第六章 变换与离散系统的频域分析 6.1 Z变换的定义 6.2 Z变换收敛区及典型序列Z变换 6.3 Z变换的性质定理 6.4 逆Z变换 第六章 变换与离散系统的频域分析 6.1 Z变换的定义 6.2 Z变换收敛区及典型序列Z变换 6.3 Z变换的性质定理 6.4 逆Z变换 6.5 离散系统的复频域分析 *6.6 离散序列的傅里叶变换 6.7 系统函数与系统特性 6.8 离散系统的模拟与信号流图

6.1 Z变换的定义 Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理想抽样信号为 式中, T为抽样间隔。对上式取双边拉氏变换，得到

交换运算次序， 并利用冲激函数的抽样性， 得到抽样信号的拉氏变换为 (6.1-1) 令z=esT或 ，引入新的复变量，式(6.1-1)可写为 (6.1-2)

式(6.1-2)是复变量Z的函数（T是常数）， 可写成 (6.1-3) 式(6.1-3)是双边Z变换的定义。  如果x(n)是因果序列，则式(6.1-3)的Z变换为 (6.1-4)

6.2 Z变换收敛区及典型序列Z变换 例6.2-1 已知序列 分别求它们的Z变换及收敛区。

解

X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径的圆外， 而X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。  此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边Z变换，不同序列的表示式有可能相同，但各自的收敛区一定不同。所以为了惟一确定Z变换所对应的序列，双边Z变换除了要给出X(z)的表示式外，还必须标明X(z)的收敛区。  任意序列Z变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，即 (6.2-1)

1. 有限长序列 图 6.2-1 有限长序列示意图

有限长序列的Z变换为 由上式有限长序列的Z变换可见，此时X(z)是有限项级数， 因此只要级数每项有界，则有限项之和亦有界。当x(n)有界时， Z变换的收敛区取决于|z|-n。当n1≤n≤n2时，显然，|z|在整个开区间(0,∞)可满足这一条件。所以有限长序列的收敛区至少为0<|z|<∞。如果0≤n1，X(z)只有z的负幂项，收敛区为0<|z|≤∞；若n2≤0，X(z)只有z的正幂项，收敛区为0≤|z|<∞；均为半开区间。 特别的，x(n)=δ(n) X(z)=1，0≤|z|≤∞，收敛区为全z平面。

例6.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。  解 收敛域为0<|z|≤ ∞

2. 右边序列 右边序列是有始无终的序列，即n2→∞，如图6.2-2所示。 右边序列的Z变换为 当n1<0时，将右边序列的X(z)分为两部分 ① ②

式中第①项是有限长序列的收敛域0≤|z|<∞； 第②项只有z的负幂项，其收敛域RX-<|z|≤∞，是以RX-为半径的圆外，且RX-一定大于零；综合①、 ②两项的收敛区情况，一般右边序列的收敛区为 式(6.2-2)表明，右边序列的收敛区是以RX-为收敛半径的圆外。  当n1≥0时，X(z)的和式中没有z的正幂项，收敛域为RX- <|z|≤∞。

图6.2-2 右边序列示意图

例6.2-3 已知序列 求X(z)。 解 此例收敛域是以X(z)的极点1/3为半径的圆外。推论：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则右边序列的收敛区是以绝对值最大的极点为收敛半径的圆外。

3. 左边序列 左边序列是无始有终的序列，即n1→-∞，如图6.2-3所示。 左边序列的Z变换为 当n2>0时，将左边序列的X(z)分为两部分 ① ②

式中第①项只有z的正幂项，收敛域0≤|z|<RX+；第②项是有限长序列，收敛域为0<|z|≤∞；综合①、 ②两项的收敛区情况，一般左边序列的收敛区为 当n2<0，X(z)的和式中没有z的负幂项时，其收敛域为0≤|z|< RX+ 。

图 6.2-3 左边序列示意图

例6.2-4 已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求X(z)。  解 注意到此例收敛域是以X(z)的极点b为半径的圆内，推论： 在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则左边序列收敛区是以绝对值最小的极点为收敛半径的圆内。

