第三节 二阶系统性能分析 一、二阶系统的数学模型 二、二阶系统的单位阶跃响应 三、二阶系统的性能指标 四、带零点二阶系统的单位阶跃响应 第三章 时域分析法 第三节 二阶系统性能分析 一、二阶系统的数学模型 二、二阶系统的单位阶跃响应 三、二阶系统的性能指标 四、带零点二阶系统的单位阶跃响应 五、改善二阶系统性能的措施

一、二阶系统的数学模型 二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 系统的典型结构: ζ —阻尼比 ω n —无阻尼自然振荡频率 Ф(s)= 第三节 二阶系统性能分析 一、二阶系统的数学模型 二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 n - R(s) C(s) s(s+2 ω ζ ω2 ) 系统的典型结构: ζ —阻尼比 ω n —无阻尼自然振荡频率 Ф(s)= C(s) R(s) ω n ζ s2+2 s+ = 2 求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。

二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。 ω n =1/ LC 第三节 二阶系统性能分析 例如：RLC电路的传递函数为 + - ur uc C L R i G(s)= Uc(s) Ur(s) LCs2 +RCs+1 1 = = s2 +Rs/L+1/LC 1/LC ω n ζ s2+2 s+ = 2 n ω ζ 2 =R/L 得： n2 ω =1/LC 二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。 ω n =1/ LC ζ= R C 2 L

二、二阶系统的单位阶跃响应 ω n2 n ζ (s2+2 s+ ) = s 1 C(s)=Ф(s)R(s) ω n ζ s2+2 s+ n2 第三节 二阶系统性能分析 二、二阶系统的单位阶跃响应 ω n2 n ζ (s2+2 s+ ) = • s 1 C(s)=Ф(s)R(s) ω n ζ s2+2 s+ n2 =0 ω n ζ s1.2 = ± -2 2 (2 )2-4 ω n ζ =- ± 2 -1 ζ值不同，两个根的性质不同，有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。

1. ζ>1 过阻尼 s1.2 ω n ζ =- 2 -1 ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) s 1 C(s)= 2 两不相等 第三节 二阶系统性能分析 s1.2 ω n ζ =- ± 2 -1 1. ζ>1 过阻尼 ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) • s 1 C(s)= 2 两不相等 负实数根 s(s-s1)(s-s2) ω n 2 = A1 = s s-s1 + A2 A3 s-s2 c(t)=A1+A2es1t+A3es2t c(t) t 单位阶跃响应曲线 1 系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。 ζ>1

2.ζ=1 临界阻尼 t) s1.2 ω n ζ =- 2 -1 =- n ω ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) s 1 C(s)= 第三节 二阶系统性能分析 s1.2 ω n ζ =- ± 2 -1 2.ζ=1 临界阻尼 =- n ω ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) • s 1 C(s)= 2 两相等负实数根 = ω n (s+ )2 1 s • 2 1 = s - ω n (s+ )2 s+ n ω c(t)=1- e - t (1+ t) c(t) t 单位阶跃响应曲线 输出响应无振荡和超调。ζ=1时系统的响应速度比ζ>1 时快。 1 ζ=1

3. 0<ζ<1 欠阻尼 e e s1.2 ω n ζ =- 2 -1 ω n ζ (s+ s + d2 )2 = - 1 s+ 第三节 二阶系统性能分析 s1.2 ω n ζ =- ± 2 -1 3. 0<ζ<1 欠阻尼 ω n ζ (s+ s + d2 )2 = - 1 s+ d ω 2 = n 1- ζ d 令： — 阻尼振荡频率 s1.2 ω n jω ζ =- ± d 则： C(s)= ω n2 n ζ (s2+2 s+ ) • s 1 2 单位阶跃响应： 拉氏反变换： c(t)=1-e cos e ζ ωnt - t- d ω n sin t ω n ζ s2+2 s+ n2 = ω n ζ s2+2 s+ n 2 ( ) -( + n2 另： ω n ζ (s+ + n2 )2 = (1- 2 ) ω n ζ (s+ + d2 )2 = =1- [ ζ t+ sin d ω t] e ωnt - 2 1- cos ω n2 n ζ (s+ s + d2 )2 C(s)= • 1 ω n ζ (s+ s + d2 )2 = 1 -(s+ ) 2 得：

