第15章 数制与逻辑代数 15.1 数制与码制 15.2 逻辑代数的基本运算及其规则 15.3 逻辑函数及其表示方法 15.4 逻辑函数的化简

15.1 数制与码制 15.1.1 数制 1.常用的几种数制 (1) 十进制（Decimal） 15.1 数制与码制 15.1.1 数制 1.常用的几种数制 (1) 十进制（Decimal） 十进制用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个 数字符号的不同组合来表示一个数的大小，其进位规 律是“逢十进一”，其基数为10。 任意一个十进制数,其按权展开式为: N10=(an-1…a1a0.a-1… a-m)10 = an-1•10n-1+…+a1•101+a0•100 +a-1•10-1+…+a-m• 10-m

(2) 二进制（Binary） 二进制数中只有0和1两个数字符号，其进位规 律是“逢二进一”,其基数是2。 任意一个二进制数也可以按权展开为： N2=(an-1…a1a0.a-1…a-m)2 =an-1•2n-1+…+a1•21+a0•20+a-1•2-1+…+a-m•2-m

符号组成，其进位规律是“逢八进一”，基数是8。 (4)十六进制（Hexadecimal) 十六进制数由0、1、2、3、4、5、6、7、8、 (3)八进制（Octadic) 八进制数由0、1、2、3、4、5、6、7 八个数字 符号组成，其进位规律是“逢八进一”，基数是8。 (4)十六进制（Hexadecimal) 十六进制数由0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9、A、B、C、D、E、F十六个符号组成，其进位规律 是“逢十六进一”，基数是16。 十进制数、二进制数、八进制数、十六进制数 的对照表见表11.1所示。

几种数制的对照表 十进制数 二进制数 八进制数 十六进制数 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 10 9 1001 11 1010 12 A 1011 13 B 1100 14 C 1101 15 D 1110 16 E

2.各数制间的相互转换 (1)十进制数与二、八、十六进制数的相互转换 ① 二、八、十六进制数→十进制数 二、八、十六进制数转换为十进制数的方法： 写出其按权展开式，并求和。 例如： （101.2）2＝1×22+0×21+1×20+1×2-1 ＝5.5

② 十进制数→二、八、十六进制数 a.整数部分的转换——除基取余法。即用该整数除以目的数制的基数，第一次除所得余数为目的数整数部分的最低位，把得到的商再除以该基数，所得余数为目的数整数部分的次低位，依次类推。重复上面的过程，直至商为零时。如下图所示。

（a）转换为二进制数 （b）转换为八进制数 图11.2 整数部分转化示意图 （a）转换为二进制数 （b）转换为八进制数 （c）转换为十六进制数

b.小数部分的转换——乘基取整法。 即用该小数乘以目的数制的基数，第一次乘所 得整数作为目的数小数部分的最高位，把得到的小 数再乘以该基数，所得整数作为目的数小数部分的 次高位，依次类推。重复上面的过程，直至小数部 分为零时。如图下所示。

（a）转换为二进制数 （b）转换为八进制数 小数部分转化示意图 （a）转换为二进制数 （b）转换为八进制数 （c）转换为十六进制数

(2) 二进制数与八、十六进制数的相互转换 要把一个二进制数转换为一个八（或十六）进制数，需以小数点为界，小数点的左边自右向左，小数点的右边自左向右，每三（或四）位为一组，每组对应一位八（或十六）进制数。 若不能正好构成三（或四）位一组，则在二进制的整数部分高位添零，小数部分低位添零来补足三（或四）位。

例如：（010 011 101.010 ）2 =（235.2）8 （1001 1101.0100）2 =(9D.4)16 把一个八（或十六）进制数转换为二进制数的方法与上述过程相反。只要将每位八（或十六）进制数用对应的三（或四）位二进制组合替换即可。 例如：（63.7）8 =（110 011.111）2 （3D.A）16 =（0011 1101.1010）2

(3) 八进制数与十六进制数的相互转换 即先将八（或十六）进制数转换为对应的二进 制或十进制数，再将此二进制或十进制数转换为对 应的十六（或八）进制数，从而完成八进制数和十 六进制数的相互转换。

15.1.2 码制 用于表示十进制数的二进制代码称为二—十进 制代码，简称BCD码。 常用BCD码的几种编码方式见下表

常用BCD码 8421码 5421码 2421码 余3码 0000 0011 1 0001 0100 2 0010 0101 3 0110 4 0111 5 1000 1011 6 1001 1100 7 1010 1101 8 1110 9 1111 BCD 码 十 进 制 数

1.8421-BCD码 在这种编码方式中，四位二进制数的位权值从高位到低位依次为8、4、2、1，各位代码加权系数的和等于它所代表的十进制数，它的编码方法是唯一的。 2.5421-BCD码和2421-BCD码 其四位二进制数的位权值从高位到低位分别为5、4、2、1 和2、4、2、1。和8421-BCD码不同，它们的编码方法不是唯一的。 3.余3码 余3码 = 8421-BCD码 + 0011 它的每一位没有固定的权值，是一种无权码。

