投影法 物体位置改变，投影大小也改变 投射中心 投射线 物体 投影 投影面 投影特性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差

平行投影法 正投影法 斜投影法 投射线互相平行且垂直于投影面 投射线互相平行且倾斜于投影面 投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好

平行投影的基本特性 投影的同类性 投影的从属性 点的投影仍是点；直线的投影在一般情况下仍是直线；平面图形的投影在一般情况下是原图形的类似形. 若点在直线上，则点的投影仍在该直线的投影上。

投影真形性 投影积聚性 当直线或平面平行于投影面时，其投影反映原线段的实长或原平面图形的真形。 当直线或平面平行于投影方向时，直线的投影积聚成点、平面的投影积聚成直线。

投影平行性 若两直线平行，则其投影仍互相平行。 投影定比性 直线上两线段长度之比或两平行线段长度之比，分别等于其投影长度之比。

§3.2 点的投影 点在两投影面体系中的投影 点在三投影面体系中的投影与点的直角坐标 投影面和投影轴上的点 两点的相对位置 重影点

点在一个投影面上的投影：过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。 点的投影 点在一个投影面上的投影：过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。 ● A P a ● 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。 P b ● B1 ● B2 ● B3 解决办法？采用多面投影。

点在两投影面体系中的投影 两个投影面互相垂直 V X O 投影面 正面投影面（简称正面或V面） 水平投影面（简称水平面或H面） 投影轴 OX轴 V面与H面的交线 H 两个投影面互相垂直

点在两投影面体系中的投影 a a a a 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。 V 点A的正面投影 A X O 点A的水平投影 ● a 点A的正面投影 A ● X a ● O a 点A的水平投影 H 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。

两投影面体系展开及投影图 不动 V V a ● a a X O x ● A x a ● X O H a ● H 向下翻

点在两投影面体系中的投影特性 a ax a X 投影特性 aaOX aax =Aa ，aax =Aa 通常在作图时不必画出投影面的边界 a ● ax O X ● a 投影特性 aaOX aax =Aa ，aax =Aa

点在三投影面体系中的投影与点的直角坐标 Z V 投影面 正面投影面（简称正面或V面） 水平投影面（简称水平面或H面） W 投影面 正面投影面（简称正面或V面） 水平投影面（简称水平面或H面） 侧面投影面（简称侧面或W面） 投影轴 OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线 o X H Y 三个投影面互相垂直

点在三投影面体系中的投影 a a 点A的正面投影 a a 点A的水平投影 a 点A的侧面投影 a Z V A X W O H Y ● A ● a 点A的水平投影 a ● O X a ● H Y a 点A的侧面投影 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。

三投影面体系的展开及投影图 a a a  a a a a a 不动 向右翻 Z X YH YW Z V W V A X W O H ● z x Z V W V a a z ● A a x a ● ● X W O H a y a ● H Y 向下翻

点在三投影面体系中的投影特性 az a a a a ax a a ay a a a Z Z V A X O Y W X O H Y ● Y Z az a X ay O a ax a V a a z ● A a x a ● ● W X O a y a ● H Y 投影特性 点的投影连线垂直于相应的投影轴。即a’a⊥OX轴和a’a”⊥OZ轴． 点的投影到投影轴的距离等于点的坐标，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。即a’az=aay=XA；a’ax=a”ay=ZA ；aax=a”az=YA ．

例：已知点的两个投影，求第三投影。 a a az a a ax az a a ax 解法一: 通过作45°线使aaz=aax ● a ● ax a ● ● a a ax az a ● 解法二: 用圆规直接量取aaz=aax

投影面和投影轴上的点 投影面上的点有一个坐标为零；在该投影面上的投影与该点重合，在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上 投影轴上的点有两个坐标为零；在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影则与点Ｏ重合。

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 Z a a ● 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 b b X YW a 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；y坐标值大的点在前；z坐标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。 b YH B点在A点之前、之右、之下。

