第二部分 集合论 第六章 集合代数 主要内容 集合的基本概念 属于、包含 幂集、空集 文氏图等 集合的基本运算 并、交、补、差等 集合恒等式 第二部分 集合论 第六章 集合代数 主要内容 集合的基本概念 属于、包含 幂集、空集 文氏图等 集合的基本运算 并、交、补、差等 集合恒等式 集合运算的算律、恒等式的证明方法

6.1 集合的基本概念 1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集 合的元素 6.1 集合的基本概念 1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集 合的元素 例：方程x2－1＝0的实数解集合； 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 教室内的桌椅、图书馆的藏书、全国的高等学校、自 然数的全体、直线上的点…… 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合

6.1 集合的基本概念 2. 集合表示法 列元素法（枚举法）----是列出集合的所有元素, 元素之间 用逗号隔开, 并把它们用花括号括起来. 6.1 集合的基本概念 2. 集合表示法 列元素法（枚举法）----是列出集合的所有元素, 元素之间 用逗号隔开, 并把它们用花括号括起来. 例如 A={a, b, c, …, z} N={0,1,2,3,…} Z={0, ±1, ±2, …} 谓词表示法----通过谓词概括集合元素的性质 例如： S={ x | x是实数∧ x21=0} 表示方程x2－1＝0的实数解集. 有些集合可以用列元素法，也可以用描述法，它们之间 可以相互转化，但是有些集合不能用列元素法，如实数集Ｒ

3.集合的性质 (1) 互异性：集合的元素是彼此不同的, 如 {1, 1, 2, 2, 3}＝{1, 2, 3} （2）无序性：集合的元素是无序的, 如 {1, 2, 3}＝{3, 1, 2} （3）确定性：集合中的元素是确定的，对元素a和集合A，有 a ∈ A或a A，必居其一且只居其一 （４）任意性：集合的元素也可以是集合

元素与集合 ４．元素与集合的关系 隶属关系： 或者  ５．集合的树型层次结构 例如：A={ a, { b,c} ,d ,{ { d } } } 这里 dA ，{b,c}A，{{d}}A。 但是 bA，{d}A 可以用一种树形图来表示这种隶属关系。

元素与集合 在本课程所中所采用的体系中规定集合的元素都是集合. 

集合与集合 集合与集合之间的关系：, =, ⊈, , ,  6. 同一个层次上的两个集合的关系 定义6.1 设A, B为集合, 如果B中的每个元素都是A中的元 素, 则称B是A的子集合, 简称子集. 这时也称B被A包含, 或A 包含B, 记作B  A. B  A  x ( xB  xA) 例如 N Z  Q  R C, 如果B不被A包含, 则记作B ⊈ A.

显然对任何集合A都有A  A.  隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系, 对于某些集合可 以同时成立这两种关系. 例如 A＝{a,{a}}和{a} 既有{a}∈A, 又有{a}  A. 前者把它们看成是不同层次上的两个 集合, 后者把它们看成是同一层次上的两个集合. 定义6.2 设A, B为集合, 如果A  B且B  A, 则称A与B相等, 记作A＝B.  如果A与B不相等, 则记作A≠B.  相等的符号化表示为: A＝B A  B∧B  A

定义6.3 设A, B为集合, 如果B  A且B≠A, 则称B是A的真 子集, 记作B  A.  如果B不是A的真子集, 则记作B  A.  真子集的符号化表示为 B A  B  A∧B≠A 例如 N  Z  Q  R  C, 但N N.  思考： 和  的定义 注意  和  是不同层次的问题

空集、全集和幂集 定义6.4 空集  ：不含有任何元素的集合。 空集可以符号化表示为 ＝{x|x≠x}. 定义6.4 空集  ：不含有任何元素的集合。 空集可以符号化表示为 ＝{x|x≠x}.  实例： { x | xR  x2+1=0 }是方程x2+1=0的实数解 集, 因为该方程无实数解, 所以是空集. 定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A，由子集定义有  A   x (x∈ →x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题, 所以A   也为真. 

推论 空集是唯一的. 证：假设存在空集1和2, 由定理6.1有 1  2 2  1 推论 空集是唯一的.  证：假设存在空集1和2, 由定理6.1有 1  2 2  1 根据集合相等的定义, 有1 ＝2 .  含有n个元素的集合简称n元集, 它的含有m(m≤n)个元素 的子集叫做它的m元子集. 任给一个n元集, 怎样求出它的全部子集呢？举例说明 如下：

例6.1 A＝{1,2,3}, 将A的子集分类：   0元子集, 也就是空集, 只有一个：  ； 1元子集, 即单元集：{1}, {2}, {3}； 2元子集：{1,2}, {1,3}, {2,3}；   3元子集：{1,2,3}.  注:由0元子集的个数,加1元子集的个数,…可得到子集总数 2n.

