第六章 数理统计的基本知识 第一节 总体与样本 第六章 数理统计的基本知识 数理统计是以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象．通过统计分析，对研究对象的客观规律性作出合理的估计和推断． 第一节 总体与样本 在一个统计问题中，我们把所研究对象的全体称为一个总体．总体中的每个元素(即每一个研究对象)称为个体． 若总体中包含有限个个体，则称这个总体为有限总体，否则称为无限总体，总体中所包含的个体总数称为总体容量． 在统计问题中，人们所关心的往往不是总体的一切方面，而是它的某一项数量指标X．因此，我们把这个数量指标X所有可能取值的全体就作为总体看待，称为总体X，X是一个随机变量．我们要根据试验或观察得到的数据来得到X的概率分布和数字特征，分别称为总体的分布和数字特征．

大家知道，随机现象的统计规律性必然在大量的重复试验中呈现出来, 为了推断总体X 的性质，从理论上讲，应该对每个个体逐一进行测试，然而实际上这样做往往是不现实的，例如，要研究灯泡寿命，由于寿命测试是破坏性的，当测试过每只灯炮的寿命后，这批灯泡就报废了． 一般来说，恰当的方法是按一定的规则从总体中抽取若干个个体进行测试，为了使测试到的数据能很好地反映总体的情况，当然应该要求总体中每一个个体被抽到的可能性是均等的．并且在抽取一个个体后总体的成分不改变．这种抽取个体的方法称为简单随机抽样．被抽出的部分个体，叫做总体的一个样本． 假设我们从总体 X 中抽取 n 个个体进行测试(简单抽样)，把测试结果分别记作X1，X2，…, Xn．由于抽样的随机性，Xi 可以取 X 所有可能的值，是与 X 具有相同分布的随机变量，且 X1，X2，…，Xn 相互独立．这样的 n 个个体称为总体 X 的一个简单随机样本．

定义 设 X 是具有某一概率分布的随机变量(看作一个总体)．如果随机变量X1，X2，…, Xn 相互独立，且都与 X 具有相同的概率分布, 则称 n 维随机变量 (X1，X2，…，Xn) 为来自总体 X 的简单随机样本，简称样本，n 称为样本容量． 在对总体X进行一次具体的抽样并作观测之后，得到样本(X1，X2，…，Xn)的确切的数值(x1，x2，…，xn)，称为一个样本观测值(观察值)，简称样本值． 样本(X1，X2，…，Xn)所有可能取值的全体称为样本空间，它是n维空间或其中的一个子集．样本观察值(x1，x2，…，xn)是样本空间中的一个点． 如果总体 X 的分布函数为F(x)，则 X 的样本 X1，X2，…，Xn 的联合分布函数为 . 如果总体 X 为连续型且概率密度为 f(x)，则样本(X1，X2，…，Xn)的联合概率密度为 ．

第二节 统计量及其分布 二、样本矩 一、统计量 第二节 统计量及其分布 一、统计量 样本是总体的代表，是统计推断的依据．在应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的函数，来进行统计推断． 定义1 设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样本，t = g(t1, t2,…, tn) 为t1, t2, …, tn的一个单值实函数，并且其中不包含任何未知参数，则称 T = g(X1, X2, …, Xn)为一个统计量． 设 x1, x2,…, xn 是相应于样本 X1, X2, …,Xn 的样本值，则称 g(x1，x2，…, xn)是统计量T = g(X1,X2,…,Xn)的观察值． 二、样本矩 下面给出几个常用的统计量．设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样本，(x1，x2，…，xn)是样本观察值，定义: 样本均值 ．

样本分差 . 样本标准差（均方差） ． 样本k阶(原点)矩 （k=1，2，… ) . 样本k阶中心矩 （k=1，2，… ) . 显然 ， ． 它们的观察值分别为 ,

, . 三、顺序统计量 定义2 (X1，X2，…，Xn)是总体X的一个样本，(x1，x2，…，xn)是一个样本观察值，将它由小到大的顺序排列，得到x(1)≤x(2)≤…≤x(n) ，取x(i)作为X(i)的观测值，由此得到的统计量X(1)，X(2)，…，X(n)称为样本(X1，X2，…，Xn)的一组顺序统计量，X(i)称为第i个顺序统计量或第i项．统计量 Rn = x(n)－x(1) 分别称为样本中位数和样本极差． 样本均值、顺序统计量的首项及末项、样本中位数描述了样本在数轴上的大致位置；样本方差与样本极差描述了样本的分散程度．

第三节 样本分布函数与频率直方图 一、样本分布函数 第三节 样本分布函数与频率直方图 一、样本分布函数 样本能够反映总体X的信息，总体X的分布函数F(x)是否能由样本来“表示”？回答是肯定的，我们用下面介绍的样本函数来近似表示总体X的分布函数． 定义 设x(1)，x(2)，…，x(n)是总体X的顺序统计量的一组观察值，对于任意的实数x，定义函数 称Fn(x)为总体X的样本分布函数(或经验分布函数)．

