计算机科学与技术专业研究型课程 向量和向量的运算 宋传鸣 chmsong@lnnu.edu.cn 辽宁师范大学计算机与信息技术学院

数系 上帝创造了自然数,其余是人的工作—Kronecker 由人类智慧所创造的数,可用来数各种集合中的对象的个数,它和对象所特有的性质无关 自然数:用以计量事物的件数或表示事物次序的数,即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数 0:= , 1:= , 2:= , ……, k+1:={0,1,..,k} N := {0,1,2,…} 整数:像-2, -1, 0, 1, 2这样的数 整数全体构成整数集,整数集合是一个数环 (+, ×) 封闭、结合律、交换律、单位元、逆元、分配律 有理数(Rational Number):整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数m/n (m,n都是整数,且n≠0)的形式 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积 莱布尼茨十分欣赏二进制数，用拉普拉斯的话说，莱布尼茨在他的二进位算术中看到了宇宙创始的原象。他想象1表示上帝 0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有实物，恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数

数系 无理数:不能写作两整数之比的数 有理点全体不能覆盖整个数轴 根号2不是有理数 实数连续统:包括有理数和无理数.无理数是无限不循环小数,有理数包括整数和分数 复数:能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位(即-1开根) 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作 代数数和超越数 满足方程 的x称为代数数(既可以是实数,也可以是复数) 超越数:e,π, 等 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

什么是向量？ 既有大小又有方向的量称为向量(Vector) 如:物理中的力、位移、速度、加速度等 常用黑体字母a表示,或用 的形式表示 对于空间中的一条直线段AB,规定两个端点中的一个(A)为始点,另一个(B)为终点,就得到一个有向线段,记为 .一个向量可以用有向线段表示 在空间中取定单位长度后,线段AB的长度称为向量 的长度或模(Norm),记作 如果两个向量可以平行移动到同一条直线上,则称这两个向量共线 如:平行四边形的对边,梯形的上下底 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积 A B C D

向量的基本概念 零向量(Zero vector):长度为0的向量 与向量 大小相同但方向相反的向量称为 的负向量,记为 约定零向量可以指向任何一个方向 零向量与任何向量共线 与向量 大小相同但方向相反的向量称为 的负向量,记为 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积 A B C D

向量的加法运算 向量的加法:三角形法则或四边形法则 向量加法的性质 结合律: 交换律: 单位元: 逆元: n个向量相加:把代表n个向量的有向线段首尾相接,以第一个向量的始点为始点,以最后一个向量的终点为终点的有向线段就是这n个向量之和 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量的减法运算 向量的减法:由负向量,有 例:设 、 和 是互不共线的3个向量.试证明顺次将它们的终点与始点相连能构成一个三角形的充分必要条件是 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量的标量乘法运算 实数k与向量 的标量乘积 是一个向量,它的长度是 的长度的 倍 向量的标量乘法的性质:对于任意的向量 , 以及实数k, m,有 结合律: 分配律: 单位元: 向量的加法与标量乘法统称向量的线性运算 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量的标量乘法运算 已知平行六面体3条棱的向量分别为 , , . A,B,C,D,E,F分别是6条棱的中点.求证向量 , 和 能构成三角形. 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积 C D E B F A

向量的共线 如果向量 与 共线,则表示它们的有向线段一定平行 如果 与 共线并且 ,则存在唯一的实数k使得 二者方向相同,只需证明其大小 如果向量 与 共线,则表示它们的有向线段一定平行 零向量与任意向量共线 共线的向量一定共面 如果 与 共线并且 ,则存在唯一的实数k使得 二者方向相同,只需证明其大小 存在性 唯一性 两个向量 和 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数k,m,使得 向量 与 不共线的充分必要条件是从上面的等式一定可以推出k=m=0 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量的线性相关与线性无关 设 是一组向量, 是一组实数.称向量 为向量组的线性组合(Linear Combination),称向量 可以由向量组 线性表示 如果有一组不全为0的实数 使得式 成立,则称此向量组 线性相关.反之,如果从上式可以推出 ,则称此向量组线性无关(Linear Independent) 两个向量共线的充要条件是它们线性相关;两个向量不共线的充要条件是它们线性无关 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量的共面 如果向量 能被向量 , 线性表示,即 ,则 , , 共面 若 与 共线 若 与 不共线 如果向量 能被向量 , 线性表示,即 ,则 , , 共面 若 与 共线 若 与 不共线 如果 , , 共面,且 , 不共线,则 可以由 , 线性表示,并且表示方式唯一,即存在唯一的一对实数k,m,使得 存在性 唯一性 , , 共面的充分必要条件是 , , 线性相关,即存在不全为0的实数k,m,l,使得 三个向量不共面的充要条件是它们线性无关 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

