第七章 静电场 山东大学精品课程 医学物理学

电子是自然界中存在的最小负电荷, 1986年的 推荐值为：e =1.602 177 33×10-19 C 库仑 第一节 电场强度 一、电荷 (charge) 自然界中有两种电荷：正电荷、负电荷。 电子是自然界中存在的最小负电荷, 1986年的 推荐值为：e =1.602 177 33×10-19 C 库仑 实验证明微小粒子带电量的变化是不连续的，它只能是元电荷 e 的整数倍 , 即粒子的电荷是 量子化的： Q = n e ; n = 1, 2 , 3,… 医学物理学

二、库仑定律(Coulomb law) 在真空中两个相对于观察者静止的点电荷之间的相互作用力的大小与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比 ,方向沿两电荷的连线,同号相斥,异号相吸。 设q2 受到 q1 的作用力为F12 则： 其中 为q1 指向q2 的矢量 当q2 与q1 异号时, F12 与r12 方向相反 库仑力满足牛顿第三定律 医学物理学

是国际单位制中的比例系数 称为真空电容率或真空介电常量。 条件：点电荷，真空 适用叠加原理 医学物理学

例1：三个点电荷q1=q2=2.0×10-6C , Q=4.0×10-6C ， 求q1 和 q2 对Q 的作用力。 y x o r1 r2 0.3 0.4 θ 解： q1 和 q2对Q 的作用力的 方向虽然不同，但大小相等： Fx F1 F2 Fy 由对称性可以看出两个力在 y 方向的分力大小相等，方向相反而相互抵消，Q 仅受沿x方向的作用力： 医学物理学

1. 试探电荷： q0 是携带电荷足够小；占据空间也 足够小的点电荷，放在电场中不会对原有电场有显著的影响。 三、电场与电场强度 1. 试探电荷： q0 是携带电荷足够小；占据空间也 足够小的点电荷，放在电场中不会对原有电场有显著的影响。 2. 将正试探电荷q0放在电场中的不同位置，q0受到的电场力 F 的值和方向均不同 , 但对某一点而言 F 与 q0 之比为一不变的矢量，为描述电场的属性 引入一个物理量电场强度(简称为场强）： 物理 意义 它与试探电荷无关，反映电场本身的性质。 单位正电荷在电场中 某点所受到的力。 医学物理学

电场中某点的电场强度的大小，等于单位电荷在该点所受电场力的大小；电场强度的方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致。 3. 单位 ：在国际单位制 (SI)中 力 的单位：牛顿(N ); 电量 的单位：库仑(C ) 场强 单位(N/C )，或(V/m)。 电场是一个矢量场(vector field ) 电荷在场中受到的力： + 医学物理学

四、电场强度的计算 位矢 求场点 O 场源 F 1.点电荷的电场强度 正电荷 负电荷 医学物理学

若空间存在n个点电荷q1 ,q2 ,…,qn 求它们在空间电场中任一点P 的电场强度： 2.多个点电荷产生的电场 若空间存在n个点电荷q1 ,q2 ,…,qn 求它们在空间电场中任一点P 的电场强度： E3 E2 E1 ri 是点P 相对于第i 个点电荷的位置矢量。 电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。 医学物理学

将带电体分成很多电荷元dq ,先求出它在空间任意点 P 的场强 3.任意带电体产生的电场 将带电体分成很多电荷元dq ,先求出它在空间任意点 P 的场强 P ＋ 对整个带电体积分,可得总场强： 以下的问题是引入电荷密度的概念并选取合适的坐标，给出具体的表达式和实施计算。 医学物理学

电荷的线密度 线电荷分布的带电体的场强 医学物理学

例2： 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为Q，半径为R。 解：在圆环上任选dq ，引矢径 r 至场点，由对称性可知， p 点场强只有x 分量 dE// dE⊥ 医学物理学

方向在x 轴上，正负由q的正负决定。说明远离环心的场强相当于点电荷的场。 dE// dE⊥ 当所求场点远大于环的半径时， 方向在x 轴上，正负由q的正负决定。说明远离环心的场强相当于点电荷的场。 医学物理学

