本节内容 本课内容 三元一次方程组 1.4
动脑筋 小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的. 试问这家人的年龄分别是多少岁？ 小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的. 试问这家人的年龄分别是多少岁？ 设爸爸的年龄为x岁，小丽的年龄为y岁，则妈妈的年龄为(x-6)岁. 根据题意得： 可建立二元一次方程组来解决.
解这个方程组得x = 38 ， y = 10 . 因此爸爸的年龄为38岁，妈妈的年龄为32岁， 小丽的年龄为10岁. 想一想，还有其他的方法列方程组求解吗？ 因为要求三个人的年龄，所以可设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y 岁，小丽的年龄为z 岁. 根据题意得： x + y + z = 80 ， x - y = 6 ， x + y = 7z .
三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我们把这三个方程联立在一起写成：
可以发现，这个方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.
动脑筋 解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，使其转化为一元一次方程来求解. 那么我们在解三元一次方程组时，能不能同样利用代入法或加减法来消去一个或两个未知数，使其转化为二元一次方程组或一元一次方程呢？
现在我们来解下面的三元一次方程组： 我们把①、②两式相加得到一个只含x和z的二元一次方程，即2x + z = 86 . 再把②、③两式相加又得到一个只含x和z的二元一次方程，即2x = 6 + 7z .
由此可得一个关于x，z的二元一次方程组 解这个方程组，得 把x=38，z=10代入①式，得38 + y + 10 = 80 ， 解得 y = 32 . 因此，三元一次方程组的解为
从上面解方程组的过程可以看出: 解三元一次方程组的基本想法是：先消去一个未知数，将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 消元的基本方法仍然是代入法和加减法.
举 例 例 解三元一次方程组：
消去z或y来求解. ②-③， 得 2x - 5z = 3 . 由此得到 解这个二元一次方程组得 把 x = -31，z = -13 代入③式， 得y = 42 . 所以原方程组的解为
做一做 请你用其他的方法来解上例中的方程组.
练习 1. 解下列三元一次方程组：
④×2 -②， 得 z= - 6 . 把 z = -6代入②式， 得y = 6 . 把 y = 6代入①式， 得x = 1. 解 ①-③ ， 得 y +z =0 . ④ ④×2 -②， 得 z= - 6 . 把 z = -6代入②式， 得y = 6 . 把 y = 6代入①式， 得x = 1. 所以原方程组的解为
①-③×2， 得 -2y-3z = 16 . 由此得到 解这个二元一次方程组得 把 y = -5，z = -2 代入③式， 得x = 8 . 所以原方程组的解为
2. 有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁， 乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为 2. 有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁， 乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为 17岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？ 解 设甲年龄为x岁，乙年龄为y岁，丙年龄为z岁. 根据题意，得 解得 答：甲年龄为8岁，乙年龄为7岁，丙年龄为9岁.
小结与复习 1. 解二元一次方程组的基本想法是什么？解方程组 的方法有哪些？ 2. 用二元一次方程组解决实际问题有哪些步骤？ *3. 解三元一次方程组与解二元一次方程组有何联 系与区别？
本章知识结构 二元一次方 程组的概念 程组的解法 程组的应用 代入消元法 加减消元法 二元一次方程组 解一元一次方程 *三元一次方程组
注意 1. 解二元一次方程组时，要注意观察未知数的系数 特征，灵活选择方法. *2. 解三元一次方程组的基本想法与解二元一次方程 组的想法是一致的. 通过消元，将三元一次方程 组转化为二元一次方程组或一元一次方程，进而 求解.
中考 试题 例1 某超市为“开业三周年”举行了店庆活动，对A、B两种商品实行打折出售，打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元.而店庆期间，购买50件A产品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？
∴打折后少花(1000-960)=40元. 解：设打折前A商品的单价为x元， B商品的单价为y元， 根据题意有 解得 打折前购买50件A商品和50件B商品共需 16×50+4×50=1000元， ∴打折后少花(1000-960)=40元. 答：打折后少花40元.
结 束