2. 格雷码 格雷码又称为反射码、循环码。格雷码是一种无权码。格雷码的特点是任意相邻的码之间只有一位数码不同。 十进制数 二进制数 格 雷 码 0000 8 1000 1100 1 0001 9 1001 1101 2 0010 0011 10 1010 1111 3 11 1011 1110 4 0100 0110 12 5 0101 0111 13 6 14 7 15

15.2 逻辑代数的基本运算及其规则 15.2.1 逻辑代数的基本运算 与逻辑真值表 1．与运算 Y 15.2 逻辑代数的基本运算及其规则 15.2.1 逻辑代数的基本运算 U B Y A A & Y=A·B B 1．与运算 设：开关闭合=“1” 开关不闭合=“0” 灯亮，Y=1 灯不亮，Y=0 1 B Y A 输 入 输出 与逻辑真值表 A B 灯Y 不闭合 闭合 不亮 亮 与逻辑表达式： 与逻辑——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。

2．或运算 或逻辑真值表 或逻辑表达式： Y＝A+B 或逻辑——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。 不闭合 闭合 不亮 亮 Y B U A 1 B Y A 输 入 输出 或逻辑真值表 Y=A+B A ≥1 B 或逻辑表达式： Y＝A+B 或逻辑——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。

3．非运算 A 灯Y 闭合 不闭合 不亮 亮 A Y R U Y A 1 非逻辑真值表 非逻辑表达式： 非逻辑——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。

4. 复合逻辑运算 “与非”真值表 “或非”真值表 (1)与非 —— 由与运算 和非运算组合而成。 (1)与非 —— 由与运算 和非运算组合而成。 1 B Y A 输 入 输出 “与非”真值表 & A B Y=A·B 1 B Y A 输 入 输出 “或非”真值表 (2)或非 ——由或运算和非运算组合而成。 A B Y=A+B ≥1

(3)异或 “异或”真值表 异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。 异或的逻辑表达式为： 1 B Y A 输 入 输出 “异或”真值表 B A Y=A =1 +

3.1 逻辑代数 基 本 公 式 15.2.2 逻辑代数的基本定律及规则 一、逻辑代数的基本公式 吸收律 反演律 分配律 结合律 交换律 15.2.2 逻辑代数的基本定律及规则 吸收律 反演律 分配律 结合律 交换律 重叠律 互补律 公 式 1 0—1律 对合律 名 称 公 式 2 基 本 公 式 3.1 逻辑代数 一、逻辑代数的基本公式

公式的证明方法： A B （1）用简单的公式证明略为复杂的公式。 例3.1.1 证明吸收律 证： 0 0 （2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。 例3.1.2 用真值表证明反演律 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1

二、逻辑代数的基本规则 吸收律 反演律 分配律 结合律 交换律 重叠律 互补律 公式1 0—1律 对合律 名称 公式2 1 .代入规则 对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立： 2 .对偶规则 将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1，1 → 0 所得新函数表达式叫做L的对偶式，用 表示。 对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。 基本公式中的公式l和公式2就互为对偶 式。

15.3 逻辑函数及其表示方法 15.3.1 逻辑函数 例 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 A B C 1 Y 三人表决电路真值表 解：第一步：设置自变量和因变量。 第二步：状态赋值。 对于自变量A、B、C设： 同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑“0”。 对于因变量Y设： 事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。 第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表。

一般地说，若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定以后，输出逻辑变量Y的值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的逻辑函数，写作： L=f（A，B，C…） 逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。

15.3.2 逻辑函数的表示方法 三人表决电路真值表 1．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。 A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 L 2．函数表达式——由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。 由真值表可以转换为函数表达式。例如，由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式： 真值表 0 0 0 1 1 0 1 1 A B 1 L 反之，由函数表达式也可以转换成真值表。 例 列出下列函数的真值表： B A L + = 解：该函数有两个变量，有4种取值的 可能组合，将他们按顺序排列起来即 得真值表。

3．逻辑图——由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出逻辑图。 例 画出函数 的逻辑图： B A L + = 解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。 由逻辑图也可以写出表达式。 例 写出如图所示 逻辑图的函数表达式。 解： 4. 卡诺图－－卡诺图实际上是真值表的一种特定的图形，有关内容在下节中介绍。

15.4 逻辑函数的化简 逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如： 与——或表达式 15.4 逻辑函数的化简 逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如： 与——或表达式 或——与表达式 与非——与非表达式 或非——或非表达式 与——或——非表达式 其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。

逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准 15.4.1 逻辑函数的公式化简法 （1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。 15.4.1 逻辑函数的公式化简法 （1）并项法： 运用公式 将两项合并为一项，消去一个变量。 例：

（2）吸收法： （4）配项法： 运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。 例： （3）消去法： 运用吸收律 消去多余因子。 例： 运用吸收律 消去多余因子。 例： （4）配项法： 先通过乘以 或加上 ， 增加必要的乘积项，再用以上方法化简。 例：

