第三章 多元随机变量及其分布 关键词：二元随机变量 联合分布 边际分布 条件分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布

二元随机变量 问题的提出 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。

例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。

定义： 设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二元随机变量或二维随机变量。 S e

§1 二元离散型随机变量 定义：若二元随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是二元离散型随机变量。 （一）联合概率分布 定义：若二元随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是二元离散型随机变量。

为二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律。可以用如右表格表示： 离散型随机变量的联合概率分布律： y1 y2 … yj X Y p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij 为二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律。可以用如右表格表示：

分布律的性质

例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数 中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y 在1~X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y) 的联合概率分布。

解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4；

即(X,Y)的联合概率分布为： Y X 1 2 3 4 ¼ ⅛

（二）边际分布 对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为 X,Y的边际（边缘）分布律为：

注意： p11 p12 p1j p1· p21 p22 p2j p2· pi1 pi2 pij pi · X Y y1 y2 yj p·1 … p11 p12 p1j p1· p21 p22 p2j p2· pi1 pi2 pij pi · X Y y1 y2 yj p·1 p·2 p.j 1

X 2 1 0.05 0.80 0.15 p 0 1 1 2 0.76 0.04 0.1125 0.0375 0.015 0.035 0.80 0.15 0.05 0.8875 0.1125

（三）条件分布律

由条件概率公式可得： 当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。

定义：设(X,Y)是二元离散型随机变量, 对于固定的 ，

同样，对于固定的 ，

例3：(X,Y)的联合分布律为 Y -1 X 2 0.1 求：(1)a,b的值； (2){X=2}条件下Y的条件分布律； 0.2 a 2 0.1 b 求：(1)a,b的值； (2){X=2}条件下Y的条件分布律； (3){X+Y=2}条件下X的条件分布律。

解： (1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4

例4：盒子里装有3只黑球，2只红球，1只白球，在其中 不放回任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球的只数。求: (1)X，Y的联合分布律； (2)X=1时Y的条件分布律； (3) Y=0时X的条件分布律。若采用放回抽样呢？

解：采用不放回抽样，X, Y的联合分布律为 X Y 0 1 2 1 2 0 2/15 1/15 3/15 6/15 0 3/15 0 0 0 1 2 1 2 0 2/15 1/15 3/15 6/15 0 3/15 0 0 1/5 3/5 6/15 8/15 1/15 Y 1 1/3 2/3 X 1 2 1/2

采用放回抽样，X, Y的联合分布律为 X Y 0 1 2 1 2 1/36 4/36 4/36 6/36 12/36 0 9/36 0 0 0 1 2 1 2 1/36 4/36 4/36 6/36 12/36 0 9/36 0 0 1/4 1/2 4/9 4/9 1/9 Y 1 1/3 2/3 X 1 2 1/16 6/16 9/16

例5：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击击中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。

解：

§2 二元随机变量的分布函数 定义：设(X,Y)是二元随机变量,对于任意实数x,y，二元函数 称为二元随机变量(X,Y)的分布函数。 （一） 分布函数 定义：设(X,Y)是二元随机变量,对于任意实数x,y，二元函数 称为二元随机变量(X,Y)的分布函数。

分布函数 的性质 x1 x2 (x1,y) (x2,y) y y2 x y1 (x,y1) (x,y2)

x2 y1 x1 y2

（二） 边际（边缘）分布函数 二元随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数, 记为： 称为边际分布函数。

事实上，

（三） 条件分布函数 定义：条件分布函数

§3 二元连续型随机变量 （一） 联合概率密度

例1：设二元随机变量(X,Y)具有概率密度：

例2：设二元随机变量(X,Y)的联合概率密度为

（二） 边际（边缘）概率密度 对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 X,Y的边际概率密度为：

事实上， 同理：

例3：(续上例)设二元随机变量(X,Y)的联合概率密度为

（三） 条件概率密度 定义：条件概率密度

事实上，

例4：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，完成时间不能超过30分钟。设甲先干了X分钟，再由乙完成，加起来共用Y分钟。若X~U(0, 30)，在X=x条件下，Y~U(x, 30)。 (2) 当已知两人共花了25分钟完成工作时，求甲的工作时间不超过10分钟的概率。

二元均匀分布与二元正态分布 （1）若二元随机变量(X,Y)在二维有界区域D上取值，且具有概率密度 则称(X,Y)在D上服从均匀分布。

例5：设二元随机变量(X,Y)在区域 内均匀分布，求条件概率密度

解： 根据题意，(X,Y) 的概率密度为： Y的边际概率密度为：

于是给定y(-1<y<1)，X的条件概率密度为： 二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布

§4 随机变量的独立性

例1：§3例1中X和Y是否相互独立？即(X,Y)具有概率密度

解：计算得，X和Y的边际概率密度分别为：

请问：连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有何特征？

思考题：若随机变量（X，Y）的概率密度如下所示，问哪些密度函数对应的X与Y是相互独立的？ 答：（1），（4）。

X Y 1 P(X=j) 2 P(Y=i)

X Y 1 P(X=j) 2 P(Y=i)

又由§2例题知，其边际概率密度的乘积为：

一般n元随机变量的一些概念和结果

边际分布 例如：

相互独立

定理1： 定理2：

§5 二元随机变量的函数的分布

例4：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。

解：由卷积公式：

一般：设X,Y相互独立，

例5：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求 的概率密度。

解：根据卷积公式： 易知仅当 x x=z z 1 2 x=z-1 参考图得：

例6：设随机变量（X,Y）的联合概率密度为 记Z=X+Y，求Z的概率密度。

x x=z x=z/2 0 1 2 z 参考图得：

例7：某人一天做两份工作，一份工作的酬金X为10元、20元、30元的概率各为1/3,另一份工作的酬金Y～N(15,4) 例7：某人一天做两份工作，一份工作的酬金X为10元、20元、30元的概率各为1/3,另一份工作的酬金Y～N(15,4).设X,Y相互独立，记一天的酬金总数为Z，Z=X+Y。求 (1)Z的概率密度； (2)求一天酬金多于30元的概率。

解: (1)先求Z的分布函数，利用全概率公式

推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：

例9：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联结的方式分别为：(1)串联；(2)并联；(3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率密度分别为：

试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。 X Y L2 L1 X Y L1 L2 X Y L2 L1

由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)； (1)串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函数分别为： L1 L2

故Z的分布函数为： Z的概率密度为： 即Z仍服从指数分布

由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为： (2)并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为： L1 L2 Z的概率密度为：

由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y； (3)备用的情况 由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y； 因此：

课件待续!