位置向量 可以在空间任意平移的向量称为自由向量 在空间取定一个点O,称为原点(Origin).再规定所有向量的始点都是原点,这样的向量称为位置向量(Position Vector) 两个位置向量相等当且仅当它们的终点重合 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积 空间的自由向量的集合 空间的位置向量的集合 空间的点的集合

用坐标表示向量 给定了空间中三个不共面(即线性无关)的向量 , , ,则对于空间内任意一个向量 必存在三个唯一确定的实数x,y,z,使得 给定了空间中三个不共面(即线性无关)的向量 , , ,则对于空间内任意一个向量 必存在三个唯一确定的实数x,y,z,使得 存在性 唯一性 (三维)空间中4个或4个以上的向量必定线性相关 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

坐标 空间中的任意三个有次序的线性无关(即不共面)向量 , , 称为空间的一个基(Basis).对于空间中向量 ,如果 ,则把有序三元实数组(x,y,z)称为 在基 , , 下的仿射坐标,简称坐标 空间中两个向量相等的充分必要条件是它们在同一个基下的坐标相同 空间中取定的原点O和一个基 , , 称为空间的一个仿射标架或仿射坐标系,记作[O; , , ].对于空间中的任意一点P,位置向量 在 , , 下的坐标称为点P在仿射标架下的仿射坐标 的坐标(x,y,z)等价于 空间点的集合 有序三元实数组的集合 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

平面坐标系的贡献者 皮埃尔·德·费马:法国律师和业余数学家,似乎对数论最有兴趣,亦对现代微积分的建立有所贡献 勒内·笛卡尔:著名的法国哲学家,科学家和数学家.他对现代数学的发展做出了重要的贡献,因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父 二者用的坐标都是倾斜的 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积 应该指出，“解析几何（Analytic Geometry）”中的“解析”的本意是“代数”，笛卡尔的指导思想是用代数方法研究几何。

左手坐标系和右手坐标系 右手坐标系:伸出右手的大拇指、食指和中指,并互为90度,则大拇指代表X坐标,食指代表Y坐标,中指代表Z坐标.大拇指的指向为X坐标的正方向,食指的指向为Y坐标的正方向,中指的指向为Z坐标的正方向 左手坐标系:伸出左手的大拇指、食指和中指,并互为90度,则大拇指代表X坐标,食指代表Y坐标,中指代表Z坐标.大拇指的指向为X坐标的正方向,食指的指向为Y坐标的正方向,中指的指向为Z坐标的正方向 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量坐标与线性运算的关系 假设已取定了空间的一个仿射坐标系[O; , , ] 设 在这个标架下的坐标为(a1,a2,a3), 的坐标是 (b1,b2,b3),则 向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

线性相关性与线性方程组 在空间取定了一个仿射标架[O; , , ]后,向量间的线性关系就转化成它们坐标的线性方程组 例:设 确定3个向量是否线性相关 例: 能否表示成 的线性组合? 设有二元线性方程组 ,其解为 其中 称为系数行列式 当D不等于0时,二元线性方程组有唯一解 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

线性相关性与线性方程组 设有三元线性方程组 , 其解为 当D不等于0时,三元线性方程组有唯一解 齐次线性方程组有非零解的充要条件是D=0 设有三元线性方程组 , 其解为 当D不等于0时,三元线性方程组有唯一解 齐次线性方程组有非零解的充要条件是D=0 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