4. 双边序列 双边序列是无始无终的序列，即n1→-∞，n2→∞。其Z变换为 将双边序列的X(z)分为两部分 ① ②

式中第①项是左序列，其收敛域为0≤|z|<RX+；第②项是右序列， 其收敛域为RX+<|z|≤∞；综合第①、②项的收敛区情况可知，只有当RX-> RX-时，X(z)的双边Z变换存在，收敛区为 (6.2-4) 式(6.2-4)表明双边序列的收敛区是以RX-为内径，以RX+为外径的一环形区；而当RX+ < RX-时，X(z)的双边Z变换不存在。

例6.2-5 已知双边序列x(n)=c|n|，c为实数，求X(z)。

n≥0时 讨论：(1) |c|<1时，c|n|波形如图6.2-4所示。

图 6.2-4 |c|<1双边序列示意图

(2) |c|>1时，c|n|波形如图6.2-5所示。因为 无公共收敛区，所以X(z)的双边Z变换不存在。

6.2.2 典型序列的Z变换 连续时间系统中非因果信号较少，但在离散系统中非因果序列(单边序列、双边序列)却有一定的应用。  1. δ(n)

2. u(n)

3. 斜变序列nu(n) |z-1|<1 可利用u(n)的Z变换， 等式两边分别对z-1求导，得 两边各乘以z-1

4. 指数序列

5. 单边正、余弦序列 由指数序列的 可推得

将正、 余弦序列分解为两个指数序列 |z|>1 同理 |z|>1

6. 双边指数序列

6.3 Z变换的性质定理 ax(n)+by(n)  aX(z)+bY(z) R-<|z|<R+ 1. 线性 若 则 （6.3-1） 式中 一般情况下线性相加后的序列其Z变换的收敛区会改变。

例6.3-1 利用线性求双曲余、正弦序列x1(n)=cosh(nθ0)u(n)， x2(n)=sinh(nθ0)u(n) 的Z变换。  解 已知指数序列及变换 双曲余弦序列可分解为

利用线性及指数序列的变换， 双曲余弦序列的变换为 同理

2. 双边Z变换的位移（移序）性 （m>0） 若序列x(n)的双边Z变换为 证明 令n+m=k，代入上式

例6.3-2

3. 单边Z变换的位移性 (1) 若序列x(n)的单边Z变换为 则序列左移后单边Z变换为 （6.3-3）

证明

序列左移后单边Z变换的示意图如图6.3-1所示。特别的，

(2) 若x(n)u(n) X(z), 则 m>0 （6.3-4） 证明

序列右移后单边Z变换的示意图如图6.3-2所示。特别的，

(3) 若x(n)为因果序列， , 则 (6.3-5) (6.3-6)

x(n)u(n)=x1(n)+ x1(n-N)+x1(n-2N)+… 例6.3-3 求周期序列的单边Z变换。 解 周期序列 x(n)=x(n+rN) 令n=0~N-1的主值区序列为x1(n)，其Z变换为X1(z) x(n)u(n)=x1(n)+ x1(n-N)+x1(n-2N)+…

则x(n)的单边Z变换为 与连续周期信号的单边拉氏变换相同， 也称为离散周期因子。

4. 指数序列加权 （6.3-7） 证 利用指数序列加权性及 ， 可推得

5. x(n)线性加权或z域微分性 (6.3-8) 证 (交换运算次序)

利用z域微分性及 ， 可推得

6. 复序列的共轭 （6.3-9）

利用复序列的共轭，我们可以得到

7. 初值定理 对因果序列x(n)，有 （6.3-10） 证明: 对等式两边取极限

8. 终值定理 若x(n)是因果序列, 除单位圆上可有一个z=1的一阶极点外， 其余极点均在单位圆内。则 （6.3-11）

9. 时域卷积定理 若w(n)=x(n)*y(n)，则 式中

例6.3-4 求w(n)=x(n)*y(n)。

解

图 6.3-3 离散系统的零状态响应求解

R-<|v|<R+ 10. 复频域卷积定理 若w(n)=x(n)y(n)，则 （6.3-13） 式中, v平面的收敛区为max［RX-, |z|/RY+］<|v|<min［RX+, |z|/RY-］。 c是X(v)与  公共收敛区内一条逆时针封闭曲线。

