结构力学 建筑工程系 付向红

§10-1 动力计算的特点和动力自由度 1.结构动力计算的特点和内容 1)动荷载与静荷载的区别 §10-1 动力计算的特点和动力自由度 1.结构动力计算的特点和内容 1)动荷载与静荷载的区别 动荷载：大小、方向或位置随时间而变，而且变得很快 静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，或变得很慢 2)动力计算与静力计算的区别 与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力 计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。 动荷载作用下的平衡与静力平衡相比有两个特点： ①力系中包含了惯性力， ②考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的 函数。建立的平衡方程是微分方程。

m 3)动力计算的方法（达朗伯原理） P(t) ＝I(t) m …………..运动方程 改写成 …………..平衡方程 设其中 2.动荷载分类 按起变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）

2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载） P(t ) t P t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载 θt 2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载） P t P(t ) t P P 偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ 惯性力:P=m θ2e,其竖向分量和 水平分量均为简谐荷载. tr tr 3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无 法事先确定。（如地震荷载、风荷载）

3.动力计算中体系的自由度 定义：确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为 体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由 度体系。计算困难，常作简化如下： 1）集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一 个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。 m m +αm柱 m>>m梁 m +αm梁 I 厂房排架水平振动 时的计算简图 I 2I 单自由度体系 三个自由度体系

m1 m2 m3 2个自由度 4个自由度 v(t) u(t) θ(t) 水平振动时的计算体系 构架式基础顶板简化成刚性块 多自由度体系

ak(t) ——称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。 y(x,t) x 1）广义坐标法 如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示 x 用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中 y(x,t) —— 是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。 x a1， a2，…….. an ak(t) ——称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。 y

几点注意： 1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集 中质量数，可能比它多，也可能比它少。 2）体系的自由度与其超静定次数无关。 3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。 4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度， 动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。

§10-2 单自由度体系的自由振动 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。 §10-2 单自由度体系的自由振动 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。 静平衡位置 m获得初位移y m获得初速度 研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。 要解决的问题包括： 建立运动方程、计算自振频率、周期。

1.运动微分方程的建立 原 理：达朗伯尔原理 应用条件：微幅振动（线性微分方程） 方 法：刚度法；柔度法

. . . k 1）刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。 力学模型 静平衡位置 S(t) + yj yd yd m m m W 质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd I(t) 重力 W 弹性力 （恒与位移反向） 惯性力 …….……………(a) 其中 kyj=W 及 上式可以简化为 或 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。

. 2）柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。 刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。 静平衡位置 m I(t) 可得与 (b) 相同的方程 刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。

. 2.自由振动微分方程的解 它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为： 积分常数C1，C2由初始条件确定 其中 改写为 静平衡位置 m I(t) 设 t=0 时 （d）式可以写成

它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定 由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动, 令 (e)式改写成 它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定 振幅 相位角

y t T y -y y t T y t T A -A 

) sin( ( a w + = t y ) sin( ( a w + = t y ) 2 ( sin( a w p + = t ) 2 ( 3.结构的自振周期 ) 2 ( sin( a w p + = t ) 2 ( w p + = t y ) sin( ( a w + = t y ) 2 sin( p a w + = t 周期函数的条件: y(t+T )=y(t ) ) sin( ( a w + = t y 是周期函数,且周期是: 频率: 圆频率: 每秒钟内的振动次数. 2π秒内的振动次数.

