计算机数学基础 主讲老师: 邓辉文
高等数学 岑春 陈晓兵编写 人民交通出版社, 2007年第一版.
I. 函数与极限 II. 导数与微分 III. 积分 IV. 常微分方程 V. 多元函数微积分 VI. 级数 VII. 概率与数理统计初步 (不学习“线性代数初步”内容)
第一部分 函数与极限 高等数学的研究对象: 函数 函数在日常生活中无处不在、无处不有.
学习任务一 函数 f: D M，即对于任意x D, 有唯一y = f(x).
函数的解析表达式y = f(x). 例(函数值的计算) 设 , 求f(0), , f(-2)， f(a)， f(x + 1)， ，f(x0)，f(x0 + h).
Solution
函数的定义域: (可自己规定)自变量的取值范围. 例(函数的定义域) 设 , 求f(x)的定义域. Solution 要使得f(x)有意义，必须: 于是x > 0且x – 2 > 0或x < 0且x – 2 < 0，进而x > 2或x < 0. 因此，f(x)的定义域：(-, 0) (2, +).
学习任务二 函数的几种特性 (1) 有界性 设f(x)的定义域是D，若存在两个常数m和M，使得对于任意x D，均有m f(x) M， 则称f(x)在D上是有界函数. 例如，大家知道，y = sinx在(-, +)上是有界的，因为 -1 sin x 1.
函数y = arctanx在(-, +)上也是有界的，因为
函数 在(2, +)上是有界的， 因为 . 但是 在(0, +)上是无界的.
(2) 单调性 设f(x)的定义域是D，对于任意x1，x2 D，若x1< x2， 有f(x1) f(x2)，则称f(x)在D上是单调增函数.
设f(x)的定义域是D，对于任意x1，x2 D，若x1< x2， 有f(x1) f(x2)，则称f(x)在D上是单调减函数.
函数的单调性与所考虑的区间相关.
(3) 奇偶性 设f(x)的定义域D关于原点是对称的，若对于任意x D，均有f(-x) = - f(x)， 则称f(x)在D上是奇函数. 设f(x)的定义域D关于原点是对称的，若对于任意x D，均有f(-x) = f(x)， 则称f(x)在D上是偶函数. 偶函数的图形关于y轴是对称的. y = sinx在(-, +)上是奇函数，因为 sin (-x ) = - sinx; y = cosx在(-, +)上是偶函数，因为 cos (-x ) = cosx.
(4) 周期性 设f(x)的定义域是(-, +), 若存在不为0的常数T, 使得对于任意x D, 均有f(x + T) = f(x), 则称f(x)是周期函数. 通常, 将最小的正数T称为f(x)的周期. 例如,y = sinx是周期函数,这是因为sin(x + 2) = sinx. 同理, y = cosx是周期为2的周期函数, y = tanx和y = cotx是周期为的周期函数.