证明 将 代入上式

计算一般用留数法而不是用复变函数积分，即 其中, zk为v平面上 在围线c内的全部极点。

表6-1 Z变换性质与定理

6.4 逆 Z变 换 逆Z变换也称反变换，Z反变换可用英文缩写Z-1表示，是由X(z)求x(n)的运算，若 (6.4-1) 则由柯西积分定理，可以推得逆变换表示式为 (6.4-2) 即对X(z)zn-1作围线积分，其中c是在X(z)的收敛区内一条逆时针的闭合围线。一般来说，计算复变函数积分比较困难，所以当X(z)为有理函数时，介绍常用的两种反变换方法。

6.4.1 幂级数展开法 将X(z)展开，X(z)=…+x(-1)z+x(0)+x(1)z-1+…，其系数就是x(n)。特别的，对单边的左序列或右序列，当X(z)为有理函数时， 幂级数法也称长除法。举例说明用长除法将X(z)展开成级数求得X(z)的方法。 例6.4-1 已知 |z|>1/|a|, 求x(n)。

解 因为收敛区在1/|a|外，序列为右序列，应展开为z的降幂级数。 由此可得x(n)=a-nu(n)。

例6.4-2 已知 ，求x(n)。 解 因为收敛区在1/|a|圆内，序列为左序列，应展开为z的升幂级数。

由此可得x(n)=-a-nu(-n-1)。  用长除法可将X(z)展开为z的升幂或降幂级数，它取决于X(z)的收敛区。所以在用长除法之前，首先要确定x(n)是左序列还是右序列，由此决定分母多项式是按升幂还是按降幂排列。 由长除法可以直接得到x(n)的具体数值，但当X(z)有两个或两个以上极点时，用长除法得到的序列值，要归纳为x(n)闭合式还是比较困难的，这时可以用部分分式法求解x(n)。

6.4.2 部分分式法 X(z)一般是z的有理函数，可表示为有理分式形式。最基本的分式及所对应的序列为式（6.4-3）是基本Z变换对。部分分式法就是基于此基础上的一种方法，即将X(z)的一般有理分式展开为基本（单极点）有理分式之和。 这与傅氏变换、 拉氏变换的部分分式法相似。  （6.4-3）

通常X(z)表示式为 （6.4-4） 式中, 分子最高次为M，分母最高次为N。  设M≤N， 且X(z)均为单极点，X(z)可展开为 （6.4-5） 式中 （6.4-6） （6.4-7）

因为Z变换的基本形式为 ，在用部分分式展开法时，可以先将 展开，然后每个分式乘以z，X(z)就可以展开为 的形式，即 （6.4-8） 式中, A0对应的变换为A0 δ(n)， 根据收敛域最终确定x(n)。

例6.4-3 已知 ，|z|<1，求x(n)。 解 1<|z|，是右边（因果）序列。

例6.4-4 已知 求x(n)。 解

x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 因为收敛区为2<|z|<3，是双边序列，由此可得 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)

若X(z)在z=d1有一s阶的重极点，其余为单极点。X(z)可展开为 其中, A0、Ak计算同前，Bk为 （6.4-9）

表6-2 常用序列Z变换表

6.5 离散系统的复频域分析 6.5.1 利用Z变换求解差分方程 N阶LTI离散系统的差分方程一般形式为 （6.5-1） 当x(n)是因果序列，已知初始（边界）条件y(-1), y(-2), …, y(-N)时，可利用Z变换求解式（6.5-1），对式（6.5-1）等式两边取Z变换，利用单边Z变换的位移性，得到 （6.5-2） 式中, y(l)是初始条件。

1. 零状态响应 零状态响应是仅由激励引起的响应。当激励x(n)是因果序列时，并且系统初始条件为零（y(l)=0, -N≤l≤-1），则式（6.5-2）为 （6.5-3） 由式（6.5-3）得零状态响应为 （6.5-4）