T = w p 2 k m = p 2 g W = d p 2 g D = p 2 m = d p 2 m k = w m = d 1 W 自振周期计算公式的几种形式： T = w p 2 k m = p 2 g W = d p 2 g st D = p 2 m = d p 2 m k = w m = d 1 W g = d st g D = 圆频率计算 公式的几种形式： 其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动 方向施加的力。 Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视δ、 k、 Δst 三则中哪一 个最便于计算来选用。 W是质 点的重力

自振周期一些重要性质： （1）自振周期与 且只与结构的质量和结构的刚度有关， 与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期 越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度 越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只 有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力 性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果 其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。

例1：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。 l/2 l/2 l/2 3l/16 P=1 解：1）求δ 5l/32 l/2 P=1 据此可得：ω1∷ ω2 ∷ ω3= 1∷ 1.512 ∷2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。

m 1 l/2 k l/2 1 6EI/h2 h 例2:求图示刚架的自振 频率。不计柱的质量。 l 6EI/h2 3EI/h2 k A C B QCA QCB 1 l/2 k l/2 1 EI EI1=∞ m l h 6EI/h2 例2:求图示刚架的自振 频率。不计柱的质量。 3EI/h2 6EI/h2 k 3EI/h3 12EI/h3

l/3 2l/3 m 例3 1 1 1 例4 l/2 l m

θ=1/h 例5 解法1：求 k 1 k 1 h m I=∞ EI B A C MBA=kh = MBC θ 1 解法2：求 δ h

例6 k11 k11 l EI m k 解：求 k 1 k 对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方 便。 两端刚结的杆的侧移刚度为： 一端铰结的杆的侧移刚度为：

§10-3 单自由度体系的强迫振动 强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动。 .. 弹性力－ky、惯性力 §10-3 单自由度体系的强迫振动 强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动。 .. 弹性力－ky、惯性力 和荷载P(t)之间的平衡方程为: .. y(t) m m P(t ) k y P(t ) m ky P(t ) .. 单自由度体系强迫 振动的微分方程 振动体系

m t F y q w sin = + t A y q sin = t m F A q w sin = + - t y m F q w 1.简谐荷载： m t F y q w sin 2 = + .. 特解： t A y q sin = t m F A q w sin 2 = + - t y m F st q w sin ) 1 ( 2 - = 其中 为最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。

特解可写为： 通解可写为： 设t=0时的初始位移和 初始速度均为零，则： 按自振频率振动 按荷载频率振动 过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）

2）当0<θ/ω<1时,β>1，并且随 θ/ω的增大而增大。 3）当θ/ω→1时,β→∞。即当荷 平稳阶段： 最大动位移（振幅）为： 动力系数β为： 重要的特性： 1）当θ/ω→0时,β→1，荷载 变化得很慢，可当作静荷载处理。 2）当0<θ/ω<1时,β>1，并且随 θ/ω的增大而增大。 3）当θ/ω→1时,β→∞。即当荷 载频率接近于自振频率时，振幅 会无限增大。称为“共振”。通常 把0.75<θ/ω<1.25称为共振区。 4）当θ/ω>1时,β的绝对值随θ/ω 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 1 2 3 w q b

当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各 截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的动内 力和动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。 例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,θ=80s-1 求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。 2m EI m k Psinθt 解：1)求ω 2)求β 3)求ymax, Mmax

例 10-3 有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数 W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m. 解：1）求自振频率和荷载频率 I22b 3570cm4 325 可见，对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。 3570 39.7 52.3/57.4=0.91 2）求动力系数β 39.7 1.35 175.6MPa 149.2 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。

2.一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导 1）瞬时冲量的动力反应 P(t) t t' 设体系在t=0时静止， 然后 有瞬时冲量S作用。 瞬时冲量S引起的振动可视为 由初始条件引起的自由振动。 由动量定理： P Δt Δt τ t' t

任意荷载P(t)的动力反应 P(t) t τ时刻的微分冲量对t瞬时 (t > τ)引起的动力反应: τ 初始静止状态的单自由度体系 在任意荷载作用下的位移公式: t (Duhamel 积分) 初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:

P(t) 几种荷载的动力反应 1）突加荷载 P t yst yst=P0δ=P0/mω2 质点围绕静力平衡 位置作简谐振动动力系数 yst y(t) ωt π 2π 3π 质点围绕静力平衡 位置作简谐振动动力系数 yst

sin cos ) ( w + = t v y P(t) t 2）短时荷载 P u 阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同： 阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 和速度 为初始条件作自由振动。 sin cos ) ( w + = t v y 或者直接由Duhamel积分作