例3：求带电线的中垂线上与带电线相距为 R的点的场强 方法一： X β 2L dEy a dx r P θ 2L dE 医学物理学

当L为无限长 方向：η>0 背离导线 η<0 指向导线 医学物理学

方法二： 2L dEy a dx r P θ 医学物理学

医学物理学

第二节 高斯定理 一、电场线(electric line of field) 1、定义： 电场线上各点的切线方向与 该点场强的方向一致； 第二节 高斯定理 一、电场线(electric line of field) 1、定义： 电场线上各点的切线方向与 该点场强的方向一致； 在垂直于电场线的单位面积 上穿过的曲线条数与该处的电 场强度的大小成正比。 医学物理学

2）E的大小为垂直通过面积元 dS 的电场线的条数 d； 2、 性质： 1）切线方向为E的方向； 2）E的大小为垂直通过面积元 dS 的电场线的条数 d； 3)电场线发自正电荷，终于负电荷，在无电荷处不中 断； 4）任何两条电场线不相交； 5）电场线不构成闭合曲线； 医学物理学

二、电场强度通量(electric flucx) 1、定义 通过任一面积元的电场线的条数称为通过这 一 面积元的电场强度通量。（简称电通量） 如果垂直于电场强度的面积为dS，穿过的电场线 条数为de，那么 S E 医学物理学

如果在电场强度为E的匀强电场中，平面S与电 场强度E 相垂直，则 e = E S . 若选择比例系数为1，则有de = E d S . 如果在电场强度为E的匀强电场中，平面S与电 场强度E 相垂直，则 e = E S . n E θ s 如果在场强为E的匀强电场中，平面S与场强E不 垂直，其法线n与场强E成 角。 医学物理学

如果在非匀强电场中有一任意曲面 S，可以把曲面S分成许多小面元dS ，则穿过面元dS的电场线条数de 可以表示为 医学物理学

s5 s2 例4：一个三棱柱放在均匀电场中，E=200 N/C ,沿x方向 ，求通过此三棱柱体的电场强度通量。 y θ E n x y z 解：三棱柱体的表面为一闭合曲面，由S1、S2、S3、S4、S5 构成，其电场强度通量为： 即：通过闭合曲面的电场强度通量为零。 医学物理学

三、 高斯定理（Gauss theorem） 曲面所包围的电量除以e 0 ，而与S以外的电荷无关。 数学表达式 1、 包围点电荷q 的同心球面S 的电通量 S 医学物理学

此结果与球面的半径无关。即通过各球面的电力线 总条数相等。从 q 发出的电场线连续的延伸到无穷 远。 医学物理学

穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲面S的电通量必然为q / 0 ，即 2、包围点电荷q 任意闭合曲面S 的电通量 S1 S2 S 穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲面S的电通量必然为q / 0 ，即 3、 任意闭合曲面S不包围电荷，点电荷q 处于 S之外：如图所示，由于从q 发出的电场线，凡是穿入S 面的，必定又从S面穿出，所以穿过S 面的电场线净条数必定等于零，曲面S的电通量必定等于零。 医学物理学

在静电学中，常常利用高斯定理来求解电荷分布具有一定对称性的电场问题。 高斯定理的应用 应用高斯定理（电荷对称情况下）解题的方法 ①先分析电场的对称性； ②据对称性选取合适的高斯面； ③高斯面要通过待求点； ④面上各点E或与面垂直、或与面平行，且均匀大小 相等。 医学物理学

解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。 例5：均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。 解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。 它具有与场源同心的球对称性。固选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。 均匀带电球壳 (1) 当 高斯面内电荷为Q，所以 高斯面 (2)当 高斯面内电荷为 0 高斯面 医学物理学

例6：求半径为R的均匀带电球体在球内外各点的场强分布，总电量为Q 。 解：因为电荷分布具有球对称性。 固选取同心的球面为高斯面。 设球体电荷密度为r Q R r 医学物理学

例7：求无限大均匀带电平板的场强分布。 设面电荷密度为 。 解：电荷均匀分布在无限大的平面 上，电场分布对该平面对称。所以 设面电荷密度为 。 解：电荷均匀分布在无限大的平面 上，电场分布对该平面对称。所以 p 点的场强必然垂直于该平面，离 平面等远处的场强大小都相等。 医学物理学

选一其轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面 S，带电平面平分此圆筒，场点 p 位于它的一个底面上。 场强方向垂直于带电平面。 医学物理学