令 （6.5-5） 式中, H(z)为系统（传输）函数，零状态响应还可表示为 （6.5-6） （6.5-7）

例6.5-1 已知一离散系统的差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n), 求y(n)。其中x(n)=anu(n), y(-1)=0。  解 因为y(-1)=0， 是零状态响应。对方程两边取Z变换

2. 零输入响应  零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应，与初始（边界）条件y(-1)、y(-2)、…、y(-N)密切相关。此时激励x(n)=0，式（6.5-1）差分方程右边等于零， 式（6.5-2）变为 （6.5-8） （6.5-9）

其中, y(l)为系统的初始（边界）条件， -N≤l≤-1 （6.5-10）

例6.5-2 差分方程同例6.5-1，x(n)=0，y(-1)=-1/b，求y(n)。  对方程两边取Z变换

3. 全响应 利用Z变换，不需要分别求零状态响应与零输入响应，可以直接求解差分方程的全响应。 （6.5-11）

Y(z)-b［z-1Y(z)+y(-1)］=X(z) 例6.5-3 系统差分方程、激励x(n)同例6.5-1，y(0)=0，求y(n)。 解 先求出边界条件y(-1), 将n=0代入原方程迭代  y(0)-by(n-1)=x(0)=1 解出y(-1)=-1/b，此时的y(n)是全响应。 方程两边取Z变换 Y(z)-b［z-1Y(z)+y(-1)］=X(z)

例6.5-4 已知某离散系统模拟如图6.5-1所示，求系统函数H(z)及冲激响应h(n)。  解

图 6.5-1 例6.5-3离散系统

6.5.2 Z变换与拉普拉斯（傅里叶）变换的关系 要讨论Z变换与拉氏变换的关系，首先要研究z平面与s平面的映射（变换）关系。在5.1节中我们将连续信号的拉氏变换与采样序列的Z变换联系起来，引进了复变量z，它与复变量s有以下的映射关系 (6.5-12) 或 式中, T是采样间隔，对应的采样频率ωs=2π/T。

z=esT=e(σ+jω)T=eσTejωT=rejθ 为了更清楚地说明式(6.5-12)的映射关系，将s=σ+jω代入式(6.5-12)， z=esT=e(σ+jω)T=eσTejωT=rejθ 由此得到 式中, θ是数字域频率，由式(6.5-13)具体讨论s与z平面的映射关系。

(1) s平面的虚轴（σ=0）映射到z平面的单位圆ejθ，s平面左半平面（σ<0）映射到z平面单位圆内(r=eσT<1)；s平面右半平面(σ>0)映射到z平面单位圆外(r=eσT>1)。  (2) ω=0时，θ=0，s平面的实轴映射到z平面上的正实轴。 s平面的原点s=0映射到z平面单位圆z=1的点。 (3) 由于z=rejθ是θ的周期函数，当ω由 时，θ由-π~π，幅角旋转了一周，映射了整个z平面，且ω每增加一个采样频率ωs=2π/T，θ就重复旋转一周，z平面重叠一次。s平面上宽度为2π/T的带状区映射为整个z平面，这样s平面一条条宽度为ωs的“横带”被重叠映射到整个z平面。所以，s~z平面的映射关系不是单值的。

图 6.5-2 s~z平面的映射关系

由以上s~z平面的映射关系，再利用理想采样作为桥梁，可以得到连续信号xa(t)的拉氏变换Xa(s)与采样序列Z变换的关系为 (6.5-14) 傅氏变换是双边拉氏变换在虚轴（σ=0，s=jω）上的特例，当σ=0，s=jω映射为z=ejθ是z平面的单位圆。将此关系带入式(6.5-14)，可以得到Z变换与傅氏变换关系 (6.5-15)

图 6.5-3 理想采样序列的傅氏变换

*6.6 离散序列的傅里叶变换 6.6.1 序列傅里叶变换的定义 连续信号在虚轴上的拉氏变换，是信号的傅氏变换，描述的是信号频谱。类似的，离散序列在单位圆上的Z变换，是序列的傅氏变换，表示序列的频谱函数，由单位圆上的Z变换引出的序列傅氏变换的定义为 (6.6-1)