另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 P(t) t P P(t) t P u P(t) t P u 当0<ｔ< u 当ｔ> u

β=2 最大动反应 1）当 u >T/2 最大动位移 发生在阶段Ⅰ yst 2）当 u <T/2 最大动位移 发生在阶段Ⅱ ωT y(t) ωt π 2π 3π 最大动反应 1）当 u >T/2 最大动位移 发生在阶段Ⅰ β=2 2）当 u <T/2 最大动位移 发生在阶段Ⅱ ωT β 动力系数反应谱 (β与T 和μ之间的关系曲线) 2 1/2 1 1/6

这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求: 3）线性渐增荷载 P(t) t P0 tr 这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求: 对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有 很大的关系。其动力系数的反应谱如下：

如果升载很短，tr<T/4,则β接近于2,即相当于突加荷载情况。 如果升载很长，tr>4T,则β接近于1,即相当于静荷载情况。 1.4 1.2 1.0 1.6 1.8 2.0 β 动力系数反应谱 tr P0 1.0 2.0 3.0 4.0 动力系数β介乎1与2之间。 如果升载很短，tr<T/4,则β接近于2,即相当于突加荷载情况。 如果升载很长，tr>4T,则β接近于1,即相当于静荷载情况。 常取外包虚线作为设计的依据。

§10.4 阻尼对振动的影响 振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。 y 钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线 t 因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。 振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。

结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如： 忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律 结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。 共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。 事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。 非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。

关于阻尼，有两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。 在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量； 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。 3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3与质点速度无关（如摩擦力）。

*粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比： 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。 *滞变阻尼理论 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论： *粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比： 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。 *滞变阻尼理论 P(t ) k c y m y . ky P(t ) .. 考虑阻尼的振动模型 动平衡方程：

) ( = Ce y 2 = + w xwl l ) 1 ( - ± = x w l 1.有阻尼的自由振动 ( 阻尼比） 设解为： t Ce y 设解为： 特征方程为： 2 = + w xwl l ) 1 ( 2 - ± = x w l 1)ξ<1（低阻尼）情况

振幅ae-ξωt 随时间衰减.相邻两个振幅的比 y ae-ξωt 低阻尼y- t曲线 t y ①阻尼对自振频率的影响. 当ξ<0.2,则0.96<ωr/ω<1 在工程结构问题中0.01<ξ<0.1 可近似取. ②阻尼对振幅的影响. 振幅ae-ξωt 随时间衰减.相邻两个振幅的比 无阻尼y- t曲线 振幅按等比级数递减.

经过一个周期后,相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为: 称为振幅的对数递减率. 设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则: 工程中常用此 方法测定阻尼

= w x m 2 = w x k 2 = w x m c 2 例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m ，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 EI=∞ m 解： 9.8kN = w x m 2 = w x k 2 = w x m c 2

= -w l ) 1 ( - ± = x w l 2)ξ=1（临界阻尼）情况 y θ0 y0 t 这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。 临界阻尼常数cr是ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点） 阻尼比。反映阻尼 情况的基本参数。 3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。

2.有阻尼的强迫振动 P(t) t τ （低阻尼体系，ξ<1） ①单独由v0引起的自由振动： ②瞬时冲量dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为 以v0=Pdt/m， y0=0为初始条件的自由振动： ③将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量 ④总反应

（1）突加荷载P0 yst 具有阻尼的体系在 静力平衡位置 突加荷载作用下， 最初所引起的最大 位移接近于静位移 y(t) ωt π 2π 3π 4π 5π yst 具有阻尼的体系在 突加荷载作用下， 最初所引起的最大 位移接近于静位移 yst=P0/mω2的两倍， 然后逐渐衰减，最 后停留在静力平衡 位置。 静力平衡位置 低阻尼y- t曲线 y(t) ωt π 2π 3π 4π 5π 无阻尼y- t曲线