e e e 系统参数间的关系: ω 单位阶跃响应曲线 = 2 1- ζ ω n sin β - = 2 1- ζ c(t) t = ζ ω 第三节 二阶系统性能分析 系统参数间的关系: j ω S1 单位阶跃响应曲线 = 2 1- ζ ω n sin β 1 ω - ζ 2 n = 2 1- ζ ω n c(t) t = ζ ω n cos β β = ζ ω - ζ n σ 1 2 1- ζ ω n β -1 =tg -1 ζ =tg 2 1- ζ<1 1 ω - ζ 2 n S2 c(t)=1- [ ζ t+ sin d ω t] e ωnt - 2 1- cos 根据: =1- [ t+ sin d ω t] e ζ ωnt - 2 1- cos β 得: =1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β

4. ζ=0 无阻尼 s1.2 ω n ζ =- 2 -1 ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) s 1 C(s)= 2 = n ω ±j 第三节 二阶系统性能分析 s1.2 ω n ζ =- ± 2 -1 4. ζ=0 无阻尼 ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) • s 1 C(s)= 2 = n ω ±j ω n (s2+ ) = • s 1 2 单位阶跃响应曲线 c(t) t s (s2+ ω n ) = - 1 2 ζ=0 1 单位阶跃响应: n ω c(t)=1-cos t

从以上结果可知:ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。 第三节 二阶系统性能分析 不同ζ值时系统的单位阶跃响应 c(t) t ζ=0 ζ<1 1 ζ>1 ζ=1 从以上结果可知:ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。

例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应. C(s) s2+3s+2 2 R(s) = 2 ω n ζ =3 解： 第三节 二阶系统性能分析 例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应. C(s) s2+3s+2 2 R(s) = 2 ω n ζ =3 解： ζ>1 2 = 2 ω n A1 = s s+1 + A2 A3 s+2 C(s)= s(s+1)(s+2) 2 1 = s s+1 - 2 s+2 + 拉氏反变换 c(t)=1-2e-t+e-2t

e 例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应. C(s) s2+s+4 4 R(s) = 2 ω n ζ =1 解： =2 ω 第三节 二阶系统性能分析 例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应. C(s) s2+s+4 4 R(s) = 2 ω n ζ =1 解： =2 ω n 2 = 4 ω n ζ=0.25 =0.5 ω n ζ 得： =1.9 d ω = n 2 ζ 1- =75o -1 ζ =tg β 2 1- 将参数代入公式: c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β =1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)

三、二阶系统的性能指标 主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线： 性能指标有： 1. 上升时间tr 第三节 二阶系统性能分析 三、二阶系统的性能指标 主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线： 性能指标有： t c(t) 1. 上升时间tr ess σ% 2. 峰值时间tp 1 3. 超调量σ% 4. 调节时间ts tr tp ts 5. 稳态误差ess 性能指标求取如下

1. 上升时间tr e e 根据定义有 c(tr )=1- tr+ ) 2 1- d ω sin( β =1 tr =0 tr+ ) 2 第三节 二阶系统性能分析 1. 上升时间tr t c(t) 根据定义有 1 c(tr )=1- tr+ ) e ζ ωntr - 2 1- d ω sin( β =1 tr =0 tr+ ) e ζ ωntr - 2 1- d ω sin( β 即 得: 2 1- ζ π β - ω n = =0 tr+ ) d ω sin( β tr= d ω π β - 则 ω d tr+ β =0,π,2π… -1 ζ =tg β 2 1- 其中: ω d tr+ β =π