X(ejθ)所表示的序列的频谱也称为数字频谱。数字频谱一般是复数， 与连续信号的频谱相同，可以分解为振幅谱与相位谱， 即 X(ejθ)=|X(ejθ)|ejφ(θ) (6.6-2) 式中, |X(ejθ)|为振幅谱，φ(θ)为相位谱，都是θ的连续函数。因为ejθ是周期为2π的周期函数，所以X(ejθ)亦是周期为2π的周期函数。 

将z=ejωT=ejθ代入Z反变换公式，得到其反变换为 (6.6-3) 序列的傅氏变换与反变换是一对变换对，可分别用英文缩写DTFT与IDTFT表示为 (6.6-4) (6.6-5)

6.6.2 X(ejθ)与Xa(jω)的关系 由式(6.5-14) 定义θ为数字频率，且 式中, T为采样周期， fs为采样频率。将θ=ωT代入上式 (6.6-7)

图 6.6-1 X(ejθ)与Xa(jω)关系示意图

例6.6-1已知序列x(n)=RN(n)，求其傅氏变换X(ejθ)。 解 特别的，若N=4, 则

图 6.6-2 例6.6-1的序列与振幅频谱

连续信号的傅氏变换存在是有条件的，同样的，序列的傅氏变换存在也是有条件的。序列的傅氏变换存在的充分条件是序列绝对可和， 即 (6.6-8) 由式(6.6-8)可见，傅氏变换存在条件比Z变换苛刻。这点不难理解，因为傅氏变换是Z变换的特例（单位圆上的Z变换），所以当序列的Z变换收敛区包含单位圆时，其序列的傅氏变换存在。 也正因为如此，傅氏变换具有与Z变换平行的性质。

6.6.3 序列傅里叶变换的性质 1. 线性 （6.6-9）

2. 时移与频移 （6.6-10） （6.6-11） 对求和变量作简单的变换可以证明式（6.6-8），将 直接代入变换公式就能证明式（6.6-9）。

3. 频域微分 若x(n) X(ejθ)，则 证

4. 时域卷积定理 （6.6-13） 证

5. 频域卷积定理 （6.6-14）

6. 帕斯瓦尔定理 式中, |X(ejθ)|2是数字域的能量谱密度函数。

y(n)=T［x(n)］=x(n)*h(n) 6.7 系统函数与系统特性 6.7.1 系统函数 可以用单位脉冲响应h(n)来表示LTI离散系统的输入输出关系 y(n)=T［x(n)］=x(n)*h(n) 对应的Z变换为 Y(z)=H(z)X(z) 定义LTI离散系统输出Z变换与输入Z变换之比为系统函数 （6.7-1）

当x(n)=δ(n)，H(z)=Y(z)。所以系统函数是系统单位脉冲响应h(n)的Z变换。  H(z)=Z［h(n)］ h(n)=Z-1［H(z)］ (6.7-2) N阶LTI离散系统的差分方程通常为 (6.7-3) 系统为零状态时，对两边取Z变换，可得

解出 得到系统函数 （6.7-4）

式（6.7-4）是z-1的有理分式，其系数正是差分方程的系数， 系统函数还可以分解为 （6.7-5） 式中, {ck}是H(z)的零点；{dk}是H(z)的极点。 由式（6.7-5）可见， 除了系数A外，H(z)可由其零、极点确定。将零点{ck}与极点{dk}标在z平面上，可得到离散系统的零、极点图。

当离散系统的系统函数有原点以外的任意极点时，即式（6 当离散系统的系统函数有原点以外的任意极点时，即式（6.7-5）中有dk≠0时，对应的单位脉冲响应h(n)的时宽为无限， 这样的系统称为无限冲激响应系统, 简称IIR系统；当离散系统的系统函数只有原点处极点时，即式（6.7-5）中所有dk=0时，对应的单位脉冲响应h(n)的时宽有限，这样的系统称为有限冲激响应系统，简称FIR系统。FIR系统函数一般表示为 （6.7-6）

