第八章 欧氏空间 8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵

8.1 向量的内积 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 一、内容分布 二、教学目的 三、重点难点： 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的 1．理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间． 3．掌握 及其它不等式，并会用它来证明另外一些不等式 三、重点难点： 1. 准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念; 2.柯西不等式 的灵活运用

一、向量的内积、欧氏空间的定义 定义1 设V 是实数域R上一个向量空间. 若对于 V 中任意一对向量 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： 有一个确定的记作 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： 1) 2) 3) 4) 当 时, 这里 是V的任意向量，a是任意实数， 那么 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）. 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于

例1 在 规定 里,对于任意两个向量 易证,关于内积的公理被满足,因而 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. 例2 在 规定 里,对于任意向量 不难验证, 也作成一个欧氏空间.

例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数 ，我们规定 所成的向量空间, 根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间. 例4 令H是一切平方和收敛的实数列 所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法，

设 规定 向量 的内积由公式 给出，那么H是一个欧氏空间. 练习1 为向量空间 中任意两向量,证明: 对 作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0.

二、向量的长度、两非零向量的夹角 定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数 的算术根 叫做ξ的长度，向量ξ的 表示： 定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数 的算术根 叫做ξ的长度，向量ξ的 表示： 的长度，向量ξ的长度用符号 定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量 有不等式 (6) 当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.

定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义： 例5 令 是例1中的欧氏空间. 中向量 的长度是 由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ和任意实数a,有

注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度等于a的绝对值与ξ的长度的乘积. 例6 考虑例1的欧式空间 ，由不等式(6)推出： 对于任意实数 ，有不等式 (7) (7)式称为柯西(Cauchy)不等式.

例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 有不等式 (8) (8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. 注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.

三、向量的正交 定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的, 如果 定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ 中每一个正交， 那么ξ与 定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ 中每一个正交， 那么ξ与 的任意一个线性组合也正交. 与

8.2 正交基 一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的： 1．准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质． 2．能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组 3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补． 4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系． 5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论． 三、重点难点： 正交向量组、n 维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法

一、正交组的定义、性质 1.正交组的定义 定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V 的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量, 这个正交组就叫做一个标准正交组. 例1 向量 构成 一个标准正交组，因为

例2 考虑定义在闭区间 上一切连续函数 所作成的欧氏空间 （参看8.1例3），函数组 (1) 1，cosx, sinx, … ,cosnx ,sinnx,… 构成 的一个正交组。 事实上，我们有：

把(1)中每一向量除以它长度，我们就得C[0,2π]的一个标准正交组:

2．正交组的性质 定理8.2.1 设 是欧氏空间的一个 线性无关. 正交组，那么 证： 设有 使得 ，所以 因为当i≠j 时， 但 ，所以 即 线性无关.

二、标准正交基的定义、性质及存在性 1．标准正交基的定义 设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有n 个向量 构成一个正交组，那么由定理8.2.1，这 个n 个向量构成V 的一个基，叫做V 的一个正交基。 如果V 的一个正交基还是一个规范正交组，那 么就称这个基是一个规范正交基。

例2 欧氏空间 的基是 i =1,2,…,n, 的一个规范正交基. 如果 规范正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可 是 是n 维欧氏空间V的一个 以唯一写成 是ξ关于 的坐标。

由于 是规范正交基，我们有 （3） 这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的第i个坐标 等于ξ与第i个基向量的内积； 其次，令 那么 （4） 由此得 （5） （6）

再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交 2．标准正交基的性质 设 是 的一个基，但不一定是 正交基 问题就解决了,因为将 再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交 借助几何直观，为了求出 正交基。从这个基出发，只要能得出 的一个 基。先取 我们考虑线性组合 从这里决定实数a， 使 正交，由

及 得 取 那么 又因为 线性无关，所以对于任意实数 a 因而 这就得到 的一个正交基

3．标准正交基的存在性 定理8.2.2（正交化方法) 设 是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求 使得 可以由 线性表示，k = 1,2,…,m. 出V 的一个正交组 证 取 那么 是 的线性组合，且 其次取

那么 是 的线性组合，并且因为 线性无关，所以 又由 所以 正交。 假设1＜k≤m，而满足定理要求的 都已作出，取

由于假定了 i=1,2,…,k-1，所以把这些线性组合代入上式，得 的线性组合， 所以 是 的线性组合。 线性无关， 由于 得 又因为假定了 两两正交，所以

这样， 也满足定理的要求。 定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交基，因而有标准正交基.

例4 在欧氏空间 中对基 施行正交化方法得出 的一个标准正交基. 解: 第一步，取 第二步，先取

然后令 第三步，取

再令 于是 就是 的一个规范正交基。 练习1 设 试把 的基扩充成 的一个基,并将它规 范正交化.