重影点

§3.3 直线的投影 直线对投影面的各种相对位置 直线上的点 两直线的相对位置 一般位置直线的实长和对投影面的倾角 一边平行于投影面的直角的投影

直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。 直线对一个投影面的投影特性 真形性 积聚性 a a a b b b ● 两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。 直线对一个投影面的投影特性 A B ● a b A M B ● a≡b≡m ● A B a b α 真形性 积聚性 直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB 直线垂直于投影面 投影重合为一点

直线对投影面的各种相对位置 投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线 正平线（平行于Ｖ面） 平行于某一投影面而 侧平线（平行于Ｗ面） 与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 垂直于某一投影面 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 与三个投影面都倾斜的直线 一般位置直线

一般位置直线 投影特性 三个投影都与投影轴倾斜，长度都小于实长； 与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。

投影面平行线 投影特性 在平行的投影面上的投影，反映实长；它与投影轴的夹角，分别反映直线对另两投影面的真实倾角。 在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。

投影面平行线 正平线 水平线 侧平线 实长 实长 实长

投影面垂直线 投影特性 在直线垂直的投影面上的投影，积聚成一点。 在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，反映实长。

投影面垂直线 正垂线 铅垂线 侧垂线

例题：判断下列直线的位置 水平线 侧平线

直线上的点 V b c B a C A b c a H 根据平行投影的基本性质可知：点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上（从属性）；且点分直线段长度之比等于其投影分直线段投影长度之比（定比性），即AC/CB=ac/cb= a’c’/ c’b’

例：判断点C是否在线段AB上。 c ② a b c a b ● a b c a b c ① 点C在直线AB上 点C不在直线AB上

例：判断点K是否在线段AB上。 另一判断法? a a k k b b a k b 应用定比定理 因k不在a b上， ● ● k b b a k 另一判断法? b 应用定比定理

两直线的相对位置 平行、相交、交叉。 空间两直线的相对位置分为： 两直线平行 b V d a B c 投影特性 A H c b c d A B ` D b d a 投影特性 空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。 例：判断图中两条直线是否平行。 ① b d a 对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。 c a c b d AB//CD

对于投影面平行线，只有这两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。 例：判断图中两条直线是否平行。 ② c c a 对于投影面平行线，只有这两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。 a d d b b c b d a 求出侧面投影后可知： 如何判断？ AB与CD不平行 求出侧面投影 还有其它判别方法吗？

两相交直线 判别方法： 交点是两直线的共有点 H V A B C D K a b c d k a b c k d a b c d 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。

例：过C点作水平线CD与AB相交。 ● c a b b a c 先作正面投影 d k k d

Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 两异面（交叉）直线 d b a a b c d c  两直线相交吗？为什么？ 3 4 ● 1(2 ) ● 1 2 ● 投影特性 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。 “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。 ● 3(4 ) Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。

求一般位置直线AB的实长及其倾角。 实长 实长 直角三角形画在任何位置都不影响结果，但用哪个作为直角边不能错，哪个角是倾角不能错。 任意直角三角形都包含四个参数：线段的实长（斜边）、一个投影长（一直角边）、线段两端点的坐标差（另一直角边）、及直线对投影面的倾角（一锐角）。当已知任意两个参数时，便可作出该直角三角形，从而求出其他参数。

如果要求γ角，两个直角边长度怎么定？ 求一般位置直线AB的实长及其β角。 实长 yB-yA 实长

例:已知直线AB的实长和ab及a’，求直线AB的正面投影。

一边平行于投影面的直角的投影 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。 证明： B C 设 直角边BC//H面 A B C a b c H 设 直角边BC//H面 因 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以 BC⊥ABba平面 又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面 因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角 a c b a b c . 直线在H面上的投影互相垂直

