数字信号处理 Lecture 4: Analysis of Discrete-time System 杨再跃 Email: yangzy@zju.edu.cn 玉泉校区工控新楼507 mypage.zju.edu.cn/yangzy

连续到离散的映射关系 连续时间信号 拉氏变换 s平面 离散时间信号 z变换 z平面 二者关联：

s平面虚轴映射为z平面单位圆 s平面实轴映射为z平面正实轴 s平面虚轴右侧部分映射为 z平面单位圆外区域 s平面虚轴左侧部分映射为z平面单位圆内区域

z平面 s平面 序列的DTFT是数字频率的周期函数，因此从z到s的映射不唯一； 模拟频率Ω由-π/T变化到π/T，相当于z平面内的射线从- π弧度转到了π弧度，即覆盖了整个z平面

描述系统特性的工具 连续时间系统 时域分析工具：系统冲击响应，微分方程 频域分析工具：频率响应，拉氏变换（传递函数） 离散时间系统 Friday, February 22, 2019 描述系统特性的工具 连续时间系统 时域分析工具：系统冲击响应，微分方程 频域分析工具：频率响应，拉氏变换（传递函数） 离散时间系统 时域分析工具：系统冲击响应，差分方程 频域分析工具：频率响应，z变换（传递函数）

Friday, February 22, 2019 离散时间傅里叶变换 离散时间序列x(n)的傅里叶变换，也称为离散时间傅里叶变换(Discrete-time Fourier Transformation, DTFT)，定义为： 研究DTFT的目的是：计算离散时间信号的频谱，计算离散时间系统的频率响应； 序列x(n)收敛（绝对可和）是该序列DTFT存在的充分条件 上述变换的逆变换，(Inverse Discrete-time Fourier Transformation, IDTFT)，定义为：

离散时间傅里叶变换 DTFT是是数字频率的连续函数； DTFT的定义表达式也可以被认为是频谱的傅里叶级数； Friday, February 22, 2019 离散时间傅里叶变换 DTFT是是数字频率的连续函数； DTFT的定义表达式也可以被认为是频谱的傅里叶级数； DTFT是一个以2π为周期的周期函数； IDTFT可以被认为是上述傅里叶级数的系数；

离散时间傅里叶变换 离散信号DTFT 连续信号FT 连续函数； 是数字频率的周期函数； 连续函数； 不具有周期性；

离散时间傅里叶变换 考虑序列的z变换，函数变量在复平面内取值 当r=1时，z变换的定义与DTFT一致，即序列在单位圆上的z变换就是它的离散时间傅里叶变换； 序列的z变换收敛域包含单位圆时，它的DTFT存在；

离散时间信号的频谱 DTFT是分析离散时间序列的重要工具，通常X(e-jω)是一个以ω为自变量的复函数，具有幅值和相位特性； Friday, February 22, 2019 离散时间信号的频谱 DTFT是分析离散时间序列的重要工具，通常X(e-jω)是一个以ω为自变量的复函数，具有幅值和相位特性； 函数的模（幅值） |X(e-jω)|称为信号的幅度谱，辐角φ(ω)=arg[X(e-jω)]称为相位谱，由于X(e-jω)是周期为2π的周期函数，因此一个周期就足以代表序列的频谱，通常取[-π, π)或者[0, 2π); 为了扩大幅度谱的动态显示范围，幅度谱常采用对数形式表示：20log |X(e-jω)|，单位是dB，相位的单位是度或弧度，通常取主值相位表示，即-π≤φ(ω)< π;

Friday, February 22, 2019 例 4.1 求矩形序列的频谱： Solution: 直流分量：

例 4.1 求矩形序列的频谱： 由于DTFT具有周期性，因此只需要画出一个周期的频谱； Friday, February 22, 2019 例 4.1 求矩形序列的频谱： 由于DTFT具有周期性，因此只需要画出一个周期的频谱； 水平坐标轴为数字频率，为了分析方便，往往需要换算成实际频率，例如，假设采样频率为1KHz，则ω=π/2处对应的频率为250Hz