由于FIR系统可以具有线性相位，并且不存在系统稳定问题，因此得到越来越广泛的应用。  与连续系统相似，离散系统的特性与其零、极点分布密切相关，但将系统函数由有理分式形式分解为零、极点形式时， 并不容易， 而用MATLBA可以很方便地确定零、极点并作零、极点图。

例6.7-1 已知某系统的系统函数为 求其零、极点并绘出零、极点图。 解 6.7-1 MATLBA程序及结果如下:  b=［0.2 0.1 0.3 0.1 0.2］; %分子多项式系数 a =［1 -1.1 1.5 -0.7 0.3］; %分母多项式系数 r1=roots(a) % 求极点 r2=roots(b) % 求零点 zplane(b,a)

答案 r1 = 0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i r2 = -0.5000 + 0.8660i -0.5000- 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500- 0.9682i

例6.7-1 离散系统的零、极点图如图6.7-1所示。 图 6.7-1 例6.7-1系统的零、 极点图

6.7.2 H(z) 的零、极点分布与时域特性 H(z)与h(n)是一对Z变换对,所以只要知道H(z)在z平面上的零、 极点分布情况,就可以知道系统的脉冲响应h(n)变化规律。假设式(6.7-5)的所有极点均为单极点， 利用部分分式展开 （6.7-7） 式（6.7-7）对应的单位脉冲响应为 （6.7-8）

1. |dk|<1的极点 若| dk |<1，极点在z平面的单位圆内，hk(n)的幅度随n的增长而衰减；一对单位圆内共轭极点dk与dk*对应的hk(n)是衰减振荡。 2 | dk |=1 的极点 若| dk |=1，极点在z平面的单位圆上，hk(n)的幅度随n的增长不变；一对单位圆上的共轭极点dk与dk*对应的hk(n)是等幅振荡。 3. | dk |>1的极点 若| dk |>1，极点在z平面的单位圆外，hk(n)的幅度随n的增长而增长；一对单位圆外共轭极点dk与dk*对应的hk(n)是增幅振荡。

图 6.7-2 H(z)的极点与h(n)模式的示意图

6.7.3 系统的因果稳定性 系统函数的收敛区直接关系到系统的因果稳定性。  1. 因果系统  由因果系统的时域条件n<0，h(n)=0及H(z)的定义，可知因果系统的H(z)只有z的负幂项，其收敛区为RH-<|z|≤∞。因此收敛区包含无穷时，必为因果系统。

2. 稳定系统 由系统稳定的时域条件 ，可知系统的傅氏变换存在，H(z)收敛区必定包含单位圆。其收敛区为RH-<|z|<R H+，且RH-<1< R H+ 。因此收敛区包含单位圆时，为稳定系统。  与连续时间系统当虚轴上有一阶极点时，定义系统为临界稳定的情况类似，当H(z)的单位圆上有一阶极点时，定义离散系统为临界稳定。  3. 因果稳定系统 综合上述1、2情况，当RH-<|z|≤∞，且RH-<1时，系统是因果稳定系统，意味着因果稳定的系统函数H(z)的所有极点只能分布在单位圆内，若H(z)有单位圆上或单位圆外的极点，系统就是非稳定系统。

例6.7-2 已知某离散系统的系统函数为 判断该系统的稳定性。 解 根据系统稳定的条件，将系统函数写成零#, 极点形式

式中, 极点的模 所有极点均在单位圆内，所以是稳定系统。

*6.7.4 H(z) 的零、 极点与系统频响 类似连续系统，可以利用系统函数H(z)的零、极点，通过几何方法简便直观大致地绘出离散系统频响图。若已知稳定系统的系统函数为

则系统的频响函数为 （6.7-9）

当θ从0~2π变化一周时，各矢量沿逆时针方向旋转一周。 其矢量长度乘积的变化，反映了振幅|H(ejθ)|的变化，其夹角之和的变化反映了相位φ(θ)的变化。 （6.7-10） （6.7-11）