例：已知AB为正平线，过C点作直线与AB垂直相交。 d . d b c ● AB为正平线, 正面投影反映直角。 c ● a b

§3.4 平面的投影 平面的表示法 平面对投影面的各种相对位置 平面上的点和直线

平面的表示法 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b ● a b c a b c a b c a b c ● ● a b c a b c a b c a b c ● ● a b c a b c d ● d ● 不在同一直线上的三个点 两平行直线 两相交直线 平面图形 直线及线外一点

用迹线表示平面 平面与投影面的交线，即平面的迹线 平面P与H面的交线叫水平迹线，以PH表示； 平面P与V面的交线叫正面迹线，以PV表示； 平面P与W面的交线叫侧面迹线，以PW表示。 用迹线表示的平面称为迹线平面

平面对一个投影面的投影特性 倾斜 垂直 平行 类似性 真形性 积聚性

投影面平行面 平面对投影面的各种相对位置 正垂面 投影面垂直面 侧垂面 特殊位置平面 正平面 侧平面 水平面 一般位置平面 铅垂面 垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面 投影面垂直面 特殊位置平面 正平面 侧平面 水平面 平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面 投影面平行面 一般位置平面 与三个投影面都倾斜

一般位置平面 投影特性 它的三个投影仍为平面图形，面积缩小，不直接反映平面对投影面的倾角。

投影面垂直面 类似性 类似性 积聚性 铅垂面 投影特性 在所垂直的投影面上的投影，积聚成直线；积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反映平面对另两个投影面的的倾角。 在另外两投影面上的投影仍为平面图形，面积缩小。

投影面垂直面的投影特性 正垂面 铅垂面 侧垂面 只须一个投影就可确定平面的位置，是哪一个？ 用迹线表示投影面垂直面：

投影面平行面 积聚性 实形性 正平面 积聚性 投影特性 在平行的投影面上的投影，反映实形。 在另外两投影面上的投影，分别积聚成直线，平行于相应的投影轴。

投影面平行面的投影特性 正平面 水平面 侧平面

若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 平面上的点和直线 判断直线在平面内的方法 定理二 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。 定理一 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 若点在平面内的一直线上,则此点在该平面内. 判断点在平面内的方法

例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。 根据定理二 根据定理一 解法二: 解法一: d d b a b c b c a m n c m a n b a c 有多少解？ 有无数解

例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 ① a c c a k b ● ② ● a b c a b k c d d k ● k ● 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解

例：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。 解法一 解法二 b k c c k b

平面上的特殊直线 例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。 c a b c a b m n 10 有多少解？ 在平面上对投影面倾角最小（等于零度）的直线即为平面上的投影面平行线；对投影面倾角最大的直线为平面上的最大斜度线。 例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。 c a b c a b m n 10 有多少解？ n m

最大斜度线 垂直于平面上的水平线的直线是对H面的最大斜度线，垂直于平面上正平线的直线是对V面的最大斜度线，垂直于平面上侧平线的直线是对W面的最大斜度线。 平面上对H、V、W面的最大斜度线的倾角即为该平面对H、V、W面的倾角α、β、γ

例：已知△ABC的两投影，求平面的水平倾角α。 分析:平面的水平倾角就是平面上对H面的最大斜度线的水平倾角。 作图步骤： 1）作平面上的水平线AE； 2）过点B作直线BD与AE垂直，BD即为平面上过点D的最大斜度线； 3）用直角三角形法求出直线BD对H面的倾角即为平面的水平倾角α。

§3.5直线与平面以及两平面间的相对位置 平行问题 相交问题 垂直问题

平行问题 平行问题 直线与平面平行 特殊情况 平面与平面平行 直线与平面平行 一般情况 平面与平面平行 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。 若两个平面内各有一对相交直线对应地平行，则这两个平面互相行。

平行问题（特殊情况） 若一直线与一特殊位置平面平行，则该直线在平面具有积聚性的投影面上的投影与平面的同面投影（积聚性投影）平行，或者直线、平面的同面投影都有积聚性。 若两特殊位置平面相互平行，则它们具有积聚性的那组同面投影必然相互平行。