Friday, February 22, 2019 例 4.2 求下面序列的DTFT： 直流分量：

例 4.3 已知LTI单位冲击响应为 ，设系统的输入为 A为常数，求系统的零状态响应 Solution：根据线性卷积有 定义：一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（通常是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。 LTI系统的特征函数为复指数序列，复指数信号也称为谐波信号。

常用DTFT变换 −π≤ω≤π

常用DTFT性质 线性特性 时域移位 频域移位 时域共轭 -> 频域共轭+折叠 时域折叠 -> 频域折叠

时域卷积定理 LTI系统的零状态响应 两边取傅里叶变换

用差分方程求解DTFT 已知复指数序列是LTI系统的特征函数，因此 LTI系统冲击响应的DTFT可由描述系统的差分方程直接得到

例4.4 已知LTI系统由下面的差分方程定义， 求：(1) ；(2) 求输入为下面的余弦信号时稳态输出； Solution：

离散系统的频率响应 频率响应是分析系统动态特性的有效工具，可以由如下两种方法来定义： 1. 单位冲击响应的离散时间傅里叶变换； Friday, February 22, 2019 离散系统的频率响应 频率响应是分析系统动态特性的有效工具，可以由如下两种方法来定义： 1. 单位冲击响应的离散时间傅里叶变换； 2. 离散系统对全频段正弦输入（或复指数序列）的稳态响应； 上述二者的操作方法不同，但实际上是等价的！ 频率响应通过幅频响应（曲线图）和相频响应（曲线图）来直观的分析系统特性。

频率响应(Frequency Response) 定义1：离散时间LTI系统的单位冲击响应的傅里叶变换也称为系统的频率响应 称为系统幅频特性（幅度特性、幅度响应）， 称为系统的相频特性

n 例 4.5 求下面序列的DTFT： 系统的激励是单位冲击序列时，它的频谱覆盖了 1 n 系统的激励是单位冲击序列时，它的频谱覆盖了 于是系统的单位冲击响应可以看成对各次谐波的滤波的总的效果，因此可以用冲击响应的频谱来反映系统特征；

例4.6 已知系统的单位冲击响应为： ，画出幅值与相位的频率响应；如果对上述系统施加输入信号为0.1u（n），求系统的稳态输出 Solution：

横坐标归一化处理，单位为π

频率响应(Frequency Response) 定义2：离散时间LTI系统的对全频段正弦信号响应的傅里叶变换也称为系统的频率响应 称为系统幅频特性， 称为系统的相频特性 任何复杂信号都可被看做是不同幅度和相位的正弦波线性叠加而成，这些正弦波包含了丰富的频率信息，因此上述定义也反映系统对各次谐波的传输能力；

频率响应(Frequency Response) 定义2：离散时间LTI系统的对全频段正弦信号响应的傅里叶变换也称为系统的频率响应 LTI系统 把正弦信号输入系统，然后逐渐增加输入信号的频率，观察系统的输出在幅值和相位上的变化，特别是与输入信号相比有何改变，由此可以判断系统对输入的传输性能。 Tip：这就是为什么系统的传递函数可以被定义为频域内输出和输入的比值。

频率响应(Frequency Response) 定义2：离散时间LTI系统的对全频段正弦信号响应的傅里叶变换也称为系统的频率响应

例 4.7 (1) 求系统的频率响应： (2) 求系统对如下输入的响应： Solution: (1) Friday, February 22, 2019 例 4.7 (1) 求系统的频率响应： (2) 求系统对如下输入的响应： Solution: (1)

例 4.7 (1) 求系统的频率响应： (2) 求系统对如下输入的响应： Solution: (2) 以 为例说明： Friday, February 22, 2019 例 4.7 (1) 求系统的频率响应： (2) 求系统对如下输入的响应： Solution: (2) 以 为例说明：

例 4.7 (1) 求系统的频率响应： (2) 求系统对如下输入的响应： Solution: (2) Friday, February 22, 2019 例 4.7 (1) 求系统的频率响应： (2) 求系统对如下输入的响应： Solution: (2)

Equivalent Analog Signal Processor Friday, February 22, 2019 信号的采样 PrF ADC DSP DAC PoF Analog digital Discrete System Equivalent Analog Signal Processor 模拟信号通过采样（抽样）离散化，采样器相当于一个电子开关，它每隔T秒短暂地闭合一次，将模拟信号接通，读入一个采样值，开关的闭合时间为τ；