2. 峰值时间tp e e e e c(t)=1- t+ ) 2 1- d ω sin( β dc(tp) dt =0 根据定义有 tp ζ 第三节 二阶系统性能分析 2. 峰值时间tp t c(t) c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β 1 dc(tp) dt =0 根据定义有 tp ζ -1 tp+ ) e ωntp - 2 1- d ω sin( β dc(tp) dt = [- n ζ tp+ ) d ω sin( β = cos( 2 1- =tg β tp+ ) d ω tg( 则 ]=0 + tp+ ) e ζ ωntp - d ω cos( β ζ - tp+ ) e ωntp 2 1- d ω sin( β = [ n ]=0 cos( ζ tp+ ) d ω sin( β =0 cos( - 2 1- 即

2. 峰值时间tp e e e e c(t)=1- t+ ) 2 1- d ω sin( β dc(tp) dt =0 根据定义有 tp ζ 第三节 二阶系统性能分析 2. 峰值时间tp t c(t) c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β 1 dc(tp) dt =0 根据定义有 tp ζ -1 tp+ ) e ωntp - 2 1- d ω sin( β dc(tp) dt = [- n ζ tp+ ) d ω sin( β = cos( 2 1- =tg β tp+ ) d ω tg( 则 ]=0 + tp+ ) e ζ ωntp - d ω cos( β ζ - tp+ ) e ωntp 2 1- d ω sin( β = [ n ]=0 cos( ω d tp =0,π,2π… ω d tp = π tp= d ω π 2 1- ζ π ω n = 即

3. 超调量σ% σ%= c(tp)- c( ) ∞ tp= d ω π 代入公式： c(tp )=1- tp+ ) e 2 1- d ω 第三节 二阶系统性能分析 3. 超调量σ% t c(t) σ%= c(tp)- 100% c( ) ∞ σ% 1 tp= d ω π 代入公式： c(tp )=1- tp+ ) e ζ ωntp - 2 1- d ω sin( β tp 另 ) =1- + 2 1- ζ sin( β π e - )=- + 2 1- ζ sin( β π =1+ e - ζ π 1- 2 则 100% c(tp)-1 1 σ%= = e - ζ π 1- 2 100%

4. 调节时间ts e c(t)=1- t+ ) 2 1- d ω sin( β 可用近似公式： ts ζ 3 ω n = ts =3T 第三节 二阶系统性能分析 4. 调节时间ts t c(t) 误差带 c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β 1 可用近似公式： ts ζ 3 ω n = ts =3T ζ<0.68 ±5%误差带 ζ 4 ω n = ts =4T ζ<0.76 ±2%误差带 当ζ大于上述值时，可用近似公式计算： ζ ts= 1 ω n 6.45 -1.7

5. 稳态误差ess e 根据稳态误差的定义 e(t)= [r(t) -c(t)] ess= lim e(t) r(t)=I(t) 第三节 二阶系统性能分析 5. 稳态误差ess t c(t) 根据稳态误差的定义 ess =0 e(t)= [r(t) -c(t)] 1 t→∞ ess= lim e(t) r(t)=I(t) c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β t→∞ lim c(t)=1 欠阻尼二阶系统的稳态误差: ess= 1-1=0

第三节 二阶系统性能分析 以上为欠阻尼二阶系统在单位阶跃输入作用下性能指标的求取。过阻尼二阶系统其性能指标只有调节时间和稳态误差。 c(t)=A1+A2es1t+A3es2t t→∞ ess= lim [ r(t) -c(t)] 稳态误差的计算： 调节时间是根据特征根中绝对值小的来近似计算： T1= s1 -1 设 |s1|<|s2| ts≈3T1 ±5%误差带 ts≈4T1 ±2%误差带

