3．2 复数代数形式的四则运算
1．知识与技能 掌握复数的代数形式的加法、减法、运算法则，并熟练地进行化简、求值． 2．过程与方法 了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．
本节重点： 复数的加、减法运算． 本节难点： 复数运算的几何意义． 1．复数加法的几何意义 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则(或三角形法则)．
3．对复数加减法几何意义的理解 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
学习复数的加(减)法，只需把握复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)即可．对于加(减)法的几何意义，应明确它们符合向量加(减)法的平行四边形法则．另外，还可以按三角形法则进行，这样类比记忆就把复杂问题简单化了．
1．复数加法与减法的运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝ ，z1－z2＝ . (2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3＝ (a－c)＋(b－d)i (a＋c)＋(b＋d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3)
2．复数加减法的几何意义 如图：设复数z1，z2对应向量分别为 ， ，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 ，与z1－z2对应的向量是 .
[例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
[解析] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i. [点评] 两个复数相加(减)，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．
[点评] 本题给出了几何图形上一些点对应的复数，因此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利用复数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面：(1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．例如：已知复数z1，z2，z1＋z2在复平面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，判断四边形OACB的形状．把关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|给予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形．
[点评] 复数的减法也可用向量来进行运算，同样可实施平行四边形法则和三角形法则．
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的轨迹是 ( ) A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆 [答案] C
[点评] 解法一是利用复数的代数形式求解，即“化虚为实”．解法二则是利用复数的几何意义求解．关于复数模的问题，可以转化为复平面内两点间的距离解决．
[例4] 已知：复平面上的四个点A、B、C、D构成平行四边形，顶点A、B、C对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．
[辨析] 四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有▱ABCD一种情况，应该还有▱ABDC和▱ACBD两种情况．如图所示．
[正解] 用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z. 图①中点D对应的复数为3＋7i， 图②中点D对应的复数为－11＋3i.
一、选择题 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( ) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i [答案] B [解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i＝6
2．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝( ) A．0 B．2i C．6 D．6－2i [答案] D [解析] ∵z＋i－3＝3－i ∴z＝3－i－(i－3)＝6－2i
[答案] A
[答案] －2i
[答案] 5
三、解答题 6．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2.