（2）简谐荷载P(t)=Fsinθt 设特解为：y=Asinθt+Bcosθt 得： 齐次解加特解得到通解： +{Asinθt+Bcosθt} 结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。 自由振动，因阻尼作用， 逐渐衰减、消失。 纯强迫振动，平稳振动， 振幅和周期不随时间而变. y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α) 振幅:yp，最大静力位移 yst=F/k=F/mω2

共振时 动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关 几点讨论： ①随ζ增大β曲线渐趋平缓， 特别是在θ/ω=1附近β的 峰值下降的最为显著。 ξ=0 x b 2 1 = 共振时 动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关 4.0 3.0 2.0 1.0 β θ/ω 几点讨论： ①随ζ增大β曲线渐趋平缓， 特别是在θ/ω=1附近β的 峰值下降的最为显著。 ②当θ接近ω时，β增加的 ξ=0.1 很快，ξ对β的数值影响 也很大。在0.75<θ/ω<1.25 (共振区)内，阻尼大大地减 小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对β的影响 较小，可按无阻尼计算。 ξ=0.2 ξ=0.3 ξ=0.5 ξ=1.0

③βmax并不发生在共振θ/ω=1时， 而发生在， 但因ξ很小，可近似地认为： ④由y=yPsin(θt－α) 可见， 只要有阻尼位移总滞后荷载 P=Fsinθt一个 相位角α， 位移y、弹性力S，惯性力FI， 阻尼力R分别为： . .. 当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主 要由 S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步； 荷载可作静荷载处理。 当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，S、R相对 说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；

k β yst t ky S q ), 90 sin( - = t y m F 90） q sin( - = t y c R q 90 .. . k=mω2=mθ2 当θ=ω时,α→90° k t ky S P q ), 90 sin( - = o t y m F P I 90） q sin( 2 - = t y c R P q 90 cos( - = o . t y m P q wq x sin 2 ) - = x 2 1 m F w 2 m w x 2 - = β yst t q sin t F q sin - = =－P(t) 由此可见：共振时（θ=ω），S与FI刚好互相平衡， 有无阻尼 均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位 移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力 与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。

§10.5 两个自由度体系的自由振动 很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系计算。 1.振动微分方程的建立及自振频率和主振型计算 柔度法、刚度法

一、刚度法 （1）两个自由度体系 m2 m2 K2 K2 K1 m1 m1 K1 两自由度体系自由振动微分方程 y2(t) y2(t) 1

1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角； 设解为 1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角； 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。 当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令 特征方程 频率方程

多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。 ——第二圆频率 最小圆频率称为第一(基本)圆频率： （1）主振型 m2 Y21 Y22 m1 Y11 Y12 由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。 （2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应； 实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。

两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动 （3）一般振动 两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动 多自由度体系自由振动的振型分解 例：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。 1 m2 k2 m1 1 k1 解：（1）求频率方程中的刚度系数 k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2

（2）求频率 k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2 代公式 （3）求主振型 1.618 0.618 1.0 1.0 若有 第1振型 第2振型

可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。 （2）求频率 若有 （3）求主振型 若 n=90 则第一振型和第二振型分别为： 可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。 如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。

在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。 二、 柔度法 设解为 此时惯性力 幅值 主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。

m1 m2 当然解 Y1=Y2=0， 为了求得不全为零的解，令 Y1 Y2 令 主振型

a a 例. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。 解：（1）计算频率 m 1 2 1 （2）振型 1 0.5a 3.61 0.277 第一振型 第二振型

3.主振型及主振型的正交性 Y12 Y22 m1 m2 m1 m2 Y11 Y21 由功的互等定理： 整理得： 因 ，则存在： 两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。