例8：求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。 设面电荷密度分别为 和 。 场强方向指离平面; 场强方向指向平面。 例8：求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。 设面电荷密度分别为 和 。 解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用 高斯定理。然而每一个带电平面的场强先可用高斯 定理求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生 的总场强。 需注意方向： 医学物理学

由图可知，在A 区和B区场强均为零。C 区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板。 场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍。 直流电路中的平行板电容器间的场强， 就是这种情况。 医学物理学

例9：一无限长均匀带电细棒，其线电荷密度为，求距细棒为a处的电场强度。 S a 解：以细棒为轴作一个高为l、截面半径为a的圆柱面，如图所示。由于对称性，圆柱侧面上各点的场强E的大小相等, 方向都垂直于圆柱侧面向外。 通过高斯面S的电通量可分为圆柱侧面和上、下底面三部分通量的代数和。 医学物理学

因上、下底面的场强方向与面平行， 其电通量为零，即式中后两项为零。 此闭合面包含的电荷总量 其方向沿场点到直导线的垂线 S a 因上、下底面的场强方向与面平行， 其电通量为零，即式中后两项为零。 此闭合面包含的电荷总量 其方向沿场点到直导线的垂线 方向。正负由电荷的符号决定。 医学物理学

注意： 思考： 1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面上的Φ 有贡献 ？ 3）将q2从A点移动到B点，P点电场强度是否变化？穿过高斯面S的Φ变化否？ 注意： 1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面. 3）穿进高斯面的电通量为负，穿出为正. 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献. 医学物理学

第三节 电势 一、静电场力做功 (conservative field) 在点电荷q的场中移动试探电荷q0，求电场力作的功： θ rQ P Q c rP 在点电荷q的场中移动试探电荷q0，求电场力作的功： 点电荷 从 P 经任意路径到 Q点，电场所作的功为： 电场力所做的功只与始点和末点的位置有关 医学物理学

点电荷的静电场力所作的功与积分路径无关。 任何一个带电体都可看成是由无数电荷元组成， 由场强叠加原理可得到电场强度 E=E1+E2+…+En， 试探电荷q0从P 移动到Q，电场力作的功为： 任何静电场中，电荷运动时电场力所作的功只与起始和终了的位置有关,而与路径无关。 这一特性说明： 静电场是保守场 。 医学物理学

在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分等于零。称为静电场的环路定理。 因为保守力的数学形式为 A C B D 可以证明在静电场中有 在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分等于零。称为静电场的环路定理。 医学物理学

1、电势能 电荷在电场中移动时，电场力作的功等于电势能的变化量 二、电势 1、电势能 电荷在电场中移动时，电场力作的功等于电势能的变化量 ● q0 在电场中某点的电势能等于把 q0 从该点移到无限远处电场力作的功——不能确切反映电场的性质。 医学物理学

●电场中某点a的电势，等于把单位正电荷从a点经任 意路径移动到无限远处时，静电场力所作的功。 2、电势 ①电势 ●电场中某点a的电势，等于把单位正电荷从a点经任 意路径移动到无限远处时，静电场力所作的功。 电势(electric potential )是标量，单位为伏特（V ） 也称为焦耳/库仑，即1V= 1 J /C 医学物理学

●在数值上等于单位正电荷从电场中 a 点经任意路 径到 b 点时电场力作的功 ②电势差（电压） ●在数值上等于单位正电荷从电场中 a 点经任意路 径到 b 点时电场力作的功 ③电场对点电荷做功 医学物理学

3、电势的计算 (electric potential ) 1）、 点电荷产生的电场中的电势分布 可用场强分布和电势的定义直接积分。 注意：可以沿很多路径，但是沿电场线最简单。 医学物理学

2）、 在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势： 在多个点电荷产生的电场中,任一点的电势等于 各个点电荷单在该点所产生的电势的代数和。 医学物理学

3）、 在任意带电体产生的电场中任意一点的电势 P ＋ 可以把带电体看为很多很小电荷元 的集合体。它在空间某点产生的电 势，等于各个电荷元在同一点产生 电势的代数和。 线密度为l的带电体 医学物理学

