八年级上册数学 用数学知识解决实际问题 13.4 课题学习 最短路径问题 广东惠阳高级中学初中部 骆成锋
探索新知 问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？ B A l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ B A l
追问 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 追问 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． B · A l
追问 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ · l A 追问 你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ · l A B′ C 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ · l A B′ C
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′． ∵在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短． B · l A B′ C C′
运用新知 练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返
基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 一点R，使PR与QR 的和最 小”． A B C P Q 山 河岸 大桥
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。
问题2 造桥选址问题如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN. 桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢? 2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢? 思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转 化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢? (估计有以下方法) 1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连. 上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验. 1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?
问题2 造桥选址问题如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN. 桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 解:如图,平移A到A’,使AA’等于河宽,连接A’B交河岸于N.作桥MN, 此AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M’N’,连接AM’,BN’,A’N’. 由平移性质可知,AM=A’N,AA’=MN=M’N’,AM’=A’N’. AM+MN+BN转化为AA’+A’B, 而AM’+M’N’+BN’ 转化为AA’+A’N’+BN’. 在△A’N’B中,由线段公理知A’N’+BN’>A’B. 因此AM’+M’N’+BN’> AM+MN+BN, 如图所示:
归纳小结 （1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
布置作业 课本91页练习．