定义6.5 设A为集合, 把A的全部子集构成的集合叫做A的 幂集 定义6.5 设A为集合, 把A的全部子集构成的集合叫做A的 幂集, 记作P(A)(或PA, 2A).  幂集的符号化表示为 P(A)＝{x|x  A} 对于例6.1中的集合A有 P(A)＝{, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 若A是n元集, 则P(A)有2n个元素. 

全集 定义6.6 在一个具体问题中, 如果所涉及的集合都是某个集合的子集, 则称这个集合为全集, 记作E.  全集是有相对性的, 不同的问题有不同的全集, 即使是同一个问题也可以取不同的全集. 例如在研究平面上直线的相互关系时, 可以把整个平面(平面上所有点的集合)取作全集, 也可以把整个空间(空间上所有点的集合)取作全集. 一般地说, 全集取得小一些, 问题的描述和处理会简单些.

6.2 集合的运算 1.初级运算 集合的基本运算有 定义6.7 设A, B为集合, A与B的并集A∪B, 交集A∩B, B对 6.2 集合的运算 1.初级运算 集合的基本运算有 定义6.7 设A, B为集合, A与B的并集A∪B, 交集A∩B, B对 A的相对补集A－B分别定义如下： 并 AB = {x | xA  xB} 交 AB = {x | xA  xB} 相对补 AB = {x | xA  xB} 由定义可以看出, A∪B是由A或B中的元素构成, A∩B由A 和B中的公共元素构成, A－B由属于A但不属于B的元素构成.

例如 A＝{a, b, c}, B＝{a}, C＝{b, d} 则有 A∪B＝{a, b, c}, A∩B＝{a}, A－B＝{b, c},  B－A＝ , B∩C＝  如果两个集合的交集为 , 则称这两个集合是不相交的. 例如B和C是不相交的.  并和交运算可以推广到n个集合上，即 A1  A2  …  An = { x | xA1 xA2  … xAn} A1  A2  …  An = { x | xA1  xA2  …  xAn}

＝ A1  A2  …  An ＝ A1  A2  …  An ＝ A1  A2  … ＝ A1  A2  … 上述的并和交可以也可以写作： ＝ A1  A2  …  An ＝ A1  A2  …  An 并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况： ＝ A1  A2  … ＝ A1  A2  …

定义6.8 设A, B为集合, A与B的对称差集AB定义为： A  B＝(A－B)∪(B－A) 例如 A＝{a, b, c}, B＝{b, d}, 则A  B＝{a, c, d}.  对称差运算的另一种定义是 A B＝(A∪B)－(A∩B)  

在给定全集E以后, AE, A的绝对补集～A定义如下： 定义6.9 ～A＝E－A＝{x|x∈E∧xA} 因为E是全集, x∈E是真命题, 所以～A可以定义为 ～A＝{x|xA } 例如 E＝{a, b, c, d}, A＝{a, b, c}, 则 ～A＝{d}. 

以上集合之间的关系和运算可以用文氏图(Venn Diagram) 给予形象的描述. 文氏图的构造方法如下： 首先画一个大矩形表示全集E(有时为简单起见可将全集省 略), 其次在矩形内画一些圆(或任何其他的适当的闭曲线), 用圆 的内部表示集合. 不同的圆代表不同的集合. 如果没有关于集合 不交的说明, 任何两个圆彼此相交. 图中阴影的区域表示新组成 的集合. 图6.2就是一些文氏图的实例.

文氏图

几点说明 A  B  AB =  AB =   AB = A

广义运算 2. 集合的广义并与广义交 定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，符号化： A = { x | z ( zA  xz )} 定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，符号化：  A= { x | z ( zA  xz )} 实例 {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3} {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1} {{a}}={a}， {{a}}={a} {a}=a， {a}=a

关于广义运算的说明 2. 广义运算的性质 (1) =，无意义 (2) 单元集{x}的广义并和广义交都等于x 2. 广义运算的性质 (1) =，无意义 (2) 单元集{x}的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） (4) 广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 {A1, A2, … , An}=A1A2…An {A1, A2, … , An}=A1A2…An 3. 引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如 {{x} | xR}=R 这里的 R 代表实数集合.

