第二章 一元二次方程 1.认识一元二次方程(1)

数学与生活 回顾与思考 ☞ 你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?

“知识” 知多少 ☞ 你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗? 回顾与思考 ☞ 你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗? 与一元一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型。

教室地面有多宽 做一做 ☞ 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

挑战自我 ☞ (8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 你能化简这个方程吗? 做一做 ☞ 解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　　 m,根据题意,可得方程： （8－2x） （5－2x） (8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 你能化简这个方程吗? 8 x x x 数学 化 （8－2x） 5 18m2 （5－2x） x

☞ 你能行吗？ １０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２ 你能化简这个方程吗? 观察下面等式： 想一想 ☞ 你能行吗？ 观察下面等式： １０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２ 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 一般化 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：　　　　，　　　　，　　　　，　　　　． x＋1 x＋2 x＋3 x＋4 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　 . (x＋1)2 (x＋ 2)2 ＋ (x＋3)2 (x＋4)2 ＝ x2 你能化简这个方程吗?

生活中的数学 做一做 ☞ 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m. 如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m; 根据题意，可得方程： 数学化 1m 6 10m 8m 10m 7m x＋6 xm 6m 72＋(x＋6)2 ＝102 你能化简这个方程吗?

☞ 一元二次方程的概念 回顾与思考 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) (8-2x)(５-２x)=18; 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2 － 8x － 20＝0. （ x＋６）２＋７２＝１０２ 即 x2 ＋12 x －15 ＝0. 上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有　　　　　　的　　　　 ，并且都可以化为　　　　　　　　　　　　　　　　　 的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 一个未知数x 整式方程 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．

“行家”看“门道” ☞ － (3)2x2－ －1 ＝0 － (4) ＝0 (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 1 3x 探索思考 ☞ 下列方程哪些是一元二次方程? 解: (1)、 (4) (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 (3)2x2－ －1 ＝0 － 1 3x (4) ＝0 － y2 2 (5)x2＋2x－3＝1＋x2

内涵与外延 ☞ ≠±1 ＝－1 ≠3 1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k _______ 时，是一元二次方程． 想一想: ☞ 1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k _______ 　　　时，是一元二次方程． ≠3 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1

培养能力之源泉 (x－4)2＋ (x－2)2＝ x2 x2－12 x ＋20 ＝ 0 随堂练 培养能力之源泉 １．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为 尺,依题意得方程： 2尺 (x－4) 数学化 (x－2) x x－2 (x－4)2＋ (x－2)2＝ x2 x－4 4尺 x2－12 x ＋20 ＝ 0 即

培养能力之阵地 ２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 想一想P44 培养能力之阵地 ２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36 ＝0 5 5x2 ＋ 36 x － 32＝0 ＋ 36 － 32 36 常数项为 . － 32 二次项系数为 ， 5 一次项系数为 ，

回味无穷 小结 拓展 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 小结 拓展 回味无穷 本节课你又学会了哪些新知识呢？ １．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数． ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系 你准备如何去求方程中的未知数呢?

独立 作业 知识的升华 第32页随堂练习 习题2.1 1 、2题 祝你成功！

知识的升华 54m2 独立 作业 １．根据题意，列出方程： （１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽为(x＋2) m，依题意得方程： 5 x (x＋5) (x＋2) ＝54 x 54m2 即 X＋2 2 x2 ＋ 7x－44 ＝0 X＋5

知识的升华 独立 作业 （２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？ 解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意得方程： x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242. 即 x2 ＋2x－8 0＝0.

知识的升华 独立 作业 3 3x2－5x＋1＝0 －5 ＋1 3 －5 1 1 x2 ＋ x－8＝0 ＋1 －8 1 1 －8 2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方　　程 一般形式 二次项 系　数 一次项 常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6 4-7x2=0 3 3x2－5x＋1＝0 －5 ＋1 3 －5 1 1 x2 ＋ x－8＝0 ＋1 －8 1 1 －8 －7x2 ＋4＝0 －7 4 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7 4 或7x2 － 4＝0 7 － 4

结束寄语 运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学思想——方程的思想. 一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型. 再 见 下课了! 结束寄语 运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学思想——方程的思想. 一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型. 再 见