利用解线性方程组解向量组的线性相关性 例1:已知 , , 的坐标为(1,2,3),(-1,1,-2),(-1,4, -1).这三个向量是否线性相关?如果相关,写出线性关系式 例2:已知 , , 和 的坐标为(2,1,1),(-4,-5,1),(1,3,1),(1,2,-1).证明 可以由其余三个向量线性表示,并写出其表达式 结论1:两个非零向量 , 共线的充要条件是 结论2: 3点 共线的充要条件是 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

利用解线性方程组解向量组的线性相关性 结论3:向量 , 与 共面的充要条件是它们的坐标构成的行列式 结论4: 4点 共面的充要条件是 结论3:向量 , 与 共面的充要条件是它们的坐标构成的行列式 结论4: 4点 共面的充要条件是 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

直角坐标系 单位向量:长度等于1的向量. 与 同方向的单位向量记作 ,即 直角坐标系:如果 , , 两两垂直,并且都是单位 向量,则[O; , , ]称为一个直角标架或直角坐 标系(rectangular coordinate system).点或向量在 直角坐标系下的坐标称为它的直角坐标 习惯上,几何空间中直角标架的基向量记为 分别代表x,y,z轴方向上的单位向量 仿射标架的基向量记为 , , ,代表x,y,z轴方向上的单位向量 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量的几何性质 向量的仿射性质 向量的度量性质 仿射性质与度量性质的关系 与向量的平行、比例、共线、共面、相交等有关的性质 在仿射变换下保持不变——仿射坐标系 只需向量的线性运算就能导出 向量的度量性质 与向量的长度、向量间的夹角等有关的性质 在正交变换下保持不变——直角坐标系 仿射性质与度量性质的关系 仿射性质一定是度量性质 度量性质不一定是仿射性质 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

多坐标系 基本概念 用户坐标系 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 造型变换 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积 世界坐标系 取景变换 视点坐标系 投影变换 图像坐标系

多坐标系 世界坐标系 物体坐标系(局部坐标系,模型坐标系) 建立了描述其它坐标系所需要的参考框架 能够描述其它坐标系的位置 关于该坐标系的典型问题有关初始位置和环境 每个物体的位置、方向及其运动策略 摄像机的位置和方向 世界上每一点的地形是什么 物体坐标系(局部坐标系,模型坐标系) 与特定物理相关联.当物体移动或改变方向时,和该物体相关联的坐标系将随之移动或改变方向 模型顶点的坐标都是在物体坐标系下描述的 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

多坐标系 摄像机坐标系(视点坐标系) 摄像机在原点,x轴向右,y轴向上,z轴向前 该坐标系定义在摄像机的屏幕可视区域 关于该坐标系的典型问题有关哪些物体应该在屏幕上绘制出来 3D空间中的给定点是在屏幕上,还是超出了摄像机平截椎体的左、右、上、下边界 某个物体是否在屏幕上?它的部分在,或全部不在? 两物体中,谁在前面? 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

多坐标系及其关系 局部坐标系 世界坐标系 视点坐标系 窗口坐标系 规格化设备 坐标系 屏幕坐标系 基本概念 造型变换 向量线性运算 取景变换 投影变换 设备变换 视窗变换 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

射影(Projection) 射影:空间中有一点A与一条直线l,过A作一个平面与l垂直,并与l相交于点A’,则称A’为点A在直线l上的射影,记为 ,且 , k称为 在方向 上的分量,记为 ,则 ,其中 ,该 分解称为 沿着 方向的正交分解(该分解唯一) 在单位向量 的方向上的分量为 设 是一个单位向量,则对任意向量 ,有 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量内积(Inner Product)的定义 两个向量 和 的内积 定义为一个实数,即 内积也称为标量积(scalar product)或代数积 向量内积与射影分量间的关系 如果 ,有 向量内积与向量间的夹角 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量内积(Inner Product)的定义 命题:向量 与 垂直(假定零向量垂直于任何向量)的充要条件是 向量内积的性质 对称性: 加法的线性性质: 标量乘法的线性性质: 正定性: ,等号当且仅当 时成立 例 利用向量证明平行四边形对角线的平凡和等于各边的平方和 已知三棱锥O-ABC中,OA⊥BC,OB⊥CA,求证: OC⊥AB 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