求电势的方法： 1. 2. 医学物理学

解：设无限远处为零电势，由高斯定理知, 在r < R 的球内空间 E1= 0 在 r >R 的球外空间电场分布为： 已知球面总带电量为Q。 解：设无限远处为零电势，由高斯定理知, 在r < R 的球内空间 E1= 0 在 r >R 的球外空间电场分布为： E1 R q r E2 E r 1.球内任一点的电势为： 医学物理学

带电球壳是个等势体。在球面处场强不连续，而电势是连续的。 2.球外任意点的电势： R q r U1 U2 U r 带电球壳是个等势体。在球面处场强不连续，而电势是连续的。 医学物理学

例11：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。 解：由高斯定理知场强为： 方向垂直于带电直线。 电荷线密度 若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。因此可以选取某一距带电直导线 为r0的p0点为电势零点，则距带电直线为r 的p点的电势： 由此例看出，当电荷分布扩展到无穷 远时，电势零点不能再选在无穷远处。 医学物理学

三、 等势面 (equipotential surface ) 将电场中电势相等的点连接起来所形成的一系列曲面叫做等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线。 正电荷等势面 等势面的性质： 电荷沿等势面移动，电场力不作功。 等势面与电场线正交。 因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点， 电场力作功为零，而路径不为零 医学物理学

规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。 负电荷的场 正电荷的场 均匀电场 医学物理学

●E的大小 等于电势在此方向上变化率dU/dl的负值 四、电场强度与电势的关系 dl ●E的大小 等于电势在此方向上变化率dU/dl的负值 医学物理学

●E在任意方向上的分量大小 Ecosθ等于电势在此方向上变化率dU/dl的负值 医学物理学

静电场在任一点的场强等于该点电势梯度的负值（电势变化率最大） 等势面密的地方，场强大；等势面疏的地方场强小。 电场强度的方向恒指向电势降落的方向。 医学物理学

第四节 电偶极子和电偶层 一、电偶极子的场强 电偶极子：相距很近、带等量异号电荷 +q 和 －q 组成的点电荷系统。 电偶极矩 的方向由负电荷引向正电荷 医学物理学

中垂线 r- r+ r －q +q E E+ E- 医学物理学

二、电偶极子的电势 医学物理学

医学物理学

电偶极子的电势分布特点：电偶极子中垂面上的电势为零（θ=900），把电势分成正、负两个区域；正电荷一侧为正电势区，负电荷一侧为负电势区。 医学物理学

电偶层：相距很近互相平行，带有等值异号的电荷面密度的两个带电表面层。 a θ δ 层矩 立体角 dΩ为ds对a点所张的立体角。 医学物理学

a 如果层矩相等 膜外为0，膜内为-4πkτ 医学物理学

第五节 静电场中的电介质 一、电介质的极化 绝缘体都属于电介质。在这种物质中，不存在自由电荷，但是在静电场的作用下，电介质的表面上会出现电荷，称为极化电荷。电介质出现极化电荷的现象，称为电介质极化。 ①极性分子电介质：正、负电荷中心不重合，分子 电矩不为零 ②无极分子电介质：正、负电荷中心重合，分子 电矩为零 医学物理学

在外电场中，出现极化电荷（束缚电荷）的现象 叫做电介质的极化。 二、电极化强度 1、极化电荷 在外电场中，出现极化电荷（束缚电荷）的现象 叫做电介质的极化。 a)位移极化 + + 医学物理学

●均匀介质内部各处呈电中性，介质表面出现电荷，不能离开电介质到其它带电体，也不能在电介质内部自由移动，称为束缚电荷或极化电荷 b)取向极化 ●均匀介质内部各处呈电中性，介质表面出现电荷，不能离开电介质到其它带电体，也不能在电介质内部自由移动，称为束缚电荷或极化电荷 医学物理学

2、电极化强度矢量 分子电矩 单位：C/m2 介质的电极化率，只与介质本身的性质有关 医学物理学

d 医学物理学

三、介电常数 d 医学物理学

★介质中合场强的大小为真空时场强的 1/εr Eo E’ 真空介电常数 真空电容率 相对电容率 是一纯数 相对介电常数 介电常数 电容率 ★介质中合场强的大小为真空时场强的 1/εr Eo E’ E 医学物理学

例12：平行板电容器，求无电介质和插入电介质时 极板间电势差 +σ0 -σ0 E0 d E δ 医学物理学