由功的互等定理： 上式分别乘以ω12、ω22，则得： 第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动； 各个主振型能单独存在，而不相互干扰。

§10.6 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 1、刚度法 .. y2(t) P1(t) 在平稳阶段,各质点也作简谐振动: P2(t) Y1=D1/D0 Y2=D2/D0 n各自由度体系，存在n个可能的共振点

求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。 h Psinθt m EI=∞ EI 1 1 k21 k22 k11 k12 解：1）求刚度系数 2)求位移 幅值

0.1 0.075 求得位移幅值Y1、Y2 ,计算惯性力幅值I1=m1θ2Y1 I2=m2θ2Y2 。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力计算方法求得动内力幅值。 位移幅值 3)求惯性力幅值 P 1.6P 1.2P 0.9P 0.9P A

m k 38197 . 2 5 3 = - w m k 61803 . 2 5 3 = + w 例10-9： 质量集中在楼层上m1、m2 ， 层间侧移刚度为k1、k2 解：荷载负值：P1=P，P2=0 ，求刚度系数： m2 m1 k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 , k12=－k2 k2 k1 当m1=m2=m,k1=k2=k m k 38197 . 2 5 3 1 = - w m k 61803 . 2 5 3 = + w

可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。 也有例外情况。 当 3.0 -2.0 -3.0 0.618 1.618 2.0 1.0 -1.0 3.0 -2.0 -3.0 0.618 1.618 2.0 1.0 -1.0 两个质点的 位移动力系 数不同。 趋于无穷大。 可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。 也有例外情况。 当

例10-6： m2 m1 k2 k1 质量集中在楼层上m1、m2 ， 层间侧移刚度为k1、k2 k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 , k12=－k2 m2 k2 这说明在图a结构上， 适当加以m2、k2系统 m1 k1 可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。 吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才 有必要设置。

例：如图示梁中点放一点动机。重2500N，电动机使梁中点 产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN 问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm) 解：1） Psinθt k2 m2 频率比在共振区之 内应设置吸振器。 2）

2、柔度法（忽略阻尼） （1）建立振动微分方程 .. .. （2）动位移的解答与讨论 设纯强迫振动解答为： .. t P q sin t P y1 y2 （2）动位移的解答与讨论 设纯强迫振动解答为： .. P

荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最 大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的副值作为 （3）动内力幅值的计算 .. 荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最 大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的副值作为 静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为静内力幅值。 例：图示简支梁EI=常数，θ=0.75ω1 求动位移幅值和动弯矩幅值。 t P q sin l/4 l/2 m 解：1)求柔度系数 P1=1 P2=1

2)作MP图，求Δ1P Δ2P 6)比较动力系数 5)计算动内力 因此，多自由度体系没有统一的动力系数。 P1=1 P2=1 P 0.2180Pl 0.3530Pl I1=0.6808P I2=0.6051P Md 图 因此，多自由度体系没有统一的动力系数。 0.2689P 1.4119P 0.8740P Qd 图

§10.7 一般多自由度的体系的自由振动 yn y1 yi yn .. yi ri ri y1 .. 1.刚度法方程： ri 应满足刚度方程 kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零） 时在点i所需施加的力。

.. .. ..

.. 或： .. 设解为： {y}={Y}sin(ωt+α) 得振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 得频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0 可求出ｎ个频率 与ωｉ相应的主振型向量由 ( [K]－ω2ｉ [M] ){Y（ｉ）}=｛0｝ 不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。 　　标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。

例10-9： 质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。 k33=k/5 k32=-k/5 k31=0 m 2m k k21=-k/3 解：1）求刚度系数： 刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]：

2）求频率：代入频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0 展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0 解得：η1=1.293， η2=6.680， η3=13.027 3）求主振型：振型方程：（[K]－ω2 [M]）{Y}＝0的后两式： （令Y3i=1） （a）

Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。 1 0.569 0.163 1 1.227 0.924 1 3.342 2.76

2.柔度法方程： 由刚度法振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}=｛0｝ 令λ=1/ω2 ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}=｛0｝ 得频率方程： ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0 其展开式: 是关于λ的n次代 数方程,先求出λi 再求出频率ωi 将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}=｛0｝ 可求出n个主振型.