三、子空间的正交补 1.向量与一个非空子集正交 定理8.2.4 令W是欧氏空间V的一个有限维子空间，那么 因而V的每一个向量ξ可以唯一写成 这里 (7) 证明 当W ={0}时，定理显然成立，这时 设 由于W的维数有限，因而可以取到W 一个规范正交基：

设 令 那么 而 由于 是W的基，所以ζ与W正交， 这就证明了 即 下证这个和是直和。 那么 从而 定理被证明。 因为如果

定理8.2.5 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间，ξ是V 的任意向量，η是ξ在W 上的正射影，那么对于W 中任意向量， 都有 证明 对于任意 有 所以

于是 如果 那么 所以 即 我们也把向量ξ在子空间W上的正射影η叫做W到ξ的最佳逼近。

例5 考虑 上一切连续实函数所作成的欧 所生成的子空间.由例2 看到, 氏空间 令W是由以下2n + 1个函数 1, cosx, sinx,…, cosnx, sinnx 是W的一个规范正交基.

W的每一元素都可以写成 (8) 的形式. 叫做一个n次三角多项式. 设 我们求一个n次三角多项式 使得 的值最小. 用欧氏空间的语言来说就是： 求

这正是上面所说的W 对于f (x)的最佳逼近问题. 最小. 因此, 所求的 应该是f(x)在W上的正射影. 由定理8.2.4,我们有 与等式(8)作比较,我们得到

从而 k = 1,2,…,n.

注意到cos0x = 1,我们有 系数 ，叫做f (x)的富利叶系数.

四、正交矩阵 定义2 一个n 阶实矩阵U 叫做一个正交矩阵，如果 定理8.2.6 n 维欧氏空间一个标准正交基到另 一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵. 例 设 是欧氏空间V的规范正交 基，且 证明：当T是正交矩阵时, 是规范正 交基.

五、n 维欧氏空间同构的概念及判别 1．n 维欧氏空间同构的定义 定义3 欧氏空间V与 说是同构的，如果 (i) 作为实数域上向量空间，存在V 到 的一个 同构映射 (ii) 对于任意 ，都有

2．n 维欧氏空间同构的判别 定理8.2.7 两个有限维欧氏空间同构的充分且 必要条件是它们的维数相等. 推论8.2.1 任意n维欧氏空间都与 同构. 思考题 求 的解空间W的一个标准正交基.

8.3 正交变换 一、内容分布 二、教学目的 三、重点难点： 正交变换的概念及几个等价条件 8.3.1 正交变换的定义 8.3.2 正交变换的等价条件 8.3.3 的正交变换的类型． 二、教学目的 1．掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件． 2．掌握 的正交变换的全部类型． 3．掌握并会用正交矩阵的某些性质． 三、重点难点： 正交变换的概念及几个等价条件

一、正交变换的定义 定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 都有 例1 在 里,把每一向量旋转一个角的线性变 的一个正交变换. 换是 例2 令H是空间 里过原点的一个平面.对于每 一向量 ，令对于H的镜面反射 与它对应. 是 的一个正交变换.

例3 欧氏空间V的一个线性变换是正交变换的充要条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切 ，都有

二、正交变换的等价条件 定理8.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换σ是正交变换的充分且必要条件是：对于V 中任意向量 有 证明 条件的充分性是明显的. 因为(1)中 取ξ=η，就得到 ，从而 . 反过来，设σ是一个正交变换，那么对于ξ,η∈ V，我们有

然而 由于 比较上面两个等式就得到：

定理8.3.2 设V 是一个n 维欧氏空间，σ是V 的一个线性变换，如果σ是正交变换，那么σ把V 的任意一个标准正交基仍旧变成V 的一个标准正交基；反过来，如果σ把V 的某一标准正交基仍旧变成V的一个标准正交基，那么σ是V 的一个正交变换. 定理8.3.3 n 维欧氏空间V的一个正交变换σ关于V 的任意标准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过来，如果V的一个线性变换关于某一标准正交基的矩阵是正交矩阵，那么σ是一个正交变换.

例5 在欧氏空间 中,规定线性变换σ为: 证明: σ是正交变换. 例6 将 的每一向量旋转一个角ψ的正交变换(参看例1)关于 的任意标准正交基的矩阵是

又令σ是例2中的正交变换. 在平面H 内取两个正交的单位向量 ，再取一个垂直于H 的单位向量 ,那么 是 的一个标准正交基 以上两个矩阵都是正交矩阵.