ζ的增加和ωn的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态误差增加。 ζ太小或太大,快速性均变差。 第三节 二阶系统性能分析 由以上分析归纳出二阶系统性能分析要点： 1）平稳性： 主要由ζ决定。 ζ↑→σ%↓→平稳性越好。 由ζ和 决定。 ω n 2）快速性： ω n 一定时,若ζ较小,则ζ↓→ts↑。 ζ = 0 时,系统等幅振荡,不能稳定工作。 由ζ和 ω n 决定。 3）准确性： ω n↑→ d↑, 系统平稳性变差。 ζ一定时 当ζ >0.707之后又有ζ↑→ ts↑。 ζ的增加和ωn的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态误差增加。 ζ太小或太大,快速性均变差。 综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取ζ= 0.707为最佳。

e e c(t)=1-2e-t+e-2t 例 已知系统的闭环传递函数 ，当K = 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃响应和 第三节 二阶系统性能分析 例 已知系统的闭环传递函数 ，当K = 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃响应和 性能指标σ% ,ts 。 Ф(s)= s2+3s+K K (2) K = 4 2 ω n ζ =3 解： (1) K = 2 2 ω n ζ =3 Ф(s)= s2+3s+4 4 ζ=0.75<1 ts=3T1=3 系统性能指标 ζ=1.06>1 Ф(s)= s2+3s+2 2 2 =4 ω n 2 = 2 ω n c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β C(s)= 2 s(s+1)(s+2) t c(t) =1-1.5e-1.5t sin(1.32t+41.4o) 1 1 = s s+1 - 2 s+2 + σ%= 100% e - ζ π 1- 2 =2.8% ts= ζ 4 ω n c(t)=1-2e-t+e-2t =2.67 2.67 3

θ θ 例 已知随动系统的结构如图, 试计算在不同参数下, 系统的动态性能指标。 KsKa/iCe c(s) s(Tms+1) = r(s) 例 已知随动系统的结构如图, 试计算在不同参数下, 系统的动态性能指标。 θ r(s) 1/iCe s(Tms+1) - c(s) KsKa = 1+ θ r(s) KsKa/iCe s(Tms+1) c(s) KsKa TmiCe K= F= Tm 1 Tms2+s+KsKa/iCe = KsKa/iCe 设 F=34.5 Ф(s)= s2+34.5s+K K = s2+Fs+K K 则 下面求取不同K时系统的性能指标。

e e Ф(s)= s2+34.5s+K K 解： 闭环传递函数 (1) K=1000 (3) K=150 (2) K=7500 第三节 二阶系统性能分析 Ф(s)= s2+34.5s+K K 解： 闭环传递函数 (1) K=1000 (3) K=150 (2) K=7500 随动系统响应曲线 Ф(s)= s2+34.5s+150 150 Ф(s)= s2+34.5s+7500 7500 Ф(s)= s2+34.5s+1000 1000 c(t) t 2 =150 ω n =12.25 ω n 2 =7500 ω n =86.2 ω n 2 =1000 ω n =31.6 ω n 1 2 ω n ζ =34.5 2 ω n ζ =34.5 2 ω n ζ =34.5 ζ=1.41 ζ=0.2 ζ=0.545 φ(s)= (s+5.1)(s+29.4) 150 tp= 2 1- ζ π ω n tp= 2 1- ζ π ω n =0.037 =0.12 0.17 0.59 σ%= 100% e - ζ π 1- 2 σ%= 100% e - ζ π 1- 2 =0.196 T1= 5.1 1 ts= ζ 3 ω n ts= ζ 3 ω n T2= 29.4 1 =0.03 =0.17 =0.17 ts=3T1=0.59 =13% =52.7%

四、带零点二阶系统单位阶跃响应 e e e e c(t)=c1(t)+ dc1(t) dt 1 z R(s)= s 1 系统结构为 设 第三节 二阶系统性能分析 四、带零点二阶系统单位阶跃响应 c(t)=c1(t)+ dc1(t) dt 1 z τ s+1 - R(s) n C(s) s(s+2 ω ζ ω2 ) R(s)= s 1 系统结构为 设 0<ζ<1 ( Ф(s)= C(s) R(s) ω n ζ s2+2 s+ = 2 τ s+1) c1(t)=L-1 [ ω n ζ (s2+2 s+ s ) ] 2 =1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β 时间常数 ω n ζ (s2+2 s+ (s+ τ 1 ) = 2 ω n ζ (s2+2 s+ (s+ z ) = 2 dc1(t) dt = [ - d ω e ζ ωnt 2 1- ] n t+ ) sin( β cos( 闭环零点 ω n ζ (s2+2 s+ s z ) + 2 s2+2 = c(t)=1- [ d ω e 2 1- ζ ] n t+ )+ )sin( β ) cos( 1 z (z- ωnt - =1- [ d ω e ζ ωnt - 2 1- ] n t+ )+ sin( β ) cos( l z z- R(s) C1(s) ω n ζ s2+2 s+ = 2 s C(s)=C1(s)+ z C1(s) 设 则

