第八章 函数 主要内容 函数的定义与性质 函数定义 函数性质 函数运算 函数的逆 函数的合成 双射函数与集合的基数

8.1 函数的定义与性质 主要内容 函数定义与相关概念 函数定义 函数相等 从A到B的函数f:AB BA 函数的像与完全原像 函数的性质 单射、满射、双射函数的定义与实例 构造双射函数 某些重要的函数

函数定义 定义8.1 设 F 为二元关系, 若x∈domF 都存在唯一的 y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值. 例 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>} F2={<x1,y1>,<x1,y2>} F1是函数, F2不是函数 定义8.2 设F, G 为函数, 则 F=G  FG∧GF 如果两个函数F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件： (1) domF=domG (2) x∈domF=domG 都有F(x)=G(x) 函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等, 因为 domFdomG.

从A到B的函数 定义8.3 设A, B为集合, 如果 f 为函数, domf=A, ranfB, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B. 例 f：N→N, f(x)=2x 是从N到N的函数, g：N→N, g(x)=2 也是从N到N的函数. 定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA, 读作B上A，符 号化表示为 BA = { f | f：A→B } |A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm 当A或B中至少有一个集合是空集时, 可以分成下面三种情况： A=且B=, 则BA=={}. A=且B≠，则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A= 

实例 例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解 BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}

函数的像和完全原像 定义8.5 设函数 f：A→B, A1A, B1B （1）A1在 f 下的像 f(A1) = { f(x) | x∈A1}, 当A1= A时，称为函数 的像 f(A) (2) B1在 f 下的完全原像 f 1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1} 注意： 函数值与像的区别：函数值 f(x)∈B, 像f(A1)B 设B1B，显然B1在 f 下的完全原像 f 1(B1)是A的子集，考虑 A1A，那么f(A1) B的完全原像就是f 1(f(A1)）。一般说来 f 1(f(A1))≠A1, 但是A1f 1(f(A1))

例如函数f：{1,2,3}→{0,1}, 满足 f(1)=f(2)=0, f(3)=1 令A1 ={1}, 那么有 f-1(f(A1))=f-1(f({1}))=f-1({0})={1,2} 这时A1f -1(f(A1)).  例 设 f：N→N, 且 令A={0,1}, B={2}, 那么有 f(A) = f( {0,1}) = { f(0), f(1)}={0,2} f 1(B) = f 1({2})={1,4}

函数的性质 定义8.6 设 f：A→B, (1) 若 ranf=B, 则称 f:A→B是满射的 (2) 若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y, 则称 f:A→B 是单射的 (3) 若 f:A→B 既是满射又是单射的, 则称 f:A→B是双射的 例2 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? (1) f:R→R, f(x) = x2+2x1 (2) f:Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f:R→Z, f(x) = x (4) f:R→R, f(x)=2x+1 (5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集. 

例题解答 解(1) f:R→R, f(x)=x2+2x1 f(x)=x2+2x1是开口向下的抛物线, 不是单调函数, 在x=1取 得极大值0. 既不是单射也不是满射的 (2) f:Z+→R, f(x)=lnx 是单调上升的, 是单射的. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}. (3) f:R→Z, f(x)= x 是满射的, 但不是单射的, 例如f(1.5)=f(1.2)=1 (4) f:R→R, f(x)=2x+1 是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R (5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x f(x)=(x2+1)/x 不是单射的, 也不是满射的, 当x→0时, f(x)→+∞；而当x→+∞时, f(x)→+∞.在x=1处函数f(x)取得极小 值 f(1)=2. 该函数既不是单射的也不是满射的

实例 例3 对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B (1)A=P({1,2,3}), B= {0,1} {1,2,3} (3) A=Z, B=N (4) , B=[1,1]

解答 (1) A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. B={f0, f1, … , f7}, 其中 f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.  令 f:A→B, f()=f0, f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3, f({1,2})=f4, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f7

解答 (2) 令 f:[0,1]→[1/4,1/2], f(x)=(x+1)/4 (3) 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z： 011 2 23 3 …      ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ N： 0 1 2 3 4 5 6 … 这种对应所表示的函数是： (4) 令 f:[π/2,3π/2]→[1,1]  f(x) = sinx

某些重要函数 定义8.7 (1)设 f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有的 x∈A都有 f(x)=c, 则称 f:A→B是常函数. (2) 称 A上的恒等关系IA为A上的恒等函数, 对所有的x∈A都 有IA(x)=x. (3) 设<A, ≼>, <B, ≼>为偏序集，f:A→B，如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1)≼ f(x2), 则称 f 为单调递增的；如 果对任意的x1, x2∈A, x1≺x2, 就有f(x1) ≺f(x2), 则称 f 为严 格单调递增的. 类似的也可以定义单调递减和严格单调递 减的函数

实例 实数集R上的函数f：R→R, f(x)=x+1, 它是单调递增的和严 格单调递增的, 但它只是上面定义中的单调函数的特例. 而在上 面的定义中, 单调函数可以定义于一般的偏序集上. 例如：偏序集<P({a,b}),R>, <{0,1},≤>, R为包含关系, ≤ 为一般的小于等于关系, 令 f:P({a,b})→{0,1}, f()=f({a})=f({b})=0, f({a,b})=1, f 是单调递增的, 但不是严格单调递增的

某些重要函数 (4) 设A为集合, 对于任意的A'A, A'的特征函数 A ' : A→{0,1}定义为 A'(a)=1, a∈A' A'(a)=0, a∈A A' A'的每一个子集 A'都对应于一个特征函数, 不同的子集对 应于不同的特征函数. 例如A={a,b,c}, 则有 ={<a,0>,<b,0>,<c,0>}，{a,b}={<a,1>,<b,1>,<c,0>}