图6.7-3 频响H(ejθ)的几何确定法

例6.7-3 已知某系统的系统函数 求该系统频响H(ejθ)，并作|H(ejθ)|-θ、φ(θ)-θ图。

解 由已知条件可知系统是因果稳定系统。系统的差分方程 系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n)。 由系统函数 ，得到极点z∞=a，零点z0=0，如图6.7-4所示。因为当θ从0~π时，C=|C|=1 所以

图 6.7-4 例6.7-3系统频响的几何作图法

图 6.7-5 例6.7-3系统频响φ(θ)的确定

由式（6.7-9）、（6.7-10）以及上例可以归纳几何法确定频响H(ejθ)的一般规律： (1) 在某个极点dk附近，振幅特性|H(ejθ)|有可能形成峰值，dk越靠近单位圆,峰值越明显，dk在单位圆上|H(ejθ)|→∞出现谐振。 (2) 在某个零点ck附近，振幅特性| H(ejθ)|有可能形成谷点，ck越靠近单位圆, 谷点越明显，ck在单位圆上| H(ejθ)|=0。  (3) 原点处的零、极点对振幅特性| H(ejθ) |无影响，只有一线性相位分量。  (4) 在零、极点附近相位变化较快（与实轴夹角有±π的变化）。

图 6.7-6 例6.7-1系统频响

MATLAB程序及运算结果如下： w=［0:1:500］*2*pi/500;%［0,2pi］区域分为501点 X1=1; X2=1-0.9.*exp(-1*j*w); X=X1./X2; magX=abs(X);angX=angle(X).*180./pi; subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX); title(′幅度部分′);ylabel(′幅度′); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX); line(［0,2］,［0 0］); xlabel(′以pi为单位的频率′); title(′相位部分′);ylabel(′相位′);

*例6.7-4 求横向结构网络h(n)=an［u(n)-u(n-M)］的频响图。   解 零点： k，k=0,1,2,…,M-1。 极点：z∞1=a，z∞2=0，（z=a处的零、极点抵消）。  特别的，若令M=8，零极点分布如图6.7-7所示。

零点以π/4等间隔分布，|H(ejθ)|在 （k=1、2、…、7）出现谷值，并且在 附近相位变化快。若令a=0.9， 则

图6.7-7 例6.7-4系统零极点图

图 6.7-8 例6.7-4系统频响

例6.7-4的MATLAB程序及运算结果如下： w=［0:1:500］*2*pi/500;%［0,2pi］区域分为501点 X1=1-0.9^8.*exp(-8*j*w);%分子多项式 X2=1-0.9.*exp(-1*j*w); %分母多项式 X=X1./X2; %系统频响函数 magX=abs(X); %系统模频函数 angX=angle(X).*180./pi; %系统相频函数 subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX); %系统模频图 %xlabel(′以pi为单位的频率′); title(′幅度部分′);ylabel(′幅度′); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX); %系统相频图 line(［0,2］,［0 0］);  xlabel(′以pi为单位的频率′);title(′相位部分′);ylabel(′相位′);

6.8 离散系统的模拟与信号流图 6.8.1 IIR系统的直接（卡尔曼）形式 6.8 离散系统的模拟与信号流图 6.8.1 IIR系统的直接（卡尔曼）形式 描述N阶IIR系统输入x(n)与输出y(n)关系的差分方程一般为 (6.8-1) 对应的N阶离散系统的系统函数为 (6.8-2)

图 6.8-1 式(6.8-2)的信号流图表示

实现IIR系统的直接形式是将系统函数H(z)的分子、分母表示为多项式形式， 即 （6.8-3） 式中

图 6.8-2 IIR系统的直接Ⅰ型

IIR系统函数也可以写为 （6.8-4）

图 6.8-3 IIR系统的另一种直接Ⅰ型

图 6.8-4 IIR系统的直接Ⅱ型

由图6.8-4可见若M=N， 可省N个延迟器。图6.8-4的结构称为直接Ⅱ型，也称最少延迟网络、典范形式、正准型。通常IIR的直接形式是指直接Ⅱ型。  例6.8-1 已知数字滤波器的系统函数 画出该滤波器的直接型结构。 解 例6.8-1的直接型结构如图6.8-5所示。