φ φ e e φ e φ ω 系统参数间的关系: l=|z-s1| )2+ 2 ω n ζ = d (z- ω d =sin l | ω 第三节 二阶系统性能分析 j ω 系统参数间的关系: S1 ω d l=|z-s1| )2+ 2 ω n ζ = d (z- ω n l φ ω d =sin l φ φ | ω n ζ =cos |z- l β ω - ζ n σ -z 根据计算结果: ω d - S2 c(t)=1- [ d ω e ζ ωnt - 2 1- ] n t+ )+ sin( β ) cos( l z z- sin φ cos =1- [ e ζ ωnt - 2 1- ] t+ )+ d ω sin( β ) cos( l z φ =1- + e ζ ωnt - 2 1- t+ ) d ω sin( β l z

e 可求得系统的性能指标: σ%= l z 1 ) (3+ln l z ζ ω n ts= (±5%) β ( + φ - π ) tr= 第三节 二阶系统性能分析 可求得系统的性能指标: e 100% σ%= l z ( - φ ζ π 1- 2 ) 1 ) (3+ln l z ζ ω n ts= (±5%) β ( + φ - π ) tr= 2 1- ζ ω n 1 ) (4+ln l z ζ ω n ts= (±2%) 增加零点后,上升时间缩短,系统的初始响应加快,系统的振荡性也增加。 c(t) t 二阶系统 1 带零点系统

第三节 二阶系统性能分析 五、改善二阶系统性能的措施 系统的平稳性和快速性对系统结构和参数的要求往往是矛盾的,工程中通过在系统中增加一些合适的附加装置来改善二阶系统的性能。 常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达到改善系统性能的目的.

1．比例微分控制 比例微分控制二 阶系统结构图 比例微分控制使系统阻尼比增大,超调量将减少.若传递函数中增加的零点合适，将使得系统响应加快。 第三节 二阶系统性能分析 1．比例微分控制 比例微分控制二 阶系统结构图 - R(s) τ s+1 n C(s) s(s+2 ζ 2 ) ω 比例微分控制使系统阻尼比增大,超调量将减少.若传递函数中增加的零点合适，将使得系统响应加快。 开环传递函数: 对二阶系统性能的改善 G(s)= n ) ( s(s+2 ζ τ s+1 2 ω 闭环传递函数: c(t) t Φ(s)= ω n ζ s2+(2 + 2 ) ( τ s+1 )s+ 二阶系统 1 n ́ ω ζ =2 + τ 2 s+ = ω n ζ s2+2 2 ) ( τ s+1 ́ 加比例微分 ζ ́ = 2 + τ n ω 得

2．微分负反馈控制 加微分负反馈系统: 开环传递函数 G(s)= ω n ζ s2+2 + s τ 2 对二阶系统性能的改善 闭环传递函数 第三节 二阶系统性能分析 2．微分负反馈控制 τ s - R(s) n C(s) s(s+2 ζ 2 ) ω 加微分负反馈系统: 开环传递函数 G(s)= ω n ζ s2+2 + s τ 2 对二阶系统性能的改善 闭环传递函数 加入微分负反馈，系统的阻尼比增大，超调量减少。 c(t) t n ́ ω ζ =2 + τ 2 二阶系统 Ф(s)= ω n ζ s2+(2 + 2 τ )s+ 1 ζ ́ = 2 + τ n ω s+ = ω n ζ s2+2 2 ́ 加微分负反馈

第三节 二阶系统性能分析 3-3 3-4 作业习题： 3-7 3-8 返回