平行问题（一般情况） 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行 若两个平面内各有一对相交直线对应地平行，则这两个平面互相平行。

例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。 正平线 b n c m a ● c a 唯一解 n m ● b

例：判断两平面是否平行 s n r n r m m s 结论：平行

相交问题 相交问题 直线与平面相交 特殊情况 平面与平面相交 直线与平面相交 一般情况 平面与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。平面与平面相 交，其交线是两个平面的共有线 作出交点或交线的投影，并判别可见性。

例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 空间及投影分析：平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为交点K的水平投影。 k ● a c 作图: 求交点 判别可见性.由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。 m m c k ● a n

例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 空间及投影分析：直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影k可也积聚在该点上。 k ● c a ● 1(2) 作图： ① 求交点。 ② 判别可见性：（利用重影点判别可见性） 点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k 2为不可见。 n b k 2 ● m(n) ● c 1 ● a

b e m f n h c a b e m h n a c f 例：求两平面的交线MN并判别可见性。 b 空间及投影分析:平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、 bc与fh的交点n即为两个共有点的正面投影，故m n即MN的正面投影。 e m ● f n ● h c a 作图: ① 求交线 ② 判别可见性:根据正面投影可直接判别。 b e m ● h n ● a c f

⑴ f a b e m(n) c d e a n c d m f b 空间及投影分析:平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，两个平面正面投影的交点即是交线的正面投影。 b e ● m(n) c d 作图: ① 求交线 ② 判别可见性:从正面投影上即可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。 e a n ● c d m ● f b

互交 例：求两平面的交线并判别可见性。 b m f d k n e a c b f m e a k n c d 作图: ● f d 作图: ① 求交线 N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面上，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。 ② 判别可见性:根据正面投影可直接判别。 k ● n ● e a c b f m ● e a k ● 互交 n ● c d

相交问题的一般情况 A B C Q M N K 包含已知直线AB作一辅助平面Q；求出辅助平面Q与已知平面△ABC的交线；交线与已知直线MN的交点K，即为直线MN与平面△ABC的交点。 为了作图简便，所作辅助平面常采用投影面垂直面或平行面，这样可以利用特殊位置平面投影积聚性方便地求出两平面的交线。。

例：求直线MN与平面△ABC的交点K。 由于直线和平面均无积聚性投影，故可根据前面所述三个步骤求交点： 1) 包含直线MN作一辅助铅垂面P； 2) 作出P平面与△ABC的交线DE。 3) 作出DE与直线MN的交点K。 4) 判别可见性（利用重影点进行判别）。

PV l l n m m n 求两平面的交线 QV 两一般位置平面相交，求交线步骤： 1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。 1 2 2 k e 1 e k 2．连接两个共有点，画出交线KE。

B C A M F K N L 两一般位置平面相交求交线的方法 示意图

1 2 ( ) 3 4 2 1 利用重影点判别可见性 3 4 ( )

三面共点法求两平面的交线 分析：平面ABC和平面DEFG，它们的轮廓部分不直接相交，可应用三面共点法求它们的交线。作图步骤如下： ①选取两水平面R、S作为辅助平面； ②求出辅助平面与已知平面的交点K、L。（处于同一辅助平面内的两交线的交点即为辅助平面与已知平面的共有点，即为已知两平面交线上的一个点。） ③三面共点法一般采用两个平行的投影面平行面作为辅助平面，这时辅助平面与已知平面的交线是平行的，这样便于作图。

垂直问题 垂直问题 直线与平面垂直 特殊情况 平面与平面垂直 直线与平面垂直 一般情况 平面与平面垂直 直线与平面垂直的几何条件：若直线垂直平面内的任意两条相交直线，则此直线垂直与平面；若直线与平面垂直，则直线垂直与平面内的所有直线（包括垂直相交和垂直交叉）。 两平面相互垂直的几何条件：通过某平面的一条垂线所作的任何平面必垂直于该平面。

