第2讲 对数式与对数函数 考纲要求 考纲研读 1.理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式能将一般对数转 化成自然对数或常用对数；了解对 数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念；理解对 数函数的单调性，掌握函数图象通 过的特殊点． x 3．了解指数函数 y＝a 与对数函 数 y＝logax 互为反函数(a>0， a≠1). 1.能进行指数式与对数式的互化， 能根据运算法则、换底公式进行运 算． 2．能利用对数函数的单调性比较 大小、解对数不等式，会解对数方 程，利用图象判断解的个数． 3．反函数的概念仅限于指数函数 与对数函数之间． 4．会求与不等式相结合的代数式 的最值或参数的取值范围.

1．对数的概念 (1)如果 ax＝N(a>0 且 a≠1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)对数恒等式：loga1＝0，logaa＝1， ＝N. (3)以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lgN；以 e 为底的对 数叫做自然对数，记作 lnN.

2．对数的运算性质 如果 a>0，a≠1，M>0，N>0，则 logaM＋logaN n·logaM logaM－logaN 3．换底公式 (1)logbN＝_______(a，b>0，a，b≠1，N>0)． (2)logba·logab＝____(a>0，a≠1，b>0) 1

x∈(0,1)时 y＜0， x∈(0,1)时 y＞0， y＝logax(a>1) y＝logax(0<a<1) 4．对数函数的图象及性质 y＝logax(a>1) y＝logax(0<a<1) 图象 定义域 值域 R 性质 过定点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝0 x∈(0,1)时 y＜0， x∈(1，＋∞)时 y＞0 x∈(0,1)时 y＞0， x∈(1，＋∞)时 y＜0 在(0，＋∞)上是单调递____ 在(0，＋∞)上是单调递___ (0，＋∞) 减 增

5.指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为反函数，它们的图 象关于直线 y＝x 对称． D A

f(2)＝1，则 f(x)＝( 3．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的反函数，且 A ) 4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( C ) 9 5．(2011 年广东清远一模)若 log2(a＋2)＝2，则 3a＝___.

考点1 对数式的运算 例1：①已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1245＝_________.

②(2010年四川)2log510＋log50.25＝(　　) C A．0 B．1 C．2 D．4 解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.故选C. A

对数，并且设法将12 与45 转化为2,3 来表示；(2)题直接利用对 数的运算法则；(3)题考查指数式与对数式的互化及换底公式的变 (1)题应设法对数换底公式将 log1245 换成以常用 对数，并且设法将12 与45 转化为2,3 来表示；(2)题直接利用对 数的运算法则；(3)题考查指数式与对数式的互化及换底公式的变 1 logba 形形式 logab＝ .对数的运算法则及换底公式是对数运算的基 础，应该熟记并能灵活应用．

【互动探究】 3 1 3

例2：已知 loga2＜logb2，则不可能成立的是( D ) 考点2 对数函数的图象 例2：已知 loga2＜logb2，则不可能成立的是( D ) A．a>b>1 B．b>1>a>0 C．0<b<a<1 D．b>a>1 解析：(1)令y1＝logax，y2＝logbx，由于loga2＜logb2，它们的 函数图象可能有如下三种情况，由图D5(1)、(2)、(3)，分别得 0＜a＜1＜b，a＞b＞1,0＜b＜a＜1. 图D5

【互动探究】 2．如果函数 y＝a－x(a＞0，a≠1)是增函数，那么函数 f(x)＝ 1 x＋1 loga 的图象大致是( D )

3．已知函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x＋1)＝f(x－1)，且当 x∈ [-1,1]时，f(x)＝x2，则方程 y＝f(x)与 y＝log5x 的实根个数为( C ) A．2 B．3 C．4 D．5 　　解析：由f(x＋1)＝f(x－1)知函数y＝f(x)的周期为2，作出其图象如图D6，当x＝5时，f(x)＝1，log5x＝1；当x＞5时，f(x)∈[0,1]，log5x＞1，y＝f(x)与y＝log5x的图象不再有交点，故选C. 图D6

考点3 　对数函数性质及其应用 例3：①已知 y＝f(x)是二次函数，且 f(0)＝8 及 f(x＋1)－f(x) ＝－2x＋1. (1)求 f(x)的解析式； (2)求函数 y＝log3f(x)的单调递减区间及值域． 解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c， 由f(0)＝8得c＝8. 由f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1得a＝－1，b＝2. ∴f(x)＝－x2＋2x＋8. (2)y＝log3f(x)＝log3(－x2＋2x＋8)＝log3[－(x－1)2＋9] 当－x2＋2x＋8>0时，－2<x<4， 单调递减区间为(1,4)，值域(－∞，2]．

x－1＞0， a－x＞0， a＝－x2＋5x－3， 根的个数． 3－x＞0， 解析：原方程等价于 (x－1)(3－x)＝a－x， ②设 a 为常数，试讨论方程 lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实 根的个数． 解析：原方程等价于 3－x＞0， a－x＞0， (x－1)(3－x)＝a－x， 即 a＝－x2＋5x－3， 1＜x＜3. 构造函数y＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)和y＝a， x－1＞0，

作出它们的图象，如图3－2－1. 易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况： 图3－2－1

【互动探究】 增区间为( C ) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0,2) D．(－2,0]

5．关于 x 的方程 lg(ax－1)－lg(x－3)＝1 有解，则 a 的取值范 围是____________.

1．比较两个对数的大小的基本方法 (1)若底数相同，真数不同，可构造相应的对数函数，利用其 单调性比较大小． (2)若真数相同，底数不同，则可借助函数图象，利用图象在 直线 x＝1 右侧“底大图低”的特点比较大小． (3)若底数、真数均不相同，则经常借助中间值“0”或“1”比较 大小． 2．解决对数函数的相关问题时，一定要重视图象的应用．

a≠1，若不清楚其取值范围时，应树立分类讨论的数学思想，分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论． 对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、 积，要注意公式应用的条件为 M>0，N>0；在讨论对数函数的性 质时，应注意定义域及底数的范围，必须时刻注意底数 a>0 且 a≠1，若不清楚其取值范围时，应树立分类讨论的数学思想，分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论．