例： 质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。δ=1/k δ31 m 2m δ32=4δ δ33=9δ k δ21 δ23=4δ δ22=4δ P=1 m 2m δ32=4δ δ33=9δ k P=1 δ21 δ23=4δ δ22=4δ P=1 δ11=δ δ12=δ δ13=δ 解：1）求柔度系数： 柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]：

解之: ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151 2）求频率： 展开得: 三个频率为： 解之: ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151 三个频率为： 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式： 同理可得第二、 第三振型 解得：

3.主振型的正交性 主振型的位移幅值恰好 为相应惯性力幅值产生 的静力位移。 m1 m2 Y11 Y21 Y12 Y22 对这两种静力平衡状态 应用功的互等定理： m1 m2 因为：ω1≠ω2 主振型之间的 第一正交关系

一般说来，设ωi≠ωj 相应的振型分别为：{y（i）}， {y（j）} 由振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 得： [K] {Y}=ω2 [M] {Y} [K] {Y（i）}=ω2 [M] {Y（i）} {Y（j）}T[K] {Y（i）}=ω2i {Y（j）}T [M] {Y（i）} （a） [K] {Y（j）}=ω2 [M] {Y（j）} {Y（i）}T[K] {Y（j）}=ω2j {Y（i）}T [M] {Y（j）} （b） 对b式转置： {Y（j）}T [K]T {Y（i）} =ω2j{Y（j）}T [M]T {Y（i）} （c） （a）－（c）

☆第一正交关系：相对于质量矩阵[M]来说，不同频率相应的 主振型彼此是正交的; ☆第二正交关系：相对于刚度矩阵[K]来说，不同频率相应的 主振型彼此是正交的; 如同一主振型 定义： Kj 广义刚度 Mj 广义质量 由广义刚度和广义质量求频率的公式。 是单自由度体系频率公式的推广。 所以：

注意：①主振型的正交性是体系本身的固有特性，与外荷载无关。 ②利用正交性来检查主振型是否正确、来判断主振型的形 状特征。 ③利用正交关系确定位移展开公式中的系数。 用{Y（j）}T[M]前乘 位移按主振型分解,可将n个耦联运动方程化成 n 个独立的一元方程求解 ④主振型正交性的物理意义：体系按某一主振型振动时， 在振动过程中，其惯性力不会在其它振型上作功。因此 它的能量便不会转移到别的振型上去，从而激起其它振 型的振动。即各主振型可以单独出现。

§10.8 多自由度体系的受迫振动 Pn(t) Pi(t) P1(t) y1 yi yn 1.对于n个自由度体系在简谐荷载强迫振动方程 .. 如果荷载时简谐荷载 则在平稳阶段,各 质点作简谐振动. 振幅方程: 如系数矩阵的行列式 可解得振幅{Y} 如系数矩阵的行列式D0=0(θ=ωi) 解得振幅{Y}=无穷大 对于具有n个自由度的体系,在n种情况下都可能出现共振.

例:质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。F(t)=100sin20.96t 解：1、求刚度系数： 刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]： m2=270t m1=315t m3=180t k1=245MN/m k2=196MN/m k2=98MN/m F(t) 2、各层柱的剪力幅值 负号表示干扰力向右达到幅值时，位移向左达到幅值.

