一、平面的点位式方程 1 平面的方位向量 过空间中一点M与两个不共线的向量 ，可以唯一确定一个平面 ，则 向量 称为平面 的方位向量 §3.1 平面的方程 一、平面的点位式方程 1 平面的方位向量 过空间中一点M与两个不共线的向量 ，可以唯一确定一个平面 ，则 向量 称为平面 的方位向量 x z y O M

§3.1 平面的方程 2 向量式参数方程 在空间中，取仿射坐标系 过定点M0与方位向量 的平面 则 x z y M0 M

§3.1 平面的方程 x z y M M0

§3.1 平面的方程 ① 向量式参数方程 若 称⑴式为平面的向量式参数方程 … … ⑴ 则

§3.1 平面的方程 ② 坐标式参数方程 则称 为平面的坐标式参数方程 若

§3.1 平面的方程 ③ 普通方程 向量 与向量 共面 则 或 称为平面的点位式(一般)方程

§3.1 平面的方程 例1 已知不共线的三点 求通过三点 的平面方程 x z y M1 M3 M2 M

§3.1 平面的方程 ④ 三点式方程 或 称上式为平面的三点式方程

§3.1 平面的方程 ⑤ 截距式方程 x O y z c b a

例2 求在oy，oz轴上的截距是30,10，且平行于向量{2,1,3}的平面的截距式方程及坐标式参数方程。

二、平面的一般方程 定理1 空间中任意平面的方程都可以表示成一 个关于变量x,y,z的一次方程；反过来， §3.1 平面的方程 二、平面的一般方程 定理1 空间中任意平面的方程都可以表示成一 个关于变量x,y,z的一次方程；反过来， 每一个关于变量x,y,z的一次方程都表示 一个平面 [注] ⑴ 当D=0时，平面通过原点 ⑵ 当A,B,C中只有一个为零时

① 若A=0，D≠0时，平面平行于x轴； ② 若A=0，D=0时，平面通过x轴 ⑶ 当A,B,C中有两个为零时 若A=0，B=0，D≠0时， §3.1 平面的方程 ① 若A=0，D≠0时，平面平行于x轴； ② 若A=0，D=0时，平面通过x轴 ⑶ 当A,B,C中有两个为零时 若A=0，B=0，D≠0时， 平面平行于xOy面； 若A=0，B=0，D=0时， 平面即为xOy面

§3.1 平面的方程 例3 求通过点 且平行于z轴的平面方程

三、平面的点法方程 (用途最广) 定义6 过空间中一点M0且垂直非零向量 可以唯一确定一个平面 ，则向量 称为平面 的法向量 §3.1 平面的方程 三、平面的点法方程 (用途最广) 定义6 过空间中一点M0且垂直非零向量 可以唯一确定一个平面 ，则向量 称为平面 的法向量 x z y O

§3.1 平面的方程 定义7 若 则 即称 为平面的点法式方程

§3.1 平面的方程 平面方程 中 A,B,C 表示平面的一个法向量坐标

例4 求过 两点的中点，两个三等分点，且与 垂直的平面 例5 求过 点且与 都垂直的平面

练习1 化平面方程 为截距式与参数式。 练习2 平面过原点与点 且与平面 4x-y+2z=8垂直，求平面方程。

y x z O P

§3.1 平面的方程 定义8 称 叫做平面的向量式法式 方程，其中 为法向量的单位向量 定义9 若 则称 为平面的坐标式法式方程

§3.1 平面的方程 四、化一般方程为法式方程 取法化因子 可得法式方程

§3.1 平面的方程 ① 当D＞0时，取 ② 当D＜0时，取 ③ 当D=0时， 的符号任意选取

(2)指出原点指向平面的单位法向量的方向余弦 §3.1 平面的方程 例5 设平面方程为6x-3y+2z+21=0, (1)将方程化为法式方程； (2)指出原点指向平面的单位法向量的方向余弦 (3)指出原点到平面的距离

