第三单元 三角函数、解三角形

第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础梳理 1. 角的分类(按旋转的方向) 正角：按照 方向旋转而成的角。 角 负角：按照 方向旋转而成的角。 ：射线没有旋转 逆时针 顺时针 正角：按照　　　　方向旋转而成的角。 角 负角：按照　　　　方向旋转而成的角。 　　　　：射线没有旋转 逆时针 顺时针 零角

2. 象限角 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角

角α的终边位置 角α的集合 在x轴非负半轴上 在x轴非正半轴上 在x轴上 在y轴非负半轴上 在y轴非正半轴上 在y轴上 在坐标轴上 3. 终边落在坐标轴上的角 角α的终边位置 角α的集合 在x轴非负半轴上 在x轴非正半轴上 在x轴上 在y轴非负半轴上 在y轴非正半轴上 在y轴上 在坐标轴上 {a|a=2kp，k∈Z} {a|a=(2k+1) p} {a|a=kp，k∈Z}

4. 与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合记 为 ． 5. 角度与弧度的换算关系：360°＝ rad； 1°＝ rad；1 rad＝ . 4. 与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合记 为 ． 5. 角度与弧度的换算关系：360°＝ rad； 1°＝ rad；1 rad＝ . 6. 扇形弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角为α(rad)，半径为r，则 (1)l＝ ； (2)扇形的面积为S＝ ＝ . {b|b=a+2kp，k∈Z} 2p |a|r

7. 任意角的三角函数的定义 α为任意角，α的终边上任意一点P(异于原点)的坐标为(x，y)，它与原点的距离|OP|＝r＝ (r>0)． 则 三角函数 定义 定义域 sin α R cos α tan α

象限函数符号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ sin α cos α tan α 8. 三角函数在各象限的符号规律及三角函数线 (1)三角函数在各象限的符号 + + - - + - - + + - + -

单位圆 正弦线 如图，角α的正弦线为 ． 余弦线 如图，角α的余弦线为 ． 正切线 如图，角α的正切线为 . (2)三角函数线 ON OM 如图，角α的正弦线为 ． 余弦线 如图，角α的余弦线为 ． 正切线 如图，角α的正切线为 . ON OM AT

基础达标 1. 与2 012°终边相同的最小正角为( ) A. 212° B. 222° C. 202° D. 232° 1. 与2 012°终边相同的最小正角为(　　) A. 212°　　　　　　　　　　B. 222° C. 202° D. 232° 2. (教材改编题)已知cos θ·tan θ＜0，那么角θ是(　　) A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角 A 解析：2 012°=5´360°+212°，∴应选A C 解析：∵cos q×tan q＜0，∴当cos q＜0， tan q＞0时，q是第三象限角；当cos q＞0， tan q＜0时，q是第四象限角．

3. 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 解析：设扇形的圆心角为a rad，半径为r，则 解得a=1或a=4.

4. 设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( ) A. a<b<c B. b<a<c C. c<a<b D. a<c<b C 解析：画出-1在单位圆中对应角的三角函数线，知tan(-1)<sin(-1)<cos(-1)，即c<a<b.

5. (教材改编题)已知角θ的终边经过点P(－1,3)，则 sinθ＝ ，cosθ＝ ， tanθ＝ . -3 解析：

经典例题 题型一　终边相同的角的表示 【例1】　已知角α是第二象限角，判断2α， 的终边各在第几象限？　

解：由a是第二象限角，得 k×360°+90°＜a＜k×360°+180°(k∈Z)． (1)∵2k×360°+180°<2a<2k×360°+360°(k∈Z)， ∴2a是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上． (2)k×180°+45°＜ ＜k×180°+90°(k∈Z)． ①当k=2n(n∈Z)时，n×360°+45°＜ ＜n×360°+90°(n∈Z)，则 是第一象限角； ②当k=2n+1(n∈Z)时，n×360°+225°＜ ＜n×360°+270°(n∈Z)，则 是第三象限角． 综合①、②可知， 是第一或第三象限角． 　

题型二　利用三角函数的定义求三角函数值 【例2】　已知角α的终边经过点P(x，－ )(x≠0)，且 cos α＝ x，求sin α、tan α的值．

解： ∵P(x，- )(x¹0)， ∴P到原点的距离r= . 又∵cos a= x，∴cos a= = x. ∵x¹0，∴x=± ，∴r=2 . 当x= 时，P点坐标为( ，- )，由三角函数定义，有 sin a=- ，tan a=- ； 当x=- 时，P点坐标为(- ，- )， 由三角函数定义，有sin a=- ，tan a= .

变式2－1 　已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，求2sinα＋cosα的值． 解析：当m＞0时，点P在第二象限，|OP|=5m， 有2sin a+cos a= + = ； 当m＜0时，点P在第四象限，|OP|=-5m， 有2sin a+cos a= + =- .

题型三　三角函数值符号的判定 【例3】　如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．

解：∵点P(sin qcos q，2cos q)位于第三象限， ∴ 即 ∴q为第二象限角．

题型四　弧度制、扇形面积公式的应用 【例4】　已知一扇形的圆心角α＝60°，所在圆的半径r＝10 cm.求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积． 解　

解：设弧长为l，弓形面积为S弓， ∵a=60°= ，r=10，∴l= p(cm)， S弓=S扇-S△= × p×10- ×102×sin =50 (cm2)． 　

变式4－1 　已知扇形的面积为S，当扇形的中心角α为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值． 分析：设扇形弧长为l，半径为r，由S= lr，得l= ，故扇形周长C=2r+l=2r+ . ∵r>0，S>0，∴C≥2 =4 ，当且仅当2r= ，即r= 时，扇形周长有最小值4 ，此时，扇形的中心角a= = = =2 rad. 故当扇形中心角为2 rad时，扇形周长最小，最小值为4 .