3、各层柱的剪力幅值 各楼层的惯性力幅值： 另外,剪力也可又侧移刚度来求: 89.187 26.045 19.751 100 负号表示干扰力向右达到幅值时，位移向左达到幅值. Q3=－89.187kN Q2=－89.187 －26.045+100= － 15.232kN Q1=－89.187 －26.045 －19.751 +100= － 34.983kN 另外,剪力也可又侧移刚度来求: kN/mm 惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。

2.对于n个自由度体系在一般荷载强迫振动方程 （1）正则坐标 任意一个位移向量{y}都可按主振型展开： 用{Y（j）}T[M]前乘 正则坐标ηi是将实际位移按主振型分解时的系数。 第一正交关系： 第二正交关系： 如同一主振型 所以： 定义： Kj 广义刚度 Mj 广义质量 由广义刚度和广义质量求频率的公式。 是单自由度体系频率公式的推广。

（2）主振型矩阵 它的转置

主振型的正交性 广义质量矩阵是 对角矩阵。 同样广义刚度矩阵 是对角矩阵。 主振型矩阵的性质：当[M]、[K]为非对角矩阵时，如果前乘以 [Y]T、后乘以[Y]，这可以使它们转换为对角矩阵[M*]、[K*]。利用 主振型的这一性质，可将多自由度体系的振动方程变为简单形式。

.. （3）振型分解法 进行正则坐标变换， 使方程组解耦。 .. .. .. .. .. .. ω2

§10-9 近似法求自振频率 1、能量法求第一频率——Rayleigh法 yi实集中质量mi处的位移幅值 §10-9 近似法求自振频率 1、能量法求第一频率——Rayleigh法 根据能量守恒和转化定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动 体系在任何时刻的动能T 和应变能V 之和应等于常数。 此外，根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位 置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变 能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度 为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得： Vmax=Tmax ω 求Vmax ，Tmax 位移幅值 . 求频率 如梁上还有中质量mi yi实集中质量mi处的位移幅值

设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点： 1、必须满足运动边界条件: （铰支端：Y=0；固定端： Y=0，Y´=0） 尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振形形状大致接近；如正好与第 n 主振型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知 的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于 假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh 法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现 的变形形式。曲率小，拐点少。 3、通常可取结构在某个静荷载q（x） （如自重）作用下的弹 性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷 载q（x）所作的功来代替，即

2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x). 例10-12 试求等截面简支梁的第一频率。 1）假设位移形状函数为抛物线， l y x 满足边条且与 第一振型相近 2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x). 3）假设. 第一振型的精确解。 精 确 解

例10-13 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为，高度 h=h0x/l。 h0 l x 解： 设位移形状函数 满足： 3% Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是 假设了一振型曲线代替实际振型曲线，就是迫使梁按照这种假设 的形状振动，这就相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度， 致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加 的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。

为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假 设振型对体系所附加的约束， Ritz提出的改进方法： 1、假设多个近似振型 都满足前述两个条件。 2、将它们线性组合 3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的 Y（x）代入（10-85）得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对 所有的a1，a2，…，an的可能组合，确实获得了最小的ω2值。 当所选的a1，a2，…，an使 ω2 获得最小的值的条件是 这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。零其 系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶 频率来。阶次越低往往越准。

2 w 2 w 2 w 2 w 2 w

例10-14 用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。 解：悬臂梁的位移边界条件为： x l 只取第一项 代入： 代入频 率方程： 其精确解: 与精确解相比,误差为27%。

例10-14 用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。 解： x l 取两项 代入： 求得kij，mij： 说明:1)由于φ1φ2均近似于第一振型由它们组合的第二振型 自然很差，故第二频率不准。 2)Rayleigh—Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞 利法。 代入频率方程： 求得最 初两个 频率近 似值： （0.48%） （58%） 说明

等效原则是：使集中后的重力与原来的重力互为静力等效， 2、集中质量法 在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用 若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法 有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。 等效原则是：使集中后的重力与原来的重力互为静力等效， 即两者的合力相等。 作法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于 两端。 该法即可求基频，也可求较高频率。使用各类结构。 集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。

l 例10-15 l/3 (－0.7%） (－0.1%） l/3 (－3.1%） (－0.05%） l/3 (－0.7%） (－4.8%）