用直角坐标计算向量的内积 命题:设向量 与 在直角坐标系[O; , , ]下的坐标分别为(a1,a2,a3)与(b1,b2,b3),则它们的内积为 两点A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2), 对于向量 与 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

用直角坐标计算向量的内积 命题:设向量 与 在直角坐标系[O; , , ]下的坐标分别为(a1,a2,a3)与(b1,b2,b3),则它们的内积为 方向角与方向余弦 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量外积(Exterior Product)的定义 两个向量 和 的外积 定义为一个向量,即 长度: 方向:与 , 均垂直,并且使 成右手系 内积也称为向量积(cross product) 当 , 不共线时,长度 表示以 , 为邻边的平行四边形的面积 命题1: 与 共线的充要条件是 命题2:设 是单位向量, ,则 等于 按右 手螺旋规则绕 旋转90度得到的向量 若[O; , , ]为右手直角坐标系,则有 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量外积的性质和计算 外积的运算性质:对于任意向量 和任意实数k,有 用直角坐标计算向量的外积 反交换律: 分配律: 设[O; , , ]是一个右手直角坐标系, 和 在其中的坐标分别为(a1,a2,a3),(b1,b2,b3),则 的坐标为 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量外积与内积在几何中的应用 例1:已知空间3点A(1,0,-1), B(4,1,1), C(0,4,-6).求 (1)三角形ABC的面积;(2)求AB边上的高的长 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量外积与内积在几何中的应用 例2:已知长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=4,|OC|= 6,|OO1|=4. P是棱AB上的点,且|BP|=2|AP|,Q是棱 CC1的中点,M是线段O1B1的中点.求点M到直线 PQ的距离 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量外积与内积在几何中的应用 平面间的夹角、直线与平面的夹角 设 与 是平面II上的两个不共线的向量,那么它们的外积是平面II的法向量 两个平面所成的平面角等于它们的法向量的夹角(当夹角是锐角时)或夹角的补角(当夹角是钝角时) 直线与平面所成的角等于这条直线与平面法向量夹角的余角(当夹角是锐角时)或夹角减去90度(当夹角是钝角时) 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量外积与内积在几何中的应用 例3:已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=6,|AD|= 4,|DD1|=4. E,F分别是棱B1C1和C1D1的中点,求:(1) AD1与EF所成的角;(2)AD1与平面BEFD所成的 角;(3)二面角B1-BE-F的大小;(4)A点到平面BEF D的距离 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量混合积(Mixed product)的定义 设 是3个向量,称 为这三个向量的混合积,也记作 命题1: 3个向量 的混合积的绝对值等于这3个向量张成的平行六面体的体积 当 构成右手系时混合积取正值,构成左手系时混合积取负值 命题2: 3个向量共面的充要条件是 命题3:轮换混合积的3个因子不会改变它的符号,而对换任何2个因子要改变混合积的符号,即 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量混合积的性质 例:设3个向量 满足 混合积的线性性质 证明3个向量共面 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 例:设3个向量 满足 证明3个向量共面 混合积的线性性质 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量混合积的计算 用直角坐标计算向量的外积 例: 已知混合积 求 被这3个向量线 性表示 的系数 设[O; , , ]是一个右手直角坐标系, 在其中的坐标分别为(a1,a2,a3),(b1,b2,b3),(c1,c2,c3),则 例: 已知混合积 求 被这3个向量线 性表示 的系数 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积

向量混合积的计算 推论:设3个向量在一个右手直角坐标系下的坐标分别是(a1,a2,a3),(b1,b2,b3),(c1,c2,c3),则3个向量共面的充要条件是 基本概念 向量线性运算 共线与共面 向量与坐标 多坐标系 向量的内积 向量的外积 向量的混合积