熟悉傅里叶变换的性质 熟悉常见信号的傅里叶变换 了解傅里叶变换的MATLAB实现方法
连续时间信号 直接调用专用函数法 傅里叶变换的数值计算实现法 离散时间信号 正/反Z变换 离散系统的频率特性
直接调用专用函数法 傅里叶变换： F=fourier( f ) 对f(t)进行傅里叶变换，其结果为F(w) F=fourier(f,v) 对f(t)进行傅里叶变换，其结果为F(v) F=fourier( f,u,v ) 对f(u)进行傅里叶变换，其结果为F(v) 傅里叶反变换 f=ifourier( F ) 对F(w)进行傅里叶反变换，其结果为f(x) f=ifourier(F,U) 对F(w)进行傅里叶反变换，其结果为f(u) f=ifourier( F,v,u ) 对F(v)进行傅里叶反变换，其结果为f(u)
注意： 在调用函数fourier( )及ifourier( )之前，要用syms命令对所有需要用到的变量进行说明，即要将这些变量说明成符号变量。对fourier( )中的f及ifourier( )中的F也要用符号定义符syms将其说明为符号表达式。
注意： 采用fourier( )及ifourier( )得到的返回函数，仍然为符号表达式。在对其作图时要用ezplot( )函数，而不能用plot()函数。
注意： fourier( )及ifourier( )函数的应用有很多局限性 果在返回函数中含有δ(ω)等函数，则ezplot( )函数也无法作出图来。 在用fourier( )函数对某些信号进行变换时，其返回函数如果包含一些不能直接表达的式子，则此时当然也就无法作图了。 尽管原时间信号f(t)是连续的，但却不能表示成符号表达式，此时只能应用下面介绍的数值计算法来进行傅氏变换了. 当然，大多数情况下，用数值计算法所求的频谱函数只是一种近似值。
例1：求函数 的傅里叶反变换f(t) syms t w; Fw=sym('1/(1+w^2)'); %定义频谱函数 ft=ifourier(Fw,w,t); %对频谱函数F(jw) 进行傅氏反变换 运行结果： ft = 1/2*exp(-t)*heaviside(t)+1/2*exp(t)*heaviside(-t)
傅里叶变换的数值计算实现法 例2：用数值计算法实现门函 数的傅里叶变换，并画出幅度频谱图.
MATLAB程序如下： R=0.02; %取样间隔0.02 t=-2:R:2; % t为从-2到2，间隔为0.02的行向量 %有201个样本点 ft=[zeros(1,50),ones(1,101),zeros(1,50)]; % 产生f(t) 的样值矩阵（即f(t) %的样本值组成的行向量） W1=10*pi; %取要计算的频率范围 M=500; k=0:M; w=k*W1/M; %频域采样数为M, w 为频率正半轴的采样点 Fw=ft*exp(-j*t'*w)*R; %求傅氏变换 FRw=abs(Fw); %取振幅
W=[-fliplr(w),w(2:501)] ; %形成负半轴和 正半轴的2M+1个频率点W FW=[fliplr(FRw),FRw(2:501)]; %形成对应于 2M+1个频率点的值 subplot(2,1,1) ; plot(t,ft) ;grid; xlabel('t') ; ylabel('f(t)'); title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); subplot(2,1,2) ; plot(W,FW) ;grid; xlabel ('W') ; ylabel ('F(W)'); title('f(t)的振幅频谱图');
在MATLAB语言中有专门对信号进行正反Z变换的函数ztrans( ) 和itrans( )。其调用格式分别如下： F=ztrans( f ) 对f(n)进行Z变换，其结果为F(z) F=ztrans(f,v) 对f(n)进行Z变换，其结果为F(v) F=ztrans(f,u,v) 对f(u)进行Z变换，其结果为F(v) f=itrans ( F ) 对F(z)进行Z反变换，其结果为f(n) f=itrans(F,u) 对F(z)进行Z反变换，其结果为f(u) f=itrans(F,v,u ) 对F(v)进行Z反变换，其结果为f(u) 注意： 在调用函数ztran( )及iztran( )之前，要用syms命令对所有需要用到的变量（如t,u,v,w）等进行说明，即要将这些变量说明成符号变量。
Fz=ztrans(f) %对离散信号进行Z变换 运行结果如下： Fz = 2*z/(2*z-1) 例3．用MATLAB求出离散序列 的Z变换 MATLAB程序如下： syms k z f=0.5^k; %定义离散信号 Fz=ztrans(f) %对离散信号进行Z变换 运行结果如下： Fz = 2*z/(2*z-1)
