第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5空间向量运算的 坐标表示
复习巩固 1.空间向量基本定理: 若三个向量a，b，c不共面，则对空间 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.
若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称 为向量p在单位正交基底e1，e2，e3下 的坐标，记作p＝(x，y，z). 2.空间向量的坐标表示: 若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称 为向量p在单位正交基底e1，e2，e3下 的坐标，记作p＝(x，y，z). x y z O e2 e1 e3 p
练习：如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC的夹角的余弦值.
设{i，j，k}为单位正交基底，向量 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 探究（一）：向量运算的坐标表示 设{i，j，k}为单位正交基底，向量 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) a - b＝(x1-x2，y1-y2，z1-z2)
设{i，j，k}为单位正交基底，向量 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2
设向量 a＝(x1，y1，z1)， b＝ (x2，y2，z2). x1x2＋y1y2＋z1z2 ＝0
若点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2) ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是A1B1，C1D1的一个四 等分点，求异面直线BE与DF所成角的 余弦值. 例题讲解 例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是A1B1，C1D1的一个四 等分点，求异面直线BE与DF所成角的 余弦值. x y z E A B C A1 F B1 C1 D1 D
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是BB1，B1D1的中点， 求证：EF⊥A1D. x y z E A B C A1 B1 C1 D1 D F
小结作业 1.空间向量的坐标运算是在空间向量基本定理和空间向量的坐标表示的基础上建立起来的理论，它与平面向量的坐标运算的算法原理是一致的，其不同点体现在空间向量是三维坐标运算，平面向量是二维坐标运算.
2.求空间向量的坐标有几何法、差向量法、待定系数法等，若向量的起点在原点，一般用几何法；若向量的起点和终点是一些特殊点，一般用差向量法，即终点坐标减起点坐标；若向量的具体位置不确定，一般用待定系数法. 3.对立体几何中的某些证明或计算问题，如果图形中有三条互相垂直的直线，可以建立空间直角坐标系，利用 向量的坐标运算求解.
作业： P97练习：1，2，3. P98：6-10. 《学海》第5课时