实例 (5) 设R是A上的等价关系, 令 g:A→A/R g(a)=[a], a∈A 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射 不同的等价关系确定不同的自然映射, 恒等关系确定的自然 映射是双射, 其他自然映射一般来说只是满射. 例如 A={1,2,3}, R={<1,2>,<2,1>}∪IA g: A→A/R, g(1)=g(2)={1,2}, g(3)={3}

8.2 函数的复合与反函数 定理8.1 设F, G是函数, 则FG也是函数, 且满足 (1) dom(FG)={x|x∈domF∧F(x)∈domG} (2) x∈dom(FG)有FG(x)=G(F(x)) 例如, F:R→R, F(x)＝x＋1, G:R+→R, G(x)＝lnx, 则有: domF=ranF=R, domG=R+ ,ranG＝R. F◦G是函数,但它的定义域不是整个实数集,只能是实数区 间(－1,＋∞),且有 F◦G(x)=G(F(x))=ln(x＋1).

推论 推论1 设F, G, H为函数, 则(FG)H和F(GH)都是函数, 且 (FG)H=F(GH) 推论2 设 f:A→B, g:B→C, 则 fg:A→C, 且x∈A都有 fg(x)=g(f(x)) 定理8.2 设f:A→B, g:B→C  (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的  (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的. 定理8.3 设 f:AB, 则 f = f  IB = IA f

反函数 反函数存在的条件 (1) 任给函数F, 它的逆F 1不一定是函数, 只是一个二元关系. (2) 任给单射函数 f:A→B, 则f 1是函数, 且是从ranf 到A的双 射函数, 但不一定是从B到A的双射函数 (3) 对于双射函数 f:A→B, f 1:B→A是从B到A的双射函数. 定理8.4 设 f:A→B是双射的, 则f 1:B→A也是双射的.对于双 射函数f:A→B, 称 f 1:B→A是它的反函数. 定理8.5 (1) 设 f:A→B是双射的, 则 f 1f = IB, f f 1 = IA (2) 对于双射函数 f:A→A, 有 f 1 f = f  f 1 = IA

反函数的性质 例5 设 求 f  g, g  f. 如果f 和 g 存在反函数, 求出它们的反函数.

求解 解  f:R→R不是双射的, 不存在反函数. g:R→R是双射的, 它的反函数是 g1:R→R, g1(x)=x2

集合的等势 集合的势是量度集合所含元素多少的量. 集合的势越大, 所含 的元素越多.  定义8.8 设A, B是集合, 如果存在着从A到B的双射函数, 就称 A和B是等势的, 记作A≈B. 如果A不与B 等势, 则记作A≉B. 例6 (1) Z≈N. Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z： 0 1 1 2 2 3 3 … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ N： 0 1 2 3 4 5 6 … 这种对应所表示的函数是： 则 f 是Z到N的双射函数. 从而证明了Z≈N.

(2) N×N≈N. 为建立N×N到N的双射函数, 只需把N×N中所有的元素排成一个有序图形, 如下图所示 (2) N×N≈N. 为建立N×N到N的双射函数, 只需把N×N中所有的元素排成一个有序图形, 如下图所示. N×N中的元素恰好是坐标平面上第一象限(含坐标轴在内)中所有整数坐标的点. 如果能够找到“数遍”这些点的方法, 这个计数过程就是建立N×N到N的双射函数的过程. 按照图中箭头所标明的顺序, 从<0,0>开始数起, 依次得到下面的序列： <0,0>, <0,1>, <1,0>, <0,2>, <1,1>, <2,0>, … ↓ ↓    ↓   ↓ ↓ ↓ 0 1 2     3 4 5

集合等势的实例: N×N≈N N×N≈N. N×N中所有的元素排成有序图形

(3) N≈Q. 为建立N到Q的双射函数, 先把所有形式为p/q(p,q为整数且q>0)的数排成一张表. 显然所有的有理数都在这张表内. 请看下图.以0/1作为第一个数, 按照箭头规定的顺序可以“数遍”表中所有的数. 但是这个计数过程并没有建立N到Q的双射, 因为同一个有理数可能被多次数到. 例如1/1, 2/2, 3/3, …都是有理数1.为此我们规定, 在计数过程中必须跳过第二次以及以后各次所遇到的同一个有理数. 如1/1被计数, 那么2/2, 3/3, …都要被跳过. 表中数p/q上方的方括号内标明了这个有理数所对应的计数.

集合等势的实例: N≈Q N≈Q. 双射函数 f:N→Q, 其中f(n)是[n]下方的有理数. [18] [5] [4] [0] [1] [10] [11] -3/1 -2/1 -1/1 0/1 1/1 2/1 3/1 … [17] [3] [2] [12] -3/2 -2/2 -1/2 0/2 1/2 2/2 3/2 … … [6] [7] [8] [9] … -3/3 -2/3 -1/3 0/3 1/3 2/3 3/3 … [16] [15] [14] [13] … -3/4 -2/4 -1/4 0/4 1/4 2/4 3/4 … …

实数集合的等势 (4) (0,1)≈R. 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}. 令 (5) [0,1]≈(0,1). 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开区间和闭区间. 令 f : [0,1](0,1) 对任何a, b∈R, a<b, [0,1]≈[a,b]，双射函数 f:[0,1]→[a,b], f(x)=(ba)x+a 类似地可以证明, 对任何a, b∈R, a<b, 有(0,1)≈(a,b).

实例 定理8.6 设A, B,C是任意集合， (1) A≈A (2) 若A≈B，则B≈A (3) 若A≈B，B≈C，则A≈C. 等势结果 N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N 任何实数区间都与实数集合R等势 不等势的结果: 定理8.7 (康托定理) (1) N ≉ R； (2) 对任意集合A都有A≉P(A)