三、 的正交变换的类型 设σ是 的一个正交变换，σ关于 的一个规范正交基 的矩阵是 那么U 是一个正交矩阵. 于是 （2） 设σ是 的一个正交变换，σ关于 的一个规范正交基 的矩阵是 那么U 是一个正交矩阵. 于是 （2） 由第一个等式，存在一个角α，使 a = cosα，c = ±sinα

由于cosα=cos(±α)，±sinα=sin(±α) 因此可以令 a=cosφ，c=sinφ 这里φ=α或–α . 同理，由（4）的第二个等式，存在一个角ψ使 b=cosψ，d =sinψ 将a, b, c, d 代入(4)的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0

最后等式表明，φ－ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得 所以 或

在前一情形中，σ是将 的每一向量旋转角φ的旋转； 坐标的向量. 这时σ是直线的 反射. 在后一情形，σ将 中以（x, y）为坐标的变量变成以(xcosφ+ysinφ, xsinφ–ycosφ) 为 这样， 的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射. 如果是后一情形，我们可以取这条直线上一个单位向量 和垂直于这条直线的一个单位向量 作为 的一个规范正交基.

而σ关于基 的矩阵有形状 　　现在设σ是 的一个正交变换. σ的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r . 令 是σ的属于本征值r 的一个本征向量，并且 是一个单位向量. 再添加单位向量 使 是的一个规范正交基，那么σ关于这个基的矩阵有形状

由于U 是正交矩阵，我们有 于是 由U的正交性推出，矩阵 是一个二阶正交矩阵.

由上面的讨论，存在一个解φ使 在前一情形： 在后一情形，根据对 的正交变换的讨论，我们可以取 的一个规范正交基 使σ关于这个基的矩阵是

如果在T中左上角的元素是1，那么重新排列基向量，σ关于 的矩阵是 如果左上角的元素是 – 1 ，那么σ关于基 的矩阵是

这样， 的任意正交变换σ关于某一正交基 的矩阵是下列的三种类型之一： 　　在第一种情形,σ是绕通过 的直线 的一个旋转；在第二种情形,σ是对于平面 的反射；第三种情形,σ是前两种变换的合成.

8.4 对称变换和对称矩阵 一、内容分布 8.4.1 对称变换的定义 8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系 8.4.3 对称变换的性质 二、教学目的： 1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题． 2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质． 3．对一个实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使 为对角形 三、重点难点： 1.对称变换和对称矩阵之间的关系;对称变换的特征根、特征向量的性质; 2.对实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使 为对角形

一、对称变换的定义 定义1 设σ是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的任意向量 ，等式 成立，那么就称σ是一个对称变换. 例1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换?

二、对称变换和对称矩阵之间的关系 定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换，如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那么σ是一个对称变换. 证 设σ关于V的一个规范正交基 的矩阵 是对称的，令 是V的任意向量。那么

同样的计算可得 因为 所以 即σ是一个对称变换。

三、对称变换的性质 定理8.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数. 定理8.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数. 证 设 是一个n 阶实对称矩阵.令λ是A 在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数 使得 （2）

令 的共轭复数。 用矩阵 左乘（2）的两边得 即 （3） 等式（3）两端取轭复数，注意 是实数。得 （4）

又因为 且等式（3）与等式（4）左端相等，因此 而 不全为零，所以 是一个正实数，所以 ，λ是实数。

定理8.4.4 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交. σ(α)=λα，σ(β)= μβ 我们有 λ<α, β> = < λα, β> = < σ(α), β> = < α, σ(β)> = <α, μβ> = μ<α, β> 因为λ ≠ μ, 所以必须<α, β> = 0.

定理8.4.5 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个标准正交基，使得σ关于这个基的矩阵是对角形式. 定理8.4.6 设A是一个n阶实对称矩阵，那么存在一个n阶正交矩阵U，使得 是对角形.

为了求出U,我们可以用以下方法. 首先由于U 是正交矩阵,所以因此 与A 相似. 于是可以利用7 为了求出U,我们可以用以下方法.首先由于U 是正交矩阵,所以因此 与A 相似.于是可以利用7.6所给的步骤求出一个可逆矩阵T,使得 是对角形式, 1 这样求出的矩阵T一般来说还不是正交矩阵,然而注意到T 的列向量都是A的特征向量,A的属于不同特征根的特征向量彼此正交,因此只要再对T 中属于A 的同一特征根的列向量施行正交化手续,就得到 的一个规范正交组, 以这样的规范正交组作列,就得到一个满足要求的正交矩阵U.

例2 设 找出求一个正交矩阵U 使 是对角形矩阵。 第一步，先求A的全部特征根. 我们有 所以A的特征根是2，2，8.

第二步，先对于特征根2，求出齐次线性方程组 的一个基础解系 再 把正交化，得

求出属于它的一个单位特征向量 对于特征根8, 第三步，以 为列，作一个矩阵

那么U是正交矩阵，并且