3 扭转 3-1 扭转概念和工程实例 3-2 扭矩及扭矩图 3-3 薄壁圆筒的扭转 3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件 3 扭转 3-1 扭转概念和工程实例 3-2 扭矩及扭矩图 3-3 薄壁圆筒的扭转 3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件 3-5 等直圆杆扭转时的变形 刚度条件 3-6 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形

3.1 扭转概念和工程实例 3.1.1 扭转的工程实例 螺丝刀杆工作时受扭。 Me 主动力偶 阻抗力偶

传动轴工作时受扭。 汽车方向盘的转动轴工作时受扭。

3.1.2 扭转的概念 （1）受力特点： 杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。 A B O Me O B A   （1）受力特点： 杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。 （2）变形特点： 杆任意两截面绕轴线发生相对转动。任意两横截面间相 对转动 j 角，称为相对扭转角。纵向直线变成螺旋线。 主要发生扭转变形的杆，称为轴。 扭转是四种基本变形中的一种变形形式。

3-2 扭矩及扭矩图 3.2.1 传动轴的外力偶矩 已知：传动轴转速－ n r/min，输出功率－P kW, 求：力偶矩Me 3-2 扭矩及扭矩图 3.2.1 传动轴的外力偶矩 已知：传动轴转速－ n r/min，输出功率－P kW, 求：力偶矩Me 电机每秒输入功： 外力偶作功完成： 当 P 为马力时， 外力偶矩:

3.2.2 扭矩 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。 扭矩大小可利用截面法来确定。 取左段为研究对象： T Me 取左段为研究对象： Me T 取右段为研究对象： T Me

+ - 同一截面位置处左、右侧截面上扭矩必须具有相同的正负号。 扭矩的符号规定： 右手螺旋法则判断。 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。 T + T - T T

3.2.3 扭矩图 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。 扭矩图作法：同轴力图： 例3-1 图示传动轴，转速 n =300r/min ，主动轮输入的功率为 P1 = 500kW。从动轮输出功率分别为P2 = 150kW 、P3 = 150kW、P4 = 200kW。作扭矩图。 A B C D P1 P2 P3 P4 n

A B C D P1 P2 P3 P4 n M1 M2 M3 M4 1、计算外力偶矩 解：

计算简图 1 2 2、计算各段的扭矩 BC 段 CA 段 AD 段 3 A B C D M2 M3 M1 M4 B C M2 T1 x A

+ 3、画扭矩图 6.37 kN·m T 图 Tmax = 9.56 kN·m 在 CA 段内 4.78 kN·m 9.56 kN·m B C D M2 M3 M1 M4 6.37 kN·m + T 图 Tmax = 9.56 kN·m 在 CA 段内 4.78 kN·m 9.56 kN·m 注意：受力图上扭矩均按正值假设

例3-2 画图示杆的扭矩图。 TAB = 4 kN·m TBC = -2 kN·m T 图 TCD = 6 kN·m 6 kN·m 例3-2 画图示杆的扭矩图。 6 kN·m 4 kN·m 8 kN·m A B C D TAB = 4 kN·m TBC = -2 kN·m T 图 TCD = 6 kN·m 6 kN·m 4 kN·m 2 kN·m

例3-3 试分析图示轴的扭矩 （m－轴单位长度内的扭力偶矩） 解：1、求约束反力 2、截面法求扭矩 3、作扭矩图

作业： 习题 3-1

3.3 薄壁圆筒的扭转 3.3.1 薄壁圆筒横截面上的应力 薄壁圆筒：壁厚 （r0：为平均半径） 1、实验： ①绘纵向线，圆周线； 实验前： 3.3 薄壁圆筒的扭转 3.3.1 薄壁圆筒横截面上的应力 薄壁圆筒：壁厚 （r0：为平均半径） 1、实验： ①绘纵向线，圆周线； 实验前： ②两端施加一对外力偶 Me 。

实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成螺旋线。 结论： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变（平面假设）。 ②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度  。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力。因筒壁很薄，假设切应力沿壁厚均匀分布，切应力沿圆周切线方向，与扭矩转向相同。  T A0 为平均半径所作圆的面积。

3.3.2 切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律 T—— 做薄壁圆筒的扭转试验可得

剪切虎克定律 在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。

t 2、切应力互等定理 单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体 自动满足 自动满足 得 a c d dx b dy z   ´ 得