一、点与平面的距离 定义1 一点与平面上的点之间的最短距离， 叫做该点与平面之间的距离 1 离差 定义2 若自点 到平面 引垂线，其垂足为 §3.2 平面与点的相关位置 一、点与平面的距离 定义1 一点与平面上的点之间的最短距离， 叫做该点与平面之间的距离 1 离差 定义2 若自点 到平面 引垂线，其垂足为 Q，则向量 在平面 的单位法向 量 上的射影叫做点 与平面 间 的离差，记做

§3.2 平面与点的相关位置 x z y O x z y O R P P R Q Q 离差有正有负 离差的绝对值 就是点 到平面 之间的距离

§3.2 平面与点的相关位置 2 离差的计算 定理1 点 与平面 间的离差为 其中 推论1 点 与平面的离差为

例1求点(3,-5,-2)到平面2x-y-3z+11=0的离差与距离 §3.2 平面与点的相关位置 推论2 点 与平面 的距离为 例1求点(3,-5,-2)到平面2x-y-3z+11=0的离差与距离

§3.2 平面与点的相关位置 二、平面划分空间 问题

§3.2 平面与点的相关位置

§3.3 两平面的相关位置 定理1 两平面 相交 平行 重合

定理2 两平面

§3.3 两平面的相关位置 平行或重合

§3.3 两平面的相关位置

§3.3 两平面的相关位置 定理3 两平面 垂直

例1. 例2. 试求由平面 §3.3 两平面的相关位置 设平面 为Ax+By+Cz+D=0,它与联接两点 的直线交于点M,且 求证： §3.3 两平面的相关位置 例1. 设平面 为Ax+By+Cz+D=0,它与联接两点 的直线交于点M,且 求证： 例2. 试求由平面 所构成的二面角的角平分面的方程，在此二面角内有点

2：在空间直角坐标系下，已知三个坐标面与平面 组成四面体，求此四面体的内切球的球心和半径。

一、由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程 §3.4 空间直线的方程 一、由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程 定义1 空间中一点M0与一个非零向量 ， 通过点M0且平行向量 可以唯一确定 一条直线 ，则向量 称为直线 的 方向向量 x z y l M M0

§3.4 空间直线的方程 定义2 若 称为直线的向量式参数方程 则

§3.4 空间直线的方程 定义3 若 则 称为直线的坐标式参数方程

§3.4 空间直线的方程 定义4 称 为直线的对称式方程或标准方程 例3 求通过空间两点 的直线方程

§3.4 空间直线的方程 定义5 称 为直线的两点式方程

§3.4 空间直线的方程 此时， 恰好是直线上一 点与定点的之间的距离

例4 已知直线 与其上一定点 其中 （1）求 上与 距离为1的点 （2）求 上 关于 的对称点

定义6 直线的方向向量的方向角 与方向余弦 称为直线的方向角与方向余弦 。直线的方向向量的坐标或与它成比例的一组数 为直线的方向数 §3.4 空间直线的方程 定义6 直线的方向向量的方向角 与方向余弦 称为直线的方向角与方向余弦 。直线的方向向量的坐标或与它成比例的一组数 为直线的方向数 定义6 直线的方向向量的方向角 与方向余弦 称为直线的方向角与方向余弦 。直线的方向向量的坐标或与它成比例的一组数 为直线的方向数

二、直线的一般方程 定义7 称 为直线的一般方程

§3.4 空间直线的方程 定义8 射影式 将直线的对称式方程改写为 整理得 上式叫做直线的射影式方程 （其中 ）

三、直线方程的一般式与标准式的互化 标准式转化为一般式 其中

一般式转化为标准式 其中

例5 求过点 且与两相交直线 都垂直的直线的方程 例6 化直线 的一般方程 为标准方程 例7 求过点 且与直线 垂直相交的直线

§3.5 直线与平面的相关位置 一、直线与平面的位置关系 定理1 设 则 相交 平行 直线在平面上

§3.5 直线与平面的相关位置 二、直线与平面的夹角 l l

例1 若直线 在平面 内，则 n = D = . 例2 设 求 ① 的夹角 ② 直线的方向向量 与平面法向量 的夹角 §3.5 直线与平面的相关位置 例1 若直线 在平面 内，则 n = D = . 例2 设 求 ① 的夹角 ② 直线的方向向量 与平面法向量 的夹角

§3.5 直线与平面的相关位置 例3 判定直线 和平面 的相关位置.