垂直问题（特殊情况） 当直线与特殊位置平面垂直时，直线一定平行于该平面所垂直的投影面，其投影特性为直线的投影垂直于平面的有积聚性的同面投影。 当平面与特殊位置直线相垂直时，平面一定平行或垂直于该直线所垂直或平行的投影面，仍具有上述投影特性。

垂直问题（特殊情况） 与投影面垂直面相垂直的平面情况： 与投影面平行面相垂直的平面情况： 1）一般位置平面：在一般位置平面上必定包含了已知平面的垂线。 2）投影面垂直面：这个平面必定垂直于已知平面所垂直的投影面，并且两个平面有积聚性的投影相互垂直。 3）投影面平行面：这个平面必定平行于已知平面所垂直的投影面。 与投影面平行面相垂直的平面情况： 投影面平行面：这个平面必定与已知平面所垂直的投影面平行

垂直问题（一般情况） 直线与平面相垂直的几何条件是：若直线垂直平面内的一对相交直线，则此直线垂直平面。若直线垂直平面，则直线一定垂直（包括垂直相交和垂直交叉）于平面内的一切直线。 根据直线与平面相垂直的几何条件和直角投影定理，可以得出结论：直线与一般位置平面垂直，则直线的正面投影必定垂直该平面上正平线的正面投影；直线的水平投影必定垂直于该平面上水平线的水平投影。

例：过点M作直线垂直于平面ABCD，并求垂足K。 根据直线与一般位置平面垂直的投影特性，只需过点M作直线MN，使之同时垂直于平面内的水平线和正平线，直线MN即为所求，再用辅助平面求出直线MN与平面ABCD的交点即为垂足K。

§3.6 综合问题 一、定位问题 例一、过点A作一直线与两直线BC、DE相交。 作图步骤： §3.6 综合问题 一、定位问题 例一、过点A作一直线与两直线BC、DE相交。 作图步骤： 连接AD、AE组成一平面ADE，并用辅助平面法求出直线BC和平面△DEA的交点K； 连接AK，并延长AK必与直线DE相交，AK即为所求。

例二、AB为直角△ABC的一直角边，斜边BC∥DE，求作此直角△ABC的两面投影。 作图步骤： 过点B作一条直线BF平行直线DE，则点C在此直线上；过点A作一平面AMN垂直直线AB，即作水平线AM、正平线AN分别垂直于AB；利用辅助平面法求平面AMN与直线BF的交点C；连接AC、BC，即得所求△ABC。 分析：根据题意，△ABC中边AB垂直另一直角边AC，AC必在过点A垂直AB的平面P内，直线BC与平面P的交点即为需求的点C。

二、度量问题 作图步骤： 例三、求点C到直线AB的距离。 过点C作正平线CD，过点C作水平线CE，则平面CDE垂直直线AB； 求出直线AB和平面CDE的交点K； 再用直角三角形法求出其实长，即为点C到直线AB的距离。 例三、求点C到直线AB的距离。 分析：若从点C作一直线垂直于AB，并求出垂足K，CK的实长就是点C到直线AB的距离。CK应该在过C点垂直于直线AB的平面内，因此过点C作平面P垂直于直线AB，直线AB与平面P的交点即为垂足K。

例四、求两交叉直线AB和CD的公垂线。 作图步骤： 过点D作DG∥AB，则△DCG平行于AB；作△DCG面上的一条水平线和一条正平线，过点A作直线AH垂直于△DCG 面内的正平线和水平线。用辅助平面法求出直线AH和△DCG 面的交点K；由K作直线KM∥AB，KM与CD交于点F，点F即为公垂线上的一点；由点F作直线FE∥AH，交AB于E，FE即为所求的公垂线。如要求出两交叉直线AB、CD的最短距离，求出公垂线FE的实长即可。 分析：公垂线即同时垂直于AB和BC。如果经CD上任意一点D，作直线DG∥AB，那么CD和DG所组成的平面P的垂线方向就是两交叉直线的公垂线方向。再过直线AB上任一点A，向P平面作垂线AK，并求出垂足K，则过点K与直线AB平行的直线与CD的交点F即为公垂线EF的一个垂足，再由点F引直线平行于AK与AB相交于点E，即可求得公垂线EF。

