§19.2 .2 菱形的定义、性质 菱形 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
情景创设 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形? (矩形,由角变化得到) 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢?
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形． ABCD 四边形ABCD是菱形 AB=BC 在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？ 邻边相等 平行四边形 菱形 如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形． ABCD 四边形ABCD是菱形 AB=BC
菱形的性质 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
让我们一同走进生活中的菱形 感受 生活 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
探究菱形的性质 B D A C 菱形是轴对称图形 菱形是中心对称图形 (2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由. (1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系? 菱形是中心对称图形 B D A C 菱形是轴对称图形 (2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由. 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 提示:从边、角、对角线、面积等方面来探讨
菱形的性质： B D A C 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质. 由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等， 故： 菱形的性质1： 菱形的四条边都相等。 又： 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角； 又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD 同理： AC平分∠BCD； 已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图， 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC 证明：∵四边形ABCD是菱形 A B C D O ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中， 又∵BO=DO 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
= 菱形的性质 边 ∥ 角 菱形的两组对边平行且相等 菱形的四条边相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AD BC,AB CD O 菱形的性质 菱形的两组对边平行且相等 边 数学语言 菱形的四条边相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∥ = ∴ AD BC,AB CD 角 菱形的两组对角分别相等 AB=BC=CD=DA ∠DAB=∠DCB ∠ADC=∠ABC 菱形的 两条对角线互相平分 对角线 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com OA=OC;OB=OD 菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。 ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA ∠ADB=∠CDB ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 中心对称图形、轴对称图形 对称性
【菱形的面积公式】 菱形 S菱形=BC●AE S菱形 O E 思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗? 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? 菱形 A B C D O E S菱形=BC●AE 思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗? 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com S菱形 ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD S菱形=底×高=对角线乘积的一半
大显身手 例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积 A B C D 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com O
例1变形 ⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积． 菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1：2． A O B D C 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
补充例题：已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； O 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O （1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相 等的？ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com （2）有哪些特殊的三角形？
已知四边形ABCD是菱形 AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD 相等的角： 等腰三角形： 直角三角形： 相等的线段： 7 2 1 8 相等的线段： AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD O 5 4 6 3 B C 相等的角： ∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 等腰三角形： △ABC △ DBC △ACD △ABD 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA 直角三角形： 全等三角形： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？ 课堂反思 1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
四边形 平行四边形 矩形 菱形 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 矩形 菱形 定义 有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 性 质 1、具有平行四边形的一切性质 2、四个角都是直角 3、矩形的对角线相等 2、菱形的四条边都相等 3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
学以致用 1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______. 3cm 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______. 60度 3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ） C A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ） B A.75°B.60°C.45°D.30°
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 3 ∴AC⊥BD ∴ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com ∴OB=3 有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 ∴ BD=2OB=6 cm
6 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD； 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
7、已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm，求菱形的高。 8、如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE， 求证：EB=OA； A B C D O E 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
例2：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证：OE＝OF。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
F C D E B A 如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。 证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。 F C D 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com E B A
（3）菱形对角线的平方和等于一边平方的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍 5 4 变式题 （1）菱形两条对角线长为6和8，菱形 的边长为 ，面积为 。 （2）菱形ABCD的面积为96，对角线 AC长为16 ，此菱形的边长为 。 （3）菱形对角线的平方和等于一边平方的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍 5 4 10 C 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com