第 10 章 应力状态理论和强度理论 §10-1 概 述 §10-2 平面应力状态分析 §10-3 三向应力状态的应力圆 第 10 章 应力状态理论和强度理论 §10-1 概 述 §10-2 平面应力状态分析 §10-3 三向应力状态的应力圆 §10-4 平面应力状态下的虎克定律 §10-5 强度理论及其应用

1. 应力状态的概念 2. 平面应力状态分析 3. 平面应力状态下的胡克定律 4. 三向应力状态 5. 强度理论及其应用

§10-1 概 述 1. 应力状态的概念 应力状态 ： 过一点各方向截面上的应力的集合叫做一点的应力状态。 应力状态分析 ： §10-1 概 述 1. 应力状态的概念 应力状态 ： 过一点各方向截面上的应力的集合叫做一点的应力状态。 应力状态分析 ： 分析一点的应力随截面方位改变而变化的规律。 应力状态分析的目的： 为强度分析计算打基础。了解强度破坏的力学因素。

通过杆内任意一点所作各个截面上的应力随着截面的方位而改变。 轴向拉压时杆件斜截面上的应力分析

类似地，受扭杆件通过杆内任意一点所作各个截面上的应力也随着截面的方位而改变。 y a b c d e n x (a) d e t n x c (b)

根据对应力状态的分析，可以了解杆件中材料破坏的力学因素，并建立强度条件。

回顾单向应力状态的情况 铸铁轴向拉伸： 沿横截面拉断破坏，断口平齐。 铸铁轴向压缩： 沿斜截面剪断破坏。 低碳钢轴向拉伸时，沿45º 斜截面滑移而产生屈服流动。断口有颈缩现象。

铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿45º 方向拉伸引起的断裂。 低碳钢扭转： 沿横截面剪断破坏。 铸铁扭转： 沿斜截面拉断破坏。 T 断裂线 σmin 铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿45º 方向拉伸引起的断裂。

作构件强度计算时，对于轴向拉压和纯弯曲的构件，由于其材料处于单向拉伸或压缩状态，故可根据构件横截面上的正应力与也是单向拉伸（压缩）时材料的容许应力加以比较来建立强度条件。 对于自由扭转的构件，其材料处于纯剪切应力状态，故可根据构件横截面上的切应力与纯剪切时材料的容许应力加以比较来建立强度条件。 但对于一般的情况，例如梁在横力弯曲时，在梁的横截面上，除去离中性轴最远的和中性轴上的各点以外，在其他各点处既有正应力又有切应力，

材料处于复杂的应力状态。当需要按照这种点处的 应力对梁进行强度计算时，必须考虑两种应力对材料强度的综合影响。要解决这类情况下的强度计算问题，就需要全面的研究一点处的应力状态。 2. 应力状态分析的方法 取研究对象 截开并考察平衡 讨论结果 单元体：一点处取出的边长无限小的正立方体。 应力特点：单元体各表面上的应力视为均匀分布。平行面上的应力相等。相邻垂直面上的剪应力根据切应力互等定理确定。

T F F FS M

§10-2 平面应力状态分析 平面应力状态 1. 求斜截面上的应力

2. 作应力圆 应力圆方程： A1 A2 O 应力圆圆心： 半径：

应力圆与单元体的对应关系： (1) 点与面对应。 (2) 倍角与角对应。 作应力圆： (1) 注意截面的选取 (2) 注意应力的符号，特别是剪应力 求斜截面上的应力： (1) 找准起始点 (2) 角度的旋转以C为圆心 (3) 旋转方向相同 (4) 2倍角的关系 (5) 应力的符号

角度的取值范围和对应关系：  x y      O Dx Dy C Da 2 2

单元体内切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力是单元体内各截面上正应力的极值，称为主应力。 3. 主应力与主平面 单元体内切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力是单元体内各截面上正应力的极值，称为主应力。 A1 A2 O s 可以证明，受力物体内任何一点处至少有三个相互垂直的主平面和三个相应的主应力。

平面应力状态为有两个主应力不等于零的应力状态。 A1 A2 O s 平面应力状态为有两个主应力不等于零的应力状态。

 x y x 1 2 A1 A2 O s 1  2

如图所示的三个单元体是否处于平面应力状态？ 思考题 10－1 如图所示的三个单元体是否处于平面应力状态？ (a) (b) (c)

思考题10 -1参考答案： 单向应力状态 (a) (b) (c) 平面应力状态 单向应力状态

思考题 10-2 根据图示应力圆是否可知，对于图(a)示的单元体，(1) 垂直于 x y平面的截面上之最大切应力其值为tmax=(s1-s2)/2，作用在自s1作用截面逆时针旋转45º的面上；（2）该截面上还有正应力，其值为(s1-s2)/2。 A1 A2 O s  x y x 1 2

思考题 10-3 求图示应力状态下单元体的与纸面垂直的任意截面上的应力。

平面应力状态的应力圆 1  2 3 2 3 1=0 1 2 3=0 1 3 2=0 平面应力状态

单向应 力状态 平面应 力状态  1=s 2= 3 = 0  3 = - 1=2 = 0 3=- 1 =   2= 0 3=-  平面应 力状态

4. 小结： (1) 一点的应力随截面方位的改变而变化。 A1 A2 O s (2) 切应力极值：

(3) 正应力极值： s1 s2 (4) 主平面·主应力·主方向 A1 A2 O s

5. 点的应力状态分析 (1)基本概念，描述方法及其分类(回顾） 描述方法：单元体法三个方向均为无穷小的立方体 特点： 每个面上应力均匀分布相互平行的一对面上应力相等，且等于杆件相应截面上该点的应力。 应力符号规定：