例五、求直线AB与平面△DEF的夹角。 作图步骤： 在△DEF内作正平线和水平线，过点A作直线AC（C点任意定）垂直于平面DEF的正平线和水平线，连接点B、C构成△ABC，用直角三角形法分别求出AB、AC、BC的实长，作出△ABC的实形，所得δ角即为∠BAC；AB与DEF的夹角θ为δ的余角，即θ＝90°－δ。 分析：直线与平面的夹角θ由直线AB及其在该平面上的正投影的夹角所确定。根据这个定义求角θ时，先要过直线上的一个点（如点A），向△DEF作垂线AC并求出垂足M，再求出直线AB与△DEF的交点N，然后求直线AB与MN的夹角的实形。而直线AN和AM的夹角δ为直线AB与△DEF的夹角θ的余角。求出δ角即可得到θ角，求δ可归结为求△ABC的实形问题，这样就不必求交点M、N了。

§3.7 投影变换 变换投影面法（换面法） 绕垂直轴旋转法简介

保持空间几何元素的位置不变，而用新投影面代替原有的投影面，使空间几何元素相对于新的投影面处于有利于解题的位置。 换面法 V V H A B a b a b a1 b1 保持空间几何元素的位置不变，而用新投影面代替原有的投影面，使空间几何元素相对于新的投影面处于有利于解题的位置。 新投影面的选择应符合以下两个条件： （1）新投影面必须处于有利于解题位置。 （2）新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面，形成一个新的投影面体系。 解题需要 只有这样才能应用 两投影面体系中的 正投影规律。

点的一次变换 a a a1 a1 ax A ax1 ax ax1 a a V H X V1 X1  X1 V1 V H X    V H X V1 X1 a a a1  ax ax1 . X1 V1 V H A a a  ax X  a1 ax1   投影规律 点的新投影与不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（aa1   X1）。 点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。（a1ax1 = a  ax ）

点的一次变换的作图方法 a1 a a a a1 a X1 H1 V 更换V面 更换H面   X V H V1 H X1 V X H  a1 a   .   X V H a a V1 H X1 ● a1 V X H . a  作图步骤： 由点的不变投影向新投影轴作垂线。 在垂线上量取一段距离，使这段距离等于旧投影到旧投影轴的距离。

点的两次变换 X1 V1 按次序更换 H2 X2 a2   V a  a1  A   X a  H

点的二次变换的作图方法 a   V X H  a2 X2 V1 H2 a X1 H V1   . . a1  

把一般位置直线变换成投影面平行线 b a a1 a b b1 b a a  b1 a1  b 新投影轴的位置？ 与ab平行 V1 a1 b1 V H A B a b a b a V X H b X1 H V1 a .  b1 ● a1  ● 新投影轴的位置？ 与ab平行 如果要求直线的β角，新投影轴的位置怎样确定？

投影面平行线变换成投影面垂直线 根据投影面垂直线的投影特性，投影面平行线要变换成投影面垂直线只需要以反映实长的投影作为不变投影，新投影轴与其垂直即可。

一般位置直线变换成投影面垂直线 b a2b2 ax2 b a b1  a B a1  b A a b a1 a b1 是否可以通过一次变换将一般位置直线变换成投影面垂直线？ X2 H2 X1 V1 V H a a X B b b A b  a2b2 ax2 a a1  b1  V X H b b1 ● X1 H1 V1 a a1 ● V1 H2 X2 . a2b2 