信号的采样 理想采样条件下，τ无穷小，通常开关的闭合时间τ<<T，可以近似认为满足理想抽样； Friday, February 22, 2019 信号的采样 理想采样条件下，τ无穷小，通常开关的闭合时间τ<<T，可以近似认为满足理想抽样； 采样不可避免的会对原始信号包含的信息造成丢失，同时，由于采样器本身的特点，会在信号上增加一些不必要的信息，需要分析清楚这些影响； 数学方法上看，理想采样相当于对信号乘以单位抽样序列；

Friday, February 22, 2019 信号的采样 非理想采样 0<τ<<T τ 理想采样 τ=0

Friday, February 22, 2019 信号的采样 抽样除了把信号离散化外，还具有其他特性，可以通过研究抽样后信号的频谱进行分析

信号的采样 根据频域卷积定理，两信号在时域相乘的傅立叶变换等于两信号分别的傅立叶变换的卷积 Friday, February 22, 2019 信号的采样 根据频域卷积定理，两信号在时域相乘的傅立叶变换等于两信号分别的傅立叶变换的卷积

对比模拟信号的频谱 与抽样信号的频谱 可以发现，抽样后在频域内造成了周期延拓，周期为 Friday, February 22, 2019 对比模拟信号的频谱 与抽样信号的频谱 可以发现，抽样后在频域内造成了周期延拓，周期为

Friday, February 22, 2019 做如下替换：

Friday, February 22, 2019 采样定理 如果信号本身所包含的最大频率Ω0不大于采样频率的一半，则在一个延拓周期内，采样后的信号仍然可以保留原来模拟信号的频谱，二者仅在幅值上相差一个常数倍 如果 ，在区间 内有：

Friday, February 22, 2019 采样定理 如果使得采样频率变小，使得信号本身所包含的最大频率Ω0大于采样频率的一半，则在Ωs/2处发生频率分量的重叠，造成信息不能分辨，这一现象称为频域混叠 把Ωs/2称为折叠频率（ 奈奎斯特频率 ），当信号频谱超过这一频率时会对称折叠回相应的部分，使得信息混合；

把Ωs/2称为折叠频率，当信号频谱超过这一频率时会对称折叠回相应的部分，使得信息混合； Friday, February 22, 2019 如果使得采样频率变小，使得信号本身所包含的最大频率Ω0大于采样频率的一半，则在Ωs/2处发生频率分量的重叠，造成信息不能分辨，这一现象称为频域混叠 把Ωs/2称为折叠频率，当信号频谱超过这一频率时会对称折叠回相应的部分，使得信息混合； 实际抽样前，为了防止混叠发生，可加入截止频率为Ωs/2的前置预滤波器；

信号的还原 如果采样频率满足奈奎斯特定理，可以把抽样后的信号还原为模拟信号 对上述信号进行傅里叶逆变换： Friday, February 22, 2019 信号的还原 如果采样频率满足奈奎斯特定理，可以把抽样后的信号还原为模拟信号 对上述信号进行傅里叶逆变换：

Friday, February 22, 2019 内插函数 内插公式

信号的还原 在物理实现上，抽样后的信号经过一个理想的低通滤波器，去除周期延拓的部分，就可以还原信号； Friday, February 22, 2019 信号的还原 在物理实现上，抽样后的信号经过一个理想的低通滤波器，去除周期延拓的部分，就可以还原信号； 实际低通滤波存在过渡带，可以提高采样频率来避免过渡带的影响；

例4.8 已知 ，求下面函数的采样信号及其DTFT Solution：

构造一个连续时间信号，该信号包含3-5个小于100Hz的整数频率分量，写出信号的函数表达式，画出函数图； Friday, February 22, 2019 Assignment 1: 构造一个连续时间信号，该信号包含3-5个小于100Hz的整数频率分量，写出信号的函数表达式，画出函数图； 设定合适的采样频率，对信号进行采样，得到一个离散时间序列，截取合适长度的序列，画出离散点图； 用DTFT画出信号的频谱图； 交作业时间： 3月25日晚发送word文件至yangzy@zju.edu.cn