图 6.8-5 例6.8-1的直接型结构

6.8.2 IIR系统的级联形式 IIR系统的级联形式实现方法是将H(z)分解为零、 极点形式 式中， {ck}为零点； {dk}为极点。

系统的零、极点有可能是复数，由于ak、bk均是实数，因此如果H(z)有复数的零、极点，一定是共轭成对的。把每对共轭因子合并，可构成一个实系数的二阶节。实系数单根也可以看成是复数的特例，两两可合并为基本二阶节。这样 （6.8-5） 式中, 为表示对 取整。例如，

图 6.8-6 离散系统级的联形式

例6.8-2 已知系统传递函数 画出系统的级联结构。 解 例6.8-2系统的级联结构如图6.8-7所示。

图6.8-7 例6.8-2 离散系统的级联形式

或 图 6.8-8 例6.8-2离散系统的另一种级联形式

例6.8-3 已知系统传递函数 画出系统的级联结构。 解 例6.8-3级联结构如图6.8-9所示。

图 6.8-9 例6.8-3级联结构

在不知极点位置的情况下，将系统函数直接形式变换为级联形式有时并不容易。 利用MATLAB程序，可以很方便地实现直接形式与级联形式的互换。如例6.8-3 已知某系统的系统函数为 ［b0,B,A］=dir2cas(b,a)； %变直接形式为级联形式

答案 b0 =8 B =1.0000 -0.3100 1.3161 1.0000 -0.1900 0 A =1.0000 -1.0000 0.5000 1.0000 -0.2500 0 对应的,

6.8.3 IIR系统的并联形式  IIR系统的并联形式实现先将H(z)展开为部分分式 与级联情况相同，把每对共轭因子合并，可构成一个实系数的二阶节。实系数单根是复数的特例，也可两两合并为基本二阶节。 这样 （6.8-6） 当M<N时没有式（6.8-6）中的第二项和式。

图 6.8-10 M=N时系统的并联结构

图 6.8-11 例6.8-4系统的并联结构

例6.8-4 已知系统传递函数 画出系统的并联结构。 解 例6.8-4系统的并联结构如图6.8-11所示。在极点位置不确定的情况下，将系统函数变换为并联形式有时也非易事。不过利用MATLAB程序可方便地将H(z)展开为部分分式。如例6.8-4系统函数

变直接形式为并联形式的MATLAB程序及结果为 ［C,B,A］=dir2par(b,a)； %变直接形式为并联形式

答案 C = 16 %直接项系数  B = -16.0000 20.0000 %分子项系数 8.0000 0  A = 1.0000 -1.0000 0.5000 %分母项系数 1.0000 -0.2500

6.8.4 FIR系统的直接形式（横截型、 卷积型）  FIR系统的单位脉冲响应h(n)是时宽为N的有限长序列，相应的FIR系统函数为 (6.8-7)   其特点是系统函数H(z)无极点，因此它的网络结构一般没有反馈支路。下面介绍几种FIR系统的基本结构形式。

由式（6.8-7）得FIR系统的差分方程为 （6.8-8） 图 6.8-12 FIR系统的直接结构图

图 6.8-13 另一种FIR系统的直接结构

6.8.5 FIR系统的级联形式  FIR级联形式实现方法是将H(z)的共轭零点或两个单零点组成基本的二阶节，H(z)为基本二阶节的子系统函数之积， 即 （6.8-9） 图 6.8-14 FIR系统的级联结构形式

例6.8-5 已知某FIR网络系统函数H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3，画出其直接型与级联型结构。  解 或 例6.8-5直接型与级联型结构如图6.8-15所示。

图 6.8-15 例6.8-5系统直接型与级联型结构

FIR级联型结构的特点是每一个基本二阶节可以控制一对零点， 在需要控制零点时可以采用。但它所需要的系数βik（乘法器）要比直接形式的多。  变直接形式为级联形式的MATLAB程序及结果为 h=［0.96 2 2.8 1.5］; ［b0,B,A］=dir2cas(h,1)

答案 b0 = 0.9600 B = 1.0000 1.2500 1.8750 1.0000 0.8333 0 A = 1 0 0 1 0 0