余弦函数的图象与性质 各位老师好！ X

正弦函数的图象 描点法 几何法 五点法（关键点） 思考： 余弦函数怎么画呢？

余弦函数的图像 描点法 几何法 五点法 思考：还有其他的方法吗？ -2 - o  2 3 x -1 1 y 提示：由已知到未知？

作余弦函数 y=cosx (x∈R) 的图象 思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？ 注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移 个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。

正弦、余弦函数的图象 y o x 正弦曲线 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR y 余弦函数的图象 余弦曲线 o x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  正弦曲线 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR 形状完全一样只是位置不同 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  余弦函数的图象 余弦曲线 (0,1) ( 2 ,1) ( ,0) ( ,0) (  ,-1)

正弦函数的性质 我们已经学习了正弦函数的性质，能不能类比学习余弦函数的性质呢？ 具体有哪些不同呢？ 定义域 值域 周期性 单调性 奇偶性 对称性 具体有哪些不同呢？

余弦函数的性质 我们从下面几个方面考虑： 定义域和值域 周期性 单调性 奇偶性 对称性

1.正弦曲线的定义域和值域 y 1 x o -1 余弦曲线 y 1 x o -1 -2 -  2 3 4 -2 -  2

函数 定义域 值域 R R

y=sinx (x R) 观察下面图象： 当x= 时，函数值y取得最大值1； y x 1 -1 当x= 时，函数值y取得最小值-1

y=cosx (x R) 观察下面图象： 当x= 时，函数值y取得最大值1； y x 1 -1 当x= 时，函数值y取得最小值-1

因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 正弦曲线的周期 - 1 -1 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 　　　　　　　 …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同

因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……， 余弦曲线的周期 - 1 -1 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……， 　　　　　　　 …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同

由此可知， 都是这两个函数的周期。 是它的周期， 最小正周期为

正弦、余弦函数的相同性质 定义域 值 域 周期性 o x y=sinx (xR) xR y[ - 1, 1 ] T = 2 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y=sinx (xR) 定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2 y=cosx (xR) x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y

3.正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数的奇偶性 o x y=sinx (xR) 是奇函数 sin(-x)= - sinx (xR) 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  sin(-x)= - sinx (xR) y=sinx (xR) 是奇函数 图像关于原点对称

3. 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦、余弦函数的奇偶性 一般的，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。 关于y轴对称 cos(-x)= cosx (xR) y=cosx (xR) 是偶函数 x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y

3.正弦、余弦函数的奇偶性 正弦、余弦函数的奇偶性 x o sin(-x)= - sinx (xR) y=sinx (xR) 是奇函数 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  sin(-x)= - sinx (xR) y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称 cos(-x)= cosx (xR) y=cosx (xR) 是偶函数 x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y

？？？ 4.正弦、余弦函数的单调性 x sinx 正弦函数的单调性 x o … 0 … …  … -1 1 -1 y=sinx (xR) - -1 2 3 4 -2 -3 1  x sinx … 0 … …  … -1 1 -1 ？？？ y=sinx (xR) 增区间为 [ ， ] 其值从-1增至1 [ +2k, +2k],kZ 减区间为 [ ， ] 其值从 1减至-1 [ +2k, +2k],kZ

4.正弦、余弦函数的单调性 x cosx 余弦函数的单调性 x o - … … 0 … …  -1 -1 1 y=cosx (xR) 2 3 4 -2 -3 1  - … … 0 … …  x cosx -1 1 -1 y=cosx (xR) 增区间为 其值从-1到1 减区间为 其值从-1到1

对称性 观察下面图象： y=sinx (x R) y x 1 -1

y=cosx (x R) 观察下面图象： y x 1 -1

x∈ R x∈ R [-1,1] [-1,1] y= sinx (k∈z) y= cosx (k∈z) π 周期为T=2π 奇函数 偶函数 函 数 性 质 y= sinx (k∈z) y= cosx (k∈z) 定义域 值域 最值及相应的 x的集合 周期性 奇偶性 单调性 对称中心 对称轴 x∈ R x∈ R [-1,1] [-1,1] x= 2kπ+　　时　ymax=1 x=2kπ- 　　时 ymin=-1 π 2 x= 2kπ时　ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 周期为T=2π 奇函数 偶函数 在x∈[2kπ- , 2kπ+ ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ+　 ，2kπ+ ]上都是减函数. π 2 3π 在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是增函数 。 在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是减函数 , (kπ+ ,0) π 2 (kπ,0) x = kπ+ π 2 x = kπ

例子 x 例 画出函数y= cosx-1，x[0, 2]的简图，并讨论性质： cosx 0  2  cosx-1 1 -1 1 0  2  x cosx cosx-1 1 -1 1 0 -1 -2 -1 0 y x o 1 -1 y=cosx，x[0, 2] 还有其他方法吗 y= cosx-1，x[0, 2]

有什么性质呢？ 函 数 y=cosx-1 定义域 R 值 域 [-1,1] 奇偶性 偶函数 周期性 单调性 最 值 当 时，函数是增加的；当 时，函数是减少的 最 值 当 时，最大值为0； 当 时，最大值为-2

余弦函数的图象 五点法 小 结 1.余弦曲线 正弦函数得出（借助诱导公式） 2.注意与正弦函数的性质对比来理解余弦函数的性质

谢谢！ 作业：课本P33 2、4

用五点法作y=sinx , x∈[0， ]的简图 x 0 1 0 -1 0 Y . 1 . . . O X . -1

五点法作y=cosx, x∈[0， ]的简图 x 1 0 -1 0 1 . Y . 1 . . O X . -1

图象中关键点 图象的最高点 与x轴的交点 图象的最低点 简图作法 (五点作图法) (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点) 与x轴的交点 图象的最低点

2.用几何法如何作出 的函数图象？ (1) 等分 (2) 作正弦线 作法: (4) 连线 (3) 平移 1 -1 -1 - - - - - (1) 等分 (2) 作正弦线 作法: (4) 连线 (3) 平移