一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 两平面垂直需满足什么条件？ a b c a b c d V H A B C D X d V1 X1 一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？ c1 b1 a1d1 在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。 思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？ 正平线

例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。 b a α 作图: ①在平面内取一条水平线AD。 ②将AD变换成新投影面的垂直线。 d c V X H a 反映平面对哪个投影面的夹角？ b H P1 X1 . c α c1 ● a1d1 ● d1 ●

投影面垂直面变换成投影面平行面 根据投影面平行面的投影特性，投影面垂直面要变换成投影面平行面只需要以积聚的投影作为不变投影，新投影轴与其平行即可。

一般位置平面变换成投影面平行面 c a2 a b a b2 b a1 b1 c2 平面的实形 c c1 需经几次变换？ ● a b V X H a b2 ● b X2 V1 H2 X1 H V1 a1 b1 ● . . c2 ● 平面的实形 c c1 ●

例：求直线AB的实长及与H面的夹角。 换H面行吗？ b a a a1 b b1 b a a  b1 a1 b 不行！ V1 A X V H V H A B a b a b V1 a1 b1 X1 H P1 .  b1 ● a1 ● 换H面行吗？ 不行！

例：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 X V H  分析：求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。 A P B D C c abd d X1 H V1 d d1  a2b2d2  . b1   X2 V1 H2 a1   . . 当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。 如何确定d1 点的位置？ c1   c2  过c1作x2轴的平行线。 距离

例：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。 ● d ● n M N 分析：当直线AB垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。 ● c P1 A C D N M c1 d1 a1m1b1 n1 B a ● m b V X H d a ● m H V1 X1 ● d1  b ● n . ● a1  ≡b1  ≡m1  c . ● n1  注意各点的投影如何返回？ 圆半径=MN ● c1  求m点是难点

例: 过C点作直线CD与AB相交成60º角。 a2 b d d2 a b2 d b c2 a1b1 c c1 分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。 c ● a2 ● a b d D点的投影如何返回？ V X H d2 ● a 60° b2 ● d ● 几个解？ X1 H V1 b X1 V1 H2 . c2 ● . a1b1 ● ● c c1 ● 思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。 如何解？ 解法相同！

例：求平面ABC和ABD的两面角 b d a1 d1 a X2 c P1 V X P2 H c1 b1 a c P1 θ d 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。 分析：在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。 c d b a d a c b ● a1 ● d1 P2 P1 X2 H P1 X1 V X H ● c1 ● b1 θ . . ● a2≡ b2 θ ● d2 c2 ●

绕垂直轴旋转法简介 保持原投影面体系不变，把空间几何元素绕选定的轴线转到与投影面成特殊位置，以达到求解几何问题的目的，这种方法称为旋转法。 当一点绕垂直于某一投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在该投影面上的投影为一圆，在另一投影面上的投影为一条垂直于旋转轴的直线。

例一、已知一般位置直线AB的两面投影，求AB的实长及其对H面的倾角。 正平线 作图方法： 以a为圆心，ab为半径作圆弧，将b旋转到b1，使ab1 //OX；自b1作OX轴的投影连线，自b′作OX轴的平行线，两者相交得b1′；连接a′b1′，即为AB线段的实长，其与X轴的夹角α，即为AB与H面的倾角。

例二、已知△ABC的两面投影，求△ABC的实形。 作图方法： 过a′作OX轴的平行线；以a′为圆心，分别以a′b′、a′c′为半径画圆弧与所作平行线相交得b1′、c1′，a1′与a′重合。线段a1′b1′c1′为△ABC旋转后的正面投影；分别过b1′、c1′作OX的投影连线与过b、c所作OX轴的平行线相交得b1、c1。因旋转轴通过A点，故a1与a重合；连接a1b1、b1c1、c1a1，△a1b1c1即为△ABC的实形。 “三同”原则 在旋转时，各几何元素必须绕同一根轴，按同一方向，旋转同一角度。

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