样本分布函数Fn(x)不仅与样本容量 n 有关, 还与所得到的样本观察值有关，故它是随机变量．Fn(x)的图形(图6-1)呈跳跃上升的台阶状, 在x(1)，x(2)，…，x(n)中的不重复的值处，跳跃高度为 ；在重复 l 次的值处，跳跃高度为 ．图6-1中的曲线是总体 X 的理论分布函数 F(x) 的图形． 图6-1

样本分布函数Fn(x)具有以下性质： 1°0≤Fn(x)≤1； 2°Fn(x)是单调不减函数； 3°Fn(x)是处处右连续的． 对于样本观察值 (x1，x2，…，xn)，为了求其对应的样本分布函数 Fn(x) 之值，只须将这 n 个值中小于或等 x 的个数除以样本容量 n 即可．对于给定的x，Fn(x)是 n 次重复独立试验中事件 {X≤x} 出现的频率，而理论分布函数F(x)是事件{X≤x}发生的概率，由伯努利定理知，对任意给定的正数ε，有 ， 即Fn(x)按概率收敛于F(x)．进一步还有如下结论． 定理 （格利文科(W. Glivenko)定理） 设总体X的分布函数为F(x), 样本分布函数Fn(x)，则对于任何实数x，有 ． 证明从略． 以上结论是我们用样本去推断总体的依据．

a=t0<t1<t2<…<tk－1<tk=b． 二、频率直方图 如果说样本分布函数是通过随机样本对总体分布函数的反映，那么下面介绍的频率直方图就是样本对总体概率密度函数的反映(假设总体是连续随机变量)． 依据总体 X 的一个样本观察值(x1，x2，…，xn)画直方图的一般步骤如下： 1°找出x1，x2，…，xn中的最小值x(1)与最大值x(n)． 2°选择常数a、b(a≤x(1)，b≥x(n))，在区间[a，b]内插入k－1个分点； a=t0<t1<t2<…<tk－1<tk=b． 用来对样本观察值进行分组．为了方便，可将区间[a,b]分成 k 等分，此时组距是 i=1，2，…，k． 组数 k 要选择适当．一般地说，当20≤n≤100时，取 k 为 5~10；当 n>100时，取 k 为10~15．通常取 ti 比样本观察值精度高一位．

fi≈P{ti-1<X≤ti}=pi，i=1，2，…，k， 3°对于每个小区间(ti-1,ti]，数出x1，x2，…，xn落入其中的个数 ni (称为频数)，再算出频率 ，i=1, 2, …, k． 4°在 xOy 平面上, 对每个 i, 画出以(ti-1,ti] 为底，以 yi=fi /Δt (i=1，2，…，k) 为高的矩形．这种图称为频率直方图，简称直方图． 直方图中第 i 个小矩形面积 yiΔt=fi (i=1，2，…，k)，k 个小矩形的面积之和为1． 由于样本观察值的 n 个数值 x1，x2，…，xn是从总体X 中独立抽取的，它们落入区间 (ti-1,ti] 的频率 fi 近似等于随机变量 X 在该区间内取值的概率，即 fi≈P{ti-1<X≤ti}=pi，i=1，2，…，k， 当 X 是连续随机变量，且概率密度为 f (x) 时，则有 ，i=1，2，…，k． 由此可见直方图在一定程度上反映了X 的概率密度情况．

试根据这些数据作出直方图，并根据直方图估计含硅量 X 的分布． 0.86 0.83 0.77 0.81 0.80 0.79 0.82 0.87 0.78 0.71 0.95 0.76 0.84 0.90 0.75 0.73 0.89 0.74 0.85 0.88 0.65 0.64 试根据这些数据作出直方图，并根据直方图估计含硅量 X 的分布．

解 1°从n=120个数据中找出最小值 x(1)= 0.64及最大值 x(120)= 0.95． 2°取 a = 0.635, b = 0.955, 分 k = 16 组，组距 ． 3°分组及频数如表 6-1所示．表中的组中值 (i=1,2,…,16)将会在第八章第五节用到． 4°以横轴 x 轴表示含硅量，a= t0= 0.635，t1= 0.655，…，t15= 0.935， b= t16 = 0.955，Δt = 0.02，取纵坐标的单位长为 ，则直方图中第 i 个矩形的高度 , 正好是 ni (i=1,2,…,16)个单位．