例4．已知一离散信号的Z变换为 ，求出它所对应的离散信号f(k) MATLAB程序如下： syms k z Fz=2*z/(2*z-1); %定义Z变换表达式 fk=iztrans(Fz,k) %求反Z变换 运行结果如下： fk = (1/2)^k
离散系统的频率特性 MATLAB为我们提供了专门用于求解离散系统频率响应的函数fregz() ，其调用格式如下： [H,w]=freqz(B,A,N) 其中，B和A分别是表示待分析的离散系统的系统函数的分子，分母多项式的向量，N为正整数，返回向量H则包含了离散系统频率响应函数 在范围内的N个频率等分点的值。向量w则包含上半个圆范围内的N个频率等分点。在默认情况下N=512。 [H,w]=freqz(B,A,N,'whole') 其中，B，A和N的意义同上，而返回向量H包含了频率响应函数 在 范围内N个频率等分点的值。
离散系统的频率特性 由于调用fregz()函数只能求出离散系统频率响应的数值，不能直接绘制曲线图，因此，我们可以先用fregz()函数求出系统频率响应的值，然后再利用MATLAB的abs()和angle()函数以及plot()命令，即可绘制出系统在范围内的幅频特性和相频特性曲线。
例5．用MATLAB计算前面离散系统在频率范围内200个频率等分点的频率响应值，并绘出相应的幅频特性和相频特性曲线。 [H,w]=freqz(B,A,200); [H,w]=freqz(B,A,200,'whole'); %求出对应 范围内200 %个频率点的频率响应样值 HF=abs(H); %求出幅频特性值 HX=angle(H); %求出相频特性值 subplot(2,1,1);plot(w,HF) %画出幅频特性曲线 subplot(2,1,2);plot(w,HX) %画出相频特性曲线
运行结果如下： 运行结果分析：从该系统的幅频特性曲线可以看出，该系统呈高通特性，是一阶高通滤波器。
如果用FFT对模拟信号进行谱分析，首先要把模拟信号转换成数字信号 转换时要求知道模拟信号的最高截止频率，以便选择满足采样定理的采样频率。 一般选择采样频率是模拟信号中最高频率的3～4倍。 另外要选择对模拟信号的观测时间，如果采样频率和观测时间确定，则采样点数也确定了。这里观测时间和对模拟信号进行谱分析的分辨率有关，最小的观测时间和分辨率成倒数关系。 要求选择的采样点数和观测时间大于它的最小值。
用FFT作谱分析时，要求做FFT的点数服从２的整数幂，这一点在上面选择采样点数时可以考虑满足，即使满足不了，可以通过在序列尾部加０完成。
如果要进行谱分析的模拟信号是周期信号，最好选择观测时间是信号周期的整数倍。如果不知道信号的周期，要尽量选择观测时间长一些，以减少截断效应的影响。
用DFT对连续信号作谱分析。已知xa(t)=cos(200*pi*t)+sin(100*pi*t)+cos(50*pi*t); 选取不同的截取长度Tp，观察用DFT进行频谱分析时存在的截取效应（频谱泄漏和谱间干扰）。在计算机上用DFT对模拟信号进行谱分析时，只能以有限大的采样频率fs对模拟信号采样。对有限点样本序列（等价于截取模拟信号一段进行采样）作DFT变换得到模拟信号的近似频谱
clear;close all; fs=400;T=1/fs; Tp=0. 04;N=Tp. fs; N1=[N,4. N,8 clear;close all; fs=400;T=1/fs; Tp=0.04;N=Tp*fs; N1=[N,4*N,8*N]; %三种长度0.04s 4*0.04s 8*0.04s %矩形窗截断 for m=1:3 n=1:N1(m); xn=cos(200*pi*n*T)+sin(100*pi*n*T)+cos(50*pi*n*T); Xk=fft(xn,4096); fk=fs*[0:4095]/4096; subplot(3,2,2*m-1);plot(fk,abs(Xk)/max(abs(Xk))); if m==1 title('矩形窗截断'); end
%加海明窗截断 for m=1:3 n=1:N1(m); wn=hamming(N1(m)); xn=(cos(200*pi*n*T)+sin(100*pi*n*T)+cos(50*pi*n*T)).*wn'; Xk=fft(xn,4096); fk=fs*[0:4095]/4096; subplot(3,2,2*m) plot(fk,abs(Xk)/max(abs(Xk))); if m==1 title('hamming窗截断'); end
1、 求出下列离散序列的Z变换
2、 分别以变换区间 N=8，N=16 进行FFT，画出相应的幅频特性曲线。