运算的优先权规定 A= {a,b}， A= {a}， A= ab，  A = a = {a,b}((ab) {a}) 一类运算：称广义并，广义交，幂集,绝对补运算 二 类运算：并,交,相对补,对称差运算 混合运算：一类运算优先于二类运算 运算由右向左进行 优先顺序由括号确定 例1 A={{a},{a,b}}，计算A(AA). 解： A= {a,b}， A= {a}， A= ab，  A = a A(AA) = {a,b}((ab) {a}) = (ab)((ab)a) = (ab)(ba) = b

有穷集合元素的计数 1. 文氏图法 使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题. 首先根据已知条件把对应的文氏图画出来. 一般地说, 每一条性质决定一个集合. 有多少条性质, 就有多少个集合. 如果没有特殊说明, 任何两个集合都画成相交的, 然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内. 通常从n个集合的交集填起, 根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域. 如果交集的数字是未知的, 可以设为x. 根据题目中的条件, 列出一次方程或方程组, 就可以求得所需要的结果

例6. 2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查 例6.2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查. 其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为13, 5, 10和9人, 其中同时会英语和日语的有2人, 会英、德和法语中任两种语言的都是4人. 已知会日语的人既不懂法语也不懂德语, 分别求只会一种语言(英、德、法、日)的人数和会三种语言的人数.  解: 令A, B, C, D分别表示会英、法、德、日语的人的集合. 根据题意画出文氏图如图6.3所示. 设同时会三种语言的有x人, 只会英、法或德语一种语言的分别为y1, y2和y3人. 将x和y1, y2, y3填入图中相应的区域, 然后依次填入其他区域的人数. 

根据已知条件列出方程组如下： 解得x＝1, y1＝4, y2＝2, y3＝3.

例6.3 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有多少个？ 解 方法一 设 S={ x | xZ  1x1000} A={ x | xS  x可被5整除} B={ x | xS  x可被6整除} C={ x | xS  x可被8整除} 用|T|表示有穷集T中的元素数,  x 表示小于等于x的最大整数, lcm(x1,x2,…,xn)表示x1,x2,…,xn的最小公倍数, 则有

|S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6= 166, |C|=1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 画出文氏图，然后填入相应的数字，解得 N=1000－(200+100+33+67) =600

有穷集合元素的计数 2. 包含排斥原理 定理6.2 设集合S上定义了n条性质，其中具有第 i 条性质的 元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为 推论 S中至少具有一条性质的元素数为

实例 例6.3 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整 除，也不能被8整除的数有多少个？ 解：方法二 |S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 = 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600

6.3 集合恒等式 集合算律 1．只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律    交换 AB=BA AB=BA 6.3 集合恒等式 集合算律 1．只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律    交换 AB=BA AB=BA AB=BA 结合 (AB)C =A(BC) (AB)C= A(BC) (AB)C =A(BC) 幂等 AA=A AA=A

集合算律 2．涉及两个不同运算的算律： 分配律、吸收律 与 与 分配 A(BC)= (AB)(AC) A(BC)= A(AB)=A A(AB)=A

集合算律 3．涉及补运算的算律： DM律，双重否定律   D.M律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC 双重否定 A=A

集合算律 4．涉及全集和空集的算律： 补元律、零律、同一律、否定律  E 补元律 AA= AA=E 零律 A= AE=E

集合恒等式 下面的恒等式给出了集合运算的主要算律, 其中A, B, C代表任意集合. 幂等律 A∪A＝A A∩A＝A 结合律 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C) (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) 交换律 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A

分配律 A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) 同一律 A∪＝A A∩E＝A 零律 A∪E＝E A∩＝ 排中律 A∪～A＝E 矛盾律 A∩～A＝

吸收律 A∪(A∩B)＝A A∩(A∪B)＝A 德·摩根律 A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C) ～(B∪C)=～B∩～C ～(B∩C)=～B∪～C ～＝E ～E＝ 双重否定律 ～(～A)＝A

集合证明题 证明方法：命题演算法、等式置换法 命题演算证明法的书写规范 (以下的A和B代表集合公式) (1) 证AB 任取x， xA  …  xB (2) 证A=B 方法一 分别证明 AB 和 BA 就是对于任意的x,有 x∈Ax∈B和x∈Bx∈A 方法二 任取x，xA  …  xB 注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充 分必要的