分组(ti-1,ti)] 频 数 组中值 0.635~0.655 2 0.645 0.655~0.675 0 0.665 0.675~0.695 0 0.685 0.695~0.715 2 0.705 0.715~0.735 2 0.725 0.735~0.755 8 0.745 0.755~0.775 13 0.765 0.775~0.795 23 0.785 0.795~0.815 24 0.805 0.815~0.835 21 0.825 0.835~0.855 14 0.845 0.855~0.875 6 0.865 0.875~0.895 2 0.885 0.895~0.915 2 0.905 0.915~0.935 0 0.925 0.935~0.955 1 0.945

有了直方图，就可以大致画出 X 的概率密度曲线．从图上看，曲线很象正态分布的概率密度曲线． 14 6 1 有了直方图，就可以大致画出 X 的概率密度曲线．从图上看，曲线很象正态分布的概率密度曲线．

第四节 几个常用统计量的分布 统计量是样本的函数，它是一个随机变量, 下面介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布． 一、 分布 第四节 几个常用统计量的分布 统计量是样本的函数，它是一个随机变量, 下面介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布． 一、 分布 1．定义 设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(0，1)的样本，则称统计量 为服从自由度为 n 的 分布，记作 ~ (n)． f(x) n=1 n=5 n=15 x 2． (n)分布的概率密度（不证）： 其中 为 函数 在 处的函数值．

3．(n)分布的性质： 性质1：设 ~ (n)，则E( )=n，D( )=2n． 证：因Xi~N(0,1)，E(Xi2)=1 ，D(Xi)=1． ． 性质2：设 X~ (n1)，Y~ (n2)，且X与Y相互独立, 则 X+Y~ (n1+n2)． 性质3：设 为X的样本，则 ． 证： ，由定义 性质4：设 ~ (n)，则对任意实数x，有

4． (n)分布的上 分位点： 设 ~ (n)，对于给定的正数 ， 称满足条件 的点 为 (n) 分布的上 分位点． 例如 取 ，则查附表4（395)有 ． 4． (n)分布的上 分位点： 设 ~ (n)，对于给定的正数 ， 称满足条件 的点 为 (n) 分布的上 分位点． f(x) x

二、t 分布（学生分布） 1．定义 设X~N (0,1)，Y~ (n)，且 X 与Y 独立，则称随机变量 服从自由度为 n 的 t 分布，记作 t ~ t (n)． 2．t (n)分布的概率密度(不证)： 3．性质：t (n) 分布的概率密度关于 y 轴对称，且

设 t ~ t (n)，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为 t (n) 分布的上 分位点，且有 f(x) x n=10 n=4 n=1 4．t (n) 分布的上 分位点： 设 t ~ t (n)，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为 t (n) 分布的上 分位点，且有 ．

三、F分布 1．定义：设X~ (m)，Y~ (n)，且 X 与 Y 独立，则称随机变量 为服从自由度是 m、n 的 F分布，记作 F~F (m, n)， 其中 m 称为第一自由度，n 称为第二自由度． 2．F(m,n)分布的概率密度为

设 F~F(m, n)，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为F(m, n)分布的上 分位点，且有 x f(x) 4．F (m, n) 分布的上 分位点： 设 F~F(m, n)，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为F(m, n)分布的上 分位点，且有 ．

第五节 正态总体统计量的分布 本节介绍来自正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布．这是参数估计与假设检验的基础． 第五节 正态总体统计量的分布 本节介绍来自正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布．这是参数估计与假设检验的基础． 定理1 设 为来自总体 X 的样本，则 ， ． 定理2 ． 定理3 设X1，X2，…，Xn是正态总体 的一个样本，则样本均值 与样本方差 S 2 相互独立，且有 ．

定理4 设X1，X2，…，Xn是正态总体 的样本， 与S 2分别为样本均值与样本方差, 则有 ． 证 由 , 则有 ． 定理5 设总体 ，总体 ，且 X 与 Y 独立．X1，X2，…，与Y1，Y2，…，分别为来自总体 X 与总体 Y 的样本，且这两组样本相互独立． ，则有

, . (ii) 若 ，则 ， 其中 ． (iii) ．

(iv) ． 证 (i) 略 (ii) 由定理 3 得 ， ， 于是 ． 又由 (i) 及 t 分布定义，有 即 , .

(iv) 由定理 3， ，则 即 , .

例1 从总体 N ( 52，6.32 ) 中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值 落在 50.8 到 53.8 之间的概率． 解 . 由 ， 即 ，得所求概率为

例2 设 X1，X2，…，X10 为总体 N (0，0.09)的一个样本，求 ． 解 由 ， ， 则有 .（查 表394页）

例3 设总体 , 样本 X1， X2, …，X6，设 Y = ( X1+X2+X3 )2 + ( X4+X5+X6 )2，求C, 使CY 服从 分布，并求自由度． 由独立性有 , 取 ，有 ，自由度为2． 解 由 , 有 , ,