在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量 设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布. 的分布 身高Y 体重X 身高Y 的分布
现在若限制1. 7<Y<1. 8(米), 在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1. 7米和1 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样. 例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 .
实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复. 类似定义在X=xi条件下 随机变量Y 的条件概率函数. 一、离散型r.v的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复. 定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称 P(X=xi|Y=yj)= ，i=1,2, … 作为条件的那个r.v,认为取值是 给定的，在此条件下求另一r.v的 概率分布. 为在Y=yj条件下随机变量X的条件概率函数.
条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质. 例如： i=1,2, …
p，(0<p<1)， 射击进行到击中目标两次为 例1 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，(0<p<1)， 射击进行到击中目标两次为 止. 以X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数. 试求X 和Y的联合分布及条件分布. 解：依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m}表示首次击中目标时射击了m次 n次射击 击中 2 n n-1 1 ………………. m
不论m(m<n)是多少，P(X=m,Y=n)都应等于 P(X=m,Y=n)=？ 击中 2 n n-1 1 ………………. m 每次击中目标的概率为 p 不论m(m<n)是多少，P(X=m,Y=n)都应等于 P(X=m,Y=n)=？ 由此得X和Y的联合概率函数为 n=2,3, …; m=1,2, …, n-1
为求条件分布，先求边缘分布. X的边缘概率函数是： m=1,2, …
Y的边缘概率函数是： n=2,3, …
于是可求得： 当n=2,3, …时， 联合分布 边缘分布 m=1,2, …,n-1
当m=1,2, …时， n=m+1,m+2, …
二、连续型r.v的条件分布 设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0 ，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.
定义2 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y), 边缘概率密度为 ，则对一切使 的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件 密度函数为 同样，对一切使 的 y, 定义 为已知 Y=y下，X的条件密度函数 .
我们来解释一下定义的含义： 以 为例 将上式左边乘以 dx , 右边乘以 (dx dy)/dy即得
换句话说，对很小的dx和 dy， 表示已知 Y取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率.
例2 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率 密度为 求 解： (X,Y) 关于X的边缘密度为 当|x|<1时,有
X作为已知变量 即 当|x|<1时,有 X已知下Y 的 条件密度 这里是 y 的取值范围
前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布. 可以证明，对二维正态分布，已知 X=x下，Y 的条件分布，或者已知 Y=y下，X的条件分布都仍是正态分布. 留作练习.
运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率. 即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A， 特别，取 定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为
例3 设(X,Y)的概率密度是 求 P(X>1|Y=y) 解: P(X>1|Y=y) 为此, 需求出
由于 于是对y>0, 故对y>0, P(X>1|Y=y)
例4 设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到 X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y 的概率密度. 解：依题意，X具有概率密度 对于任意给定的值x(0<x<1)，在X=x的条件下，Y的条件概率密度为
已知边缘密度、 条件密度，求 联合密度 X和Y的联合密度为 于是得Y的概率密度为
我们已经知道， 设 (X,Y)是连续型r.v，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立. 由条件密度的定义： 可知，当X与Y相互独立时， 也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两个分量X与Y是否相互独立. 对离散型r.v有类似的结论，请同学们自行给出.