正应力—拉为正，压为负 切应力—从坐标轴正向看，绕单元体内任意点顺时针转时为正，反之为负。 (2)点的应力状态分类： 主平面(principal plane of stress) 切应力等于零的面。 主应力 (principal stress) 即主平面上的正应力。对任一点必存在三个 相互垂直的主平面及相应的主应力，约定三个主应力按代数值大小排序。

分类 (a) 单向应力状态（ uniaxial stress )只有一个主应力不为零。 (b) 平面（二向）应力状态有两个主应力不为零。 (c) 空间（三向）应力状态三个主应力均不为零。

6. 平面（二向）应力状态分析 已知:单元体各面应力大小求任一斜截面上的应力由平衡方程。 (1)

求最大、最小正应力及其方位—主应力及主方向 (2) 求最大、最小正应力及其方位—主应力及主方向 令 A1 A2 O s 得 另一主应力为零。

(4) 例题：纯剪切应力状态，求主应力及主方向。

1 =  2= 0 3=- (5) 常见的二向应力状态

§10-3 三向应力状态的应力圆 1  2 3 1 2 3=0 3 2=0 1=0 平面应力状态

单向应 力状态 平面应 力状态  1=s 2= 3 = 0  3 = - 1=2 = 0 3=- 1 =   2= 0 3=-  平面应 力状态

可以证明，代表不平行于任一主应力的任意斜截面上的应力的点必定落在三个以主应力作出的应力圆之间。 1 3 2 应力圆表达了与主应力为零的面相垂直的诸截面上应力情况。事实上即使那个面上的主应力不为零而单元体处于三向应力状态，因为平行于该主应力的那组截面上的应力不受它的影响，而按平面应力状态绘出的通过表示主应力s1、s2的点A1 A2之应力圆，仍然表示那组截面上的应力情况，即代表平行于该主应力的诸截面上应力的情况。 1 3  可以证明，代表不平行于任一主应力的任意斜截面上的应力的点必定落在三个以主应力作出的应力圆之间。  A1 A2 A3 O

三向应力状态 1 3 2  A1 A2 A3 O 1 3 2 1 3 2 1 3 2

三向应力状态  A1 A2 A3  O 1 3 2 1 3 

§10-4 平面应力状态下的胡克定律 各向同性材料在平面应力状态下，当变形微小时，线应变只与该点处的正应力相关，而与剪应力无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的平面应力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪切应力状态的叠加。

平面应力状态下的胡克定律： 三向应力状态下的胡克定律 x x y

已知|ea |+|eb |= 40010 -6 ，E=200 GPa,n =0.25，D =120 mm, d =80 mm，求T。 例题 10－1 解： T 135 45 a b  = 

例题 10－1 T 135 45 a b  =   = 

例题 10－1 T 135 45 a b  = 

平面应力状态下由测点处的线应变求应力

平面应力状态下由测点处的线应变求应力 根据胡克定律： x y 45º 45º x 45º 45º -45º

x x y s x 45º 45º -45º 一般地说，要确定一点处的平面应力状态，必须测定三个方向的线应变；只有在确切知道该点处两个不为零的主应力之方向的情况下，才只需测定这两个主应力方向的线应变。

§10-5 强度理论及其应用 研究材料发生强度破坏的力学因素的假说通常称之为强度理论。 §10-5 强度理论及其应用 研究材料发生强度破坏的力学因素的假说通常称之为强度理论。 1 3 2 1 < [] 1 强度极限无法通过试验来测定，需要分析材料发生强度破坏的力学因素，以推断在复杂应力状态下的强度。 强度极限可以通过试验来测定。

(1) 脆性破坏：没有明显的塑性变形例如铸铁在室温、静载下受单向拉伸时，断口平齐。 1 F 1. 两种破坏形式： (1) 脆性破坏：没有明显的塑性变形例如铸铁在室温、静载下受单向拉伸时，断口平齐。 (2) 塑性破坏：有明显的塑性变形，例如低碳钢在室温、静载下受单向拉（压）及三向压缩时发生屈服，断口有颈缩。

适用范围: (Ⅰ) 脆性材料在单向拉伸和纯剪应力状态下发生的破坏 (Ⅱ) 铸铁在双向受拉和一拉一压的平面应力状态下 2. 四个基本的强度理论 (1) 关于脆性断裂的强度理论 (a) 最大拉应力理论 破坏条件：1 = u,b 强度条件：1 ［］ 适用范围: (Ⅰ) 脆性材料在单向拉伸和纯剪应力状态下发生的破坏 (Ⅱ) 铸铁在双向受拉和一拉一压的平面应力状态下 T 断裂线 σmin

(b) 最大伸长线应变理论 破坏条件： 1 = u,b ， 强度条件： 适用范围：(Ⅰ) 石料等脆性材料在单向压缩状态下发生的破坏。 (Ⅱ) 铸铁一拉一压的平面应力状态下偏于安全。

（2）关于塑性屈服的强度理论 (c) 最大切应力理论 破坏条件：max =  u,s ， 强度条件：1 - 3 ［］ 适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性材料。 (d) 形状改变比能理论 破坏条件一：ud = ud,u

破坏条件二： 强度条件： 适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性材料。

3. 强度理论的应用 对图示平面应力状态，试证明。 (1) 按第三强度理论：   (2) 按第四强度理论：

第十章结束