选证其中的一部分, 在证明中大量用到命题逻辑的等值式, 在 叙述中采用半形式化的方法.  方法一：命题演算法 例6.4 证明（德摩根律） A－(B∪C)＝(A－B)∩( A－C).  证 对任意的x x∈A－(B∪C)  x∈A∧xB∪C  x∈A∧┐(x∈B∨x∈C)

 x∈ A∧( ┐x ∈ B ∧┐x ∈C)  x ∈ A∧ xB ∧ x C  ( x ∈ A ∧ x  B) ∧ ( x ∈ A ∧ x  C) x ∈ A－B∧ x ∈ A－C  x ∈( A－B)∩(A－C) 所以 A－(B∪C)＝(A－B)∩( A－C)

例6.5 证明（同一律） A∩E＝A.   证 对任意的x,  x∈A∩Ex∈A∧x∈Ex∈A(因为x∈E是恒真命题), 所以 A∩E＝A. 

集合等式的证明 例6.6 证明（吸收律） A(AB) = A 证 任取x, xA(AB)  xAxAB  xA(xAxB)  xA 因此得 A(AB) = A.

等式代入法 方法二：等式置换法 例6.8 假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证明吸 收律. 证 A(AB) = (AE)(AB) （同一律） = A(EB) （分配律） = A(BE) （交换律） = AE （零律） = A （同一律）

A ∪ B =BA  B A ∩B =AA-B= AB＝BA 另一些关于集合运算性质的重要结果 A∩BA, A∩BB AA∪B, BA∪B ] A－BA A－B＝A∩～B A ∪ B =BA  B A ∩B =AA-B= AB＝BA (AB) C＝A (BC) A＝A AA＝  AB＝ACB＝C

例6.9 证明等式A－B＝A∩～B.  证 对于任意的x,  x∈A－Bx∈A∧xB x∈A∧x∈～B x∈A∩～B 所以 A－B＝A∩～B.  上面等式把相对补运算转换成交运算, 这在证明有关相 对补的恒等式中是很有用的. 

例6.10 证明(A－B)∪B＝A∪B 证明 (A－B)∪B ＝(A∩～B)∪B ＝(A∪B)∩(～B∪B) ＝(A∪B)∩E ＝A∪B

包含等价条件的证明 例6.11 证明AB=B  AB  AB=A  AB= ① ② ③ ④ 证明思路： ① ② ③ ④ 证明思路： 确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④ 确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每个命题都是要证明的结论 确定证明顺序：①②，②③，③④，④① 按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含）

证： ①② A∪B＝BAB 对于任意的x,  （A  A ∪ B ） x∈A  x∈A∨x∈B  x∈A∪B  x∈B (因为A∪B＝B) 所以A  B.  ②③ A  B  A∩B＝A. 显然有A∩B  A, 下面证A  A∩B.  对于任意的x,  x∈Ax∈A∧x∈ A  x∈A∧x∈B (因为AB)  x∈A∩B 则 A  A∩B     由集合相等的定义有A∩B＝A. 

③④ A∩B＝A  A－B＝   A－B ＝A∩～B ＝(A∩B)∩～B (因为A∩B＝A) ＝A∩(B∩～B) ＝A∩   ＝   ④① AB=  A∪B＝B 由例6.10（(A－B)∪B＝A∪B）及A－B＝ 有 A∪B＝B∪(A－B)＝B∪  ＝B 例6.11给出了A  B的另外三种等价的定义, 这不仅为证明两个集合之间的包含关系提供了新方法, 同时也可以用于集合公式的化简.

解 因为A∪BA∪B∪C, AA∪(B－C), 有 例6.12 化简((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A).  解 因为A∪BA∪B∪C, AA∪(B－C), 有 ((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A) ＝(A∪B)－A ＝B－A

例6.13 已知AB＝ A C, 证明B＝C. 证 已知A  B＝A C, 所以有 A  (A B)＝A  (A C) (A A) B＝(A A) C  B＝ C  B ＝C   B＝C

第六章 习题课 主要内容 集合的两种表示法 集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系 特殊集合：空集、全集、幂集 文氏图及有穷集合的计数 集合的, , , , 等运算以及广义, 运算 集合运算的算律及其应用

基本要求 熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法

练习1 1．判断下列命题是否为真 (1)  (2)  (3) {} (4) {} (1)  (2)  (3) {} (4) {} (5) { a, b }  { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b}  { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}} 解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.