在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。 例化简逻辑函数： 解： （利用 ） （利用A+AB=A） （利用 ）

例 化简逻辑函数： 解： （利用反演律 ） （利用 ） （利用A+AB=A） （配项法） （利用A+AB=A） （利用 ）

由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。 例 化简逻辑函数： 解法1： （增加多余项 ） （消去一个多余项 ） （再消去一个多余项 ） 解法2： （增加多余项 ） （消去一个多余项 ） （再消去一个多余项 ） 由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。 代数化简法的优点：不受变量数目的限制。 缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定的技巧和经验；不易判定化简结果是否最简。

15.4.2 卡诺图化简法 1、 最小项的定义与性质 最小项——n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。 A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 变 量 取 值 最 小 项 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 编 号 三变量函数的最小项

2、逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式。 例1：将函数 转换成最小项表达式。 解： 例1：将函数 转换成最小项表达式。 解： =m7+m6+m3+m1 例2： 将函数 转换成最小项表达式。 解： =m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）

3、卡诺图 一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。 （1）相邻最小项 如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。 如最小项ABC 和 就是相邻最小项。 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。 如： （ 2）卡诺图 一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。

（3）卡诺图的结构 ①二变量卡诺图 AB 00 01 11 10 ②三变量卡诺图 BC 00 01 11 10 A m0 m1 m3 m2 1 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 A C

③四变量卡诺图 卡诺图具有很强的相邻性： CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 （1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。 （2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。 C CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 B A D

4、用卡诺图表示逻辑函数 B C 1 1 1 1 （1）从真值表到卡诺图 例 已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。 解： 该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将8个最小项L的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可。 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 A B C 1 L 真值表 A BC 00 01 1 11 10 B C 1 1 1 1

（2）从逻辑表达式到卡诺图 ①如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。 例 用卡诺图表示逻辑函数: BC 00 01 11 10 A 例 用卡诺图表示逻辑函数: 解： 写成简化形式： 然后填入卡诺图： F BC 00 01 11 10 A 1 ②如不是最小项表达式，应先将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可由“与——或”表达式直接填入。 1 C D A B G 例 用卡诺图表示逻辑函数： 1 1 解：直接填入：

5、逻辑函数的卡诺图化简法 （1）卡诺图化简逻辑函数的原理 : ①2个相邻的最小项可以合并，消去1个取值不同的变量。 ②4个相邻的最小项可以合并，消去2个取值不同的变量。 C A B D C A B D 1 1 1 1 1 1 1

③8个相邻的最小项可以合并，消去3个取值不同的变量。 C A B D 1 1 总之，2n个相邻的最小项可以合并，消去n个取值不同的变量。

(2)用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则） ①尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 ②圈的个数尽量少。 ③卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。 ④在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。  

 (3)用卡诺图化简逻辑函数的步骤： ①画出逻辑函数的卡诺图。 ②合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。 ③写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。

例 化简逻辑函数： L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15） 解：（1）由表达式画出卡诺图。 （2）画包围圈， 合并最小项， 得简化的 与—或表达式: CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 C A B D 1

例 用卡诺图化简逻辑函数： 解：（1）由表达式画出卡诺图。 （2）画包围圈合并最小项， 得简化的与—或表达式: 例 用卡诺图化简逻辑函数： 解：（1）由表达式画出卡诺图。 （2）画包围圈合并最小项， 得简化的与—或表达式: C A B D 1 注意：图中的绿色圈 是多余的，应去掉 。

例已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图化简该函数。 解：（1）由真值表画出卡诺图。 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 A B C 1 L 真值表 （2）画包围圈合并最小项。 有两种画圈的方法： （a）：写出表达式： 1 A B C L 1 A B C L （b）：写出表达式： 由此可见，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。

(4)卡诺图化简逻辑函数的另一种方法——圈0法 例 已知逻辑函数的卡诺图如图示，分别用”圈1法”和“圈0法”写出其最简与—或式。 解：（1）用圈1法，得： （2）用圈0法，得： 对L取非得： C A B D 1 C A B D 1

本章小结 （1）在数字电路中最常用的是二进制数。我们必须熟练掌握二进制数、十进制数及其相互转换，了解BCD码、反射码。 （2）逻辑代数是用以描述逻辑关系、反映逻辑变量运算规律的数学。基本逻辑关系有与、或、非三种，分别由基本的逻辑门电路——与门、或门、非门电路来实现。由基本逻辑门可组成组合逻辑门电路。 （3）逻辑函数通常可以用真值表、逻辑表达式、逻辑图和卡诺图表示，它们之间可以相互转化。

（4）逻辑代数中有许多基本定律和公式，这是进行逻辑函数化简的依据，它既有与普通代数相同之处，又有不同之处，必须在学习中加以区别。 （5）逻辑函数的化简方法有公式法和卡诺图法。本章重点要求掌握公式化简法。