在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。 切应力互等定理 a c d dx b dy dz z  ´ 在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。 d a b c t t ' 单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。

3.4 等直圆轴扭转时的应力·强度条件 3.4.1 横截面上的应力 1、几何关系：实验→变形规律→应变的变化规律 实验：

变形规律： 圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形 平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小以及间距不变，半 径仍为直线。 定性分析横截面上的应力 （1） （2） 因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。

取楔形体O1O2ABCD 为研究对象 微段扭转变形 dj 切应变的变化规律： D′ C′ 取楔形体O1O2ABCD 为研究对象 微段扭转变形 dj dj /dx－扭转角变化率 ,即沿半径按直线规律变化。

2、物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 弹性范围内 方向垂直于半径。 ,也就是说切 1) 应力沿半径直线分布。 2)当 当 ，tr取最大值tmax。

3、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式 令 扭转变形计算式 代入物理关系式得： 圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。

4、适用条件： 1）等直的圆轴， 2）弹性范围内工作。 5、圆轴中 tmax 的确定 横截面上 — IP—截面的极惯性矩，单位： — 抗扭截面系数， 单位： 整个圆轴上——等直杆：

6、极惯性矩 实心圆截面： d O dr r

空心圆截面： D O d dr r

例3-4 已知空心圆截面轴的扭矩T =1kN·m，D =40mm，d =20mm，求最大、最小切应力。 max d D 解： min T

思考题：在图示受扭圆轴横截面上的切应力分布图中 正确答案是 d T (b) T (a) T (d) T (c)

3.4.2 斜截面上的应力 在圆杆的表面处用横截面，径向截面及与表面平行的面取一个微小的正六面体——单元体。 3.4.2 斜截面上的应力 在圆杆的表面处用横截面，径向截面及与表面平行的面取一个微小的正六面体——单元体。 x y d y d z a b d z dx c a b c d e f b f n x e 截面的外法线 n与 x 轴间的夹角为 a ，并规定 x 轴逆时针转至截面的外法线 n 的 a 为正，反之为负

假设 ef 的面积为 dA，则 eb 、bf 的面积分别为d Acos  、d Asin  ，由平衡得 斜截面上应力的计算公式

3.4.3 强度条件 等截面圆轴: 1、强度条件： 变截面圆轴: 2、强度条件应用： 1）校核强度: ≤ 2）设计截面尺寸: ≥ 3.4.3 强度条件 等截面圆轴: 1、强度条件： 变截面圆轴: 2、强度条件应用： ≤ 1）校核强度: 2）设计截面尺寸: ≥ 3）确定外荷载: ≤

例 3-5 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN·m， MB=36 kN·m， MC=14 kN·m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴的强度。 MA MB Ⅱ Ⅰ MC A C B 22 14 T图（kN·m） 解： 1、求内力，作出轴的扭矩图

2、计算最大切应力并校核强度 22 14 T图（kN·m） AB段 BC段 即该轴满足强度条件。

例 3-6 已知：P =7. 5 kW, n =100 r/min,[t ] = 40 MPa,空心圆轴的内外直径之比 a = 0 求: 实心轴的直径 d1 和空心轴的外直径 D2；确定二轴的重量之比。 解： 计算扭矩 实心轴

空心轴 d2＝0.5D2=23 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：

作业： 习题 3-4

3.5 等直圆杆扭转时的变形 刚度条件 3.5.1 扭转变形 研究等直圆杆扭转时的变形的目的 作杆的刚度计算 解扭转超静定问题 扭转变形是用两个横截面绕轴线的相对扭转角 j 来表示 相距 dx 两横截面的相对扭转角： 相距 l 的两横截面的相对扭转角： （rad)

扭矩不变的等直轴 GIP——扭转刚度。 各段扭矩为不同值的阶梯轴 ——单位长度的扭转角

3.5.2 刚度条件 刚度条件： 刚度条件应用： ≤ 1)、校核刚度； 2)、设计截面尺寸: 3)、确定外荷载:

解法1 ：假设A截面不动，先分别计算截面B、C对截面A的相对扭转角jAB 和jAC 。 例3-7 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知： m1 =1592 N·m， m2 = 955 N·m ， m3 = 637 N·m。截面 A与截面 B、C之间的距离分别为lAB = 300 mm和lAC = 500 mm。轴的直径d = 70 mm，钢的剪变模量为 G = 80 GPa。试求：截面 C 对截面B 的对扭转角。 B C A 解法1 ：假设A截面不动，先分别计算截面B、C对截面A的相对扭转角jAB 和jAC 。 与 m2 转向相同

B C A 与 m3 转向相同 计算截面 C 对截面 B 的相对扭转角 jBC 转向与 m3 相同

m1单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角j BC1 A B C 解法 2 ：设截面B固定不动，先分别计算m1、m3 单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角 jBC1 和jBC2，然后叠加，即采用叠加法。 m1单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角j BC1 m3 A B C m3单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角jBC2 C截面对截面 B 的相对扭转角 转向与m3相同

例3-8 已知：MA = 180 N. m， MB = 320 N. m， MC = 140 N 例3-8 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[j′] = 0.5 ()/m 。试校核轴的刚度。 解： B C A l MA MB MC 轴的刚度足够

例3-9 一电机的传动轴直径 d = 40 mm，轴传递的功率P = 30 kW，转速 n = 1400 r/min。轴由45号钢制成，其许用剪应力[t ] = 40 MPa，剪变模量为 G = 80 GPa ，许可单位长度扭转角[ j′] =2 /m 。试校核该轴的强度和刚度。 解 : 计算外力偶矩 计算抗扭截面系数 WP 计算 tmax

计算 极惯性矩 IP 计算 单位长度扭转角 ′ 所以，此轴同时满足强度条件和刚度条件。

例 3-10 圆轴如图所示。已知 d1 = 75mm，d2 =110 mm。材料的许用剪应力[  ] = 40 MPa，轴的许用单位扭转角[ ′ ] = 0. 8°/m，剪切弹性模量G = 80 GPa。试校核该轴的强度和刚度。 d2 d1 A B C 8 kN·m 5 kN·m 3 kN·m 解：作扭矩图 + 8 kN·m 3 kN·m 满足强度和刚度要求

(1) 试确定AB 段的直径 d1 和BC 段的直径 d2； (2) 若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径 d； 例3-11 传动轴的转速为 n = 500 r/min，主动轮A 输入功率P1 = 400 kW，从动轮B，C 分别输出功率P2 = 160 kW，P3 = 240 kW。已知[t ] = 70 MPa， [j′] = 1 º/m ，G = 80 GPa。 (1) 试确定AB 段的直径 d1 和BC 段的直径 d2； (2) 若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径 d； (3) 主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? A B C d2 d1 M1 M2 M3 解： 1.计算外力偶矩 一 2. 作扭矩图

A B C d2 d1 M1 M2 M3 3.直径 d1 的选取 按强度条件 一 按刚度条件

A B C d2 d1 M1 M2 M3 4.直径 d2 的选取 按强度条件 一 按刚度条件 5.选同一直径时

A B C d2 d1 M1 M2 M3 6.将主动轮装在两从动轮之间 一 受力合理 A B C d2 d1 M1 M2 M3 一 ＋

作业： 习题 3-3 习题 3-6 习题 3-10 习题 3-12

3.6 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 3.6.1 矩形截面杆的自由扭转 常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆和薄壁杆件 圆杆扭转时—— 横截面保持为平面； 非圆杆扭转时——横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。

观测表明：矩形截面杆扭转时，其横截面不再保持为平面而发生翘曲，因此圆周扭转时的平面假设在此不再成立，圆轴扭转时的应力、变形公式也不再适用。 非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学方法 非圆截面杆扭转的分类： 1、自由扭转（纯扭转）， 2、约束扭转。 自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），任意两相邻截 面翘曲程度相同。横截面上，只有切应力没有正应力。 约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘曲程度不同。横截 面上引起附加正应力，其值在一般实体截面杆中很小，可不计； 但在薄壁杆件中，不能忽略。

b h T 矩形截面杆自由扭转时应力分布特点 1、 横截面上角点处，切应力为零 2、 横截面边缘各点处，切应力 // 截面周边 3、 横截面周边长边中点处，切应力最大 矩形截面杆自由扭转时应力计算 （弹性力学解） 长边中点 t 最大 系数 a, b, g 与 h/b 有关。

本章小结 1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算，扭矩图绘制 3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算 4、圆轴扭转时的变形及刚度计算