§3.5 直线与平面的相关位置 例4 设直线与三坐标平面的交角分别为 ， 证明： . 例5 求与两平行平面 都相切且与其中之一相切于点 的球面.

例 求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面 相交的直线方程.

§3.6 空间直线与点的相关位置 定义1 一点与空间直线上的点之间的最短距离 叫做该点与空间直线的距离 M l d M1

§3.6 空间直线与点的相关位置 定理1 设空间中一点 直线 则

§3.6 空间直线与点的相关位置 例1 求 点 到直线 的距离

§3.7 空间两直线的相关位置 一、空间两直线的位置关系 异面 共面 相交 平行 重合

§3.7 空间两直线的相关位置 定理1 设空间两直线 异面 相交

§3.7 空间两直线的相关位置 平行 重合 例1 求 使直线 相交

§3.7 空间两直线的相关位置 例2 求过点P(2,0,-1)且与直线 都相交的直线

二、空间两直线的夹角 定义1 平行于空间两直线l1,l2的两向量间的角 叫做空间两直线的夹角，记做 [注] §3.7 空间两直线的相关位置 二、空间两直线的夹角 定义1 平行于空间两直线l1,l2的两向量间的角 叫做空间两直线的夹角，记做 [注] 若l1的方向向量为 ，l2的方向向量为 则

§3.7 空间两直线的相关位置 定理2 在直角坐标系中，直线l1,l2夹角余弦为 推论 两直线l1,l2垂直

三、两异面直线间的距离与公垂线方程 定义2 空间两直线上的点之间的最短距离， 叫做这两条直线间的距离 [注] §3.7 空间两直线的相关位置 三、两异面直线间的距离与公垂线方程 定义2 空间两直线上的点之间的最短距离， 叫做这两条直线间的距离 [注] ① 两条相交或重合直线的距离为零； 两条平行直线间距离等于其中一条直线上 任意点到另一直线的距离

定义3 与两条异面直线都垂直相交的直线，叫 做两异面直线的公垂线，两交点间的线 段叫做公垂线的长。 定理3 两异面直线间的距离等于公垂线的长 §3.7 空间两直线的相关位置 定义3 与两条异面直线都垂直相交的直线，叫 做两异面直线的公垂线，两交点间的线 段叫做公垂线的长。 定理3 两异面直线间的距离等于公垂线的长

§3.7 空间两直线的相关位置 定理4 两异面直线距离计算公式

§3.7 空间两直线的相关位置 l

§3.7 空间两直线的相关位置 公垂线方程

证明l1,l2异面，并求两直线间的距离和公垂线方程 §3.7 空间两直线的相关位置 例3 设直线 证明l1,l2异面，并求两直线间的距离和公垂线方程 例4 求通过点P(1,0,-2)与平面3x-y+2z-1=0平行 且与直线 相交的直线方程

§3.7 空间两直线的相关位置

§3.8 平面束 一、有轴平面束 1 概念 定义1 空间中通过同一条直线的所有平面的集 合叫做有轴平面束，直线叫做平面束的 轴

§3.8 平面束 定理1 设平面束以直线 为轴，则该平面束的方程为 其中 不全为零

2 应用 例1 求点M1(1,1,1)与直线 所确定的平面方程 例2 求过直线 且与平面 垂直的平面方程，并求出直 §3.8 平面束 2 应用 例1 求点M1(1,1,1)与直线 所确定的平面方程 例2 求过直线 且与平面 垂直的平面方程，并求出直 线l 在平面 上的射影直线方程

§3.8 平面束 练：求通过直线 且与点 P (4,1,2) 的距离等于3的平面方程

§3.8 平面束 二、平行平面束 1 概念 定义2 空间中平行于同一个平面的所有平面的 集合叫做平行平面束

§3.8 平面束 定理2 平行于两个平面 的平面束方程为 其中 不全为零，且

§3.8 平面束 推论 由平面 决定的平 行平面束方程为 其中 为任意常数

§3.8 平面束 例5 求与平面 平行且在 x 轴 上截距等于3的平面方程

§3.8 平面束