第二讲 数据统计与分析 秦 猛 南京大学物理系 参考教材：《概率论与数理统计》 高新祖 陈华钧 编著 南京大学出版社 1

1.4 等可能概型(古典概型) 一、等可能概型 二、典型例题 三、几何概率 四、小结

一、等可能概型(古典概型) 1. 定义

2. 古典概型中事件概率的计算公式 设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 称此为概率的古典定义.

3. 古典概型的基本模型:摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 3. 古典概型的基本模型:摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为

(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 第3次摸到红球 4种 6种 第2次摸到黑球 第1次摸到黑球 6种 第2次摸球 10种 第3次摸球 10种 第1次摸球 10种

1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率. 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率. 2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率. 70

4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型 (1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球. 4个球放到3个杯子的所有放法

因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为

(2) 每个杯子只能放一个球 问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为

课堂练习 1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率. 2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.

二、典型例题 解

解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有 于是所求的概率为

三、几何概率 定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为 说明 当古典概率的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型.

会面问题 例7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 那么 两人会面的充要条件为

若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 故所求的概率为

例8 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某 站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定 (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆 车. 求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲、乙两人到达车站的时 刻是互相不牵连的，且每人在 1 时到 2 时的任何时刻到达车 站是等可能的. 80

解 设 x, y 分别为 甲、乙两人到达的时刻, 则有 见车就乘 的概率为

最多等一辆车,甲、乙 同乘一车的概率为

蒲丰投针试验 例9 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直 蒲丰资料 例9　1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( b<a )的针,试求 针与某一平行直线相交的概率. 解

　　由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.

蒲丰投针试验的应用及意义

历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1) 3.1795 859 2520 0.5419 1925 Reina 3.1415929 1808 3408 0.83 1901 Lazzerini 3.1595 489 1030 0.75 1884 Fox 3.137 382 600 1.0 1860 De Morgan 3.1554 1218 3204 0.6 1855 Smith 3.1596 2532 5000 0.8 1850 Wolf 相交次数 投掷次数 针长 时间 试验者

利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟. 单击图形播放/暂停 ESC键退出

四、小结 试验结果 连续无穷 最简单的随机现象 古典概型 几何概型 古典概率

第五节　条件概率 一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结

一、条件概率 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 1. 引例 分析 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为

2. 定义 同理可得 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.

3. 性质

二、 乘法定理

例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样 例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(B|A). 解

由条件概率的公式得

例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有

抓阄是否与次序有关? 例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同? 解 则有

依此类推 故抓阄与次序无关.

摸球试验 例4 解

此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.

例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率. 解 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.

三、全概率公式与贝叶斯公式 1. 样本空间的划分

2. 全概率公式 全概率公式

证明 化整为零 各个击破 图示

说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.

例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解 设事件 A 为“任取一件为次品”,

1% 30% 2% 50% 1% 20% 由全概率公式得

3. 贝叶斯公式 贝叶斯资料 称此为贝叶斯公式.

证明

例7

解

(1) 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得

例8 解

由贝叶斯公式得所求概率为

先验概率与后验概率 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率.

例9 解

由贝叶斯公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.

四、小结 1.条件概率 乘法定理 全概率公式 贝叶斯公式

第六节 独立性 一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、小结

一、事件的相互独立性 1.引例 则有

2.定义 说明 事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.

请同学们思考 两事件相互独立与两事件互斥的关系. 两事件相互独立 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 例如 由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.

由此可见两事件互斥但不独立.

3.三事件两两相互独立的概念

4.三事件相互独立的概念 注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立

推广 n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立

二、几个重要定理 证明

证明

又因为 A、B 相互独立, 所以有

两个结论

三、例题讲解 射击问题 例1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少? 解 例1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少? 射击问题 解 事件 B 为“击落飞机”,

例2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率. 解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,

因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为

伯恩斯坦反例 例3 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立? 解 由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面， 因此 又由题意知

故有 则三事件 A, B, C 两两独立. 由于 因此 A，B，C 不相互独立.

例4 同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点 数分别为7与11的概率. 解 事件 A 为两次所得点数分别为 7 与 11. 则有

例5 解

例6 要验收一批(100件)乐器.验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少? 解

已知一件音色 纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为 0.99 , 而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的 概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的, 于是有

解 “甲甲”, “乙甲甲”, “甲乙甲”;

“甲乙甲甲”, “乙甲甲甲”, “甲甲乙甲”;

四、小结

课后作业 习题一： 第17、27、33、35题