方法分析 (1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法： 把 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可 能是集合表达式. (2) 判断AB的四种方法 若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现. 若A,B是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 AB，“P当且仅当Q”意味Ａ=Ｂ． 通过集合运算判断AB，即AB = B, AB = A, AB = 三个等式中有一个为真. 通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明

练习2 2．设 S1={1, 2, … , 8, 9}， S2={2, 4, 6, 8} S3={1, 3, 5, 7, 9} S4={3, 4, 5} S5={3, 5} 确定在以下条件下X是否与S1,…,S5中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？ （1）若 XS5= （2）若 XS4但 XS2= （3）若 XS1且 X ⊈S3 （4）若 XS3= （5）若 XS3 且 X ⊈ S1

解答 解 (1) 和S5不交的子集不含有3和5，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是S4和S5. 由于与S2不交，不能含有偶数， (3) S1, S2, S3, S4和S5都是S1的子集，不包含在S3的子集含有 偶数，因此 X=S1, S2或S4. (4) XS3=意味着 X是S3的子集，因此 X=S3或 S5. (5) 由于S3是S1的子集，因此这样的X不存在.

练习3 3. 判断以下命题的真假，并说明理由. （1）AB = A  B= （2）A(BC) = (AB)(AC) （3）AA = A （4）如果AB = B，则A = E. （5）A = {x}x，则 xA且x  A.

解题思路 先将等式化简或恒等变形. 查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真. 注意以下两个重要的充要条件 AB = A  AB =  AB =   AB  AB = B  AB = A 如果与条件相符，则命题为真. 如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明. 试着举出反例，证明命题为假.

解答 解 (1) AB = A  B= B=是AB=A的充分条件，但不是必要条件. 当B不空但是 与A不交时也有AB=A. (2) A(BC) = (AB)(AC) 这是DM律，命题为真. (3) AA = A 不符合算律，反例如下： A={1}，AA=，但是A. (4)如果AB = B，则A = E命题不为真. AB=B的充分必要条 件是 BA，不是A=E. (5) A = {x}x，则 xA且x  A命题为真，因为 x 既是 A 的元 素，也是 A 的子集

练习4 证明要求 证明方法： 4．证明 AB = AC  AB = AC  B = C 解题思路 分析命题：含有3个命题： ① ② ③ 证明要求 前提：命题①和② 结论：命题③ 证明方法： 恒等式代入 反证法 利用已知等式通过运算得到新的等式

解答 方法一：恒等变形法 B = B(BA) （吸收律） = B(AB) （交换律） = B(AC) AB = AC = (BA)(BC)　　　　　　　　(分配律） = (AC)(BC) 　　　　　　　AB = AC 　　　　= (AB)C 　　　　　　　　　 　(分配律） = (AC)C 　　　　　　　　　 AB = AC 　　　　= C

解答 方法二：反证法. 假设 B  C，则存在 x (xB且xC), 或存在 x (xC且xB). 不妨设为前者. 　　若x属于A，则x属于AB 但x不属于AC，与已知矛盾； 　　若x不属于A，则x属于AB但x不属于AC，也与已知矛盾.

解答 方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式. 由已知等式①和②可以得到 (AB) (AB) = (AC) (AC) 即 从而有 A(AB) =A(AC) 根据结合律得 (AA)B = (AA) C 由于AA = , 化简上式得B = C.

练习5 5．设A,B为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件： (1) AB=B  A=B=. (2) AB=BA  A=B (3) AB=AB  A=B (4) AB=A  B=

分析 解题思路: 求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不同集合之间的包含关系、以及文氏图等. 具体求解过程说明如下： (1) 化简给定的集合等式 (2) 求解方法如下： 利用已知的算律或者充分必要条件进行判断 先求必要条件，然后验证充分性 利用文氏图的直观性找出相关的条件，再利用集合论的证明方法加以验证

解答 解 (1) AB=B AB=B  A=B=. 求解过程如下： 由AB=B得 (AB)B = BB AB=BA  A=B. 求解过程如下： 充分性是显然的，下面验证必要性. 由AB=BA得 (AB)A=(BA)A 从而有A=AB, 即BA. 同理可证AB.

解答 (3) AB=AB AB=AB  A=B. 求解过程如下： 充分性是显然的，下面验证必要性. 由AB=AB得 A(AB) = A(AB) 化简得A =AB，从而有BA. 类似可以证明AB. 　(4) AB=A AB=A  B=. 求解过程如下： 充分性是显然的，下面验证必要性. 由AB = A得 A(AB) = AA 根据结合律有 (AA)B = AA 即 B = , 就是B = .