§2 闭区间上连续函数的性质 实数完备性理论的一个重要作用就是证 明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾 经在第四章给出过. §2 闭区间上连续函数的性质 实数完备性理论的一个重要作用就是证 明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾 经在第四章给出过. 一、最大、最小值定理 二、介值性定理 三、一致连续性定理 返回
一、最大、最小值定理 首先来看一个常用的定理. 有界性定理 若 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续, 则 f (x) 证 用两种方法给出证明. 第一种方法 使用有限覆盖定理. 因为 f (x) 在 [a, b] 上每一点连续, 从而局部有界. 我们的任务就是将 局部有界的性质化为整体有界性质.
显然 H 覆盖了闭区间[a, b]. 由有限覆盖定理, 在 H 中存 在有限个开区间
第二种证法 采用致密性定理. 设 f (x) 在[a, b]上无界, 不妨设 f (x)无上界. 则存在 因为{xn} 有界, 从而存在一个收敛的子列. 为了书 写方便, 不妨假设 {xn} 自身收敛, 令
故由归结原理可得 矛盾. 最大、最小值定理(定理4.6) 若函数 f (x) 在[a, b] 上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上取最大、最小值. 证 f (x) 在 [a, b] 上连续, 因而有界. 由确界定理, f (x) 在 [a, b] 上的值域有上确界. 设
在[a, b] 上连续, 从而有界, 故存在 G > 0, 使 这样就有
这与 M 是 f (x) 在 [a, b] 上的上确界矛盾. 同理可证:下确界 也属于 f ([a, b]). 这就证明了上确界 M 与下确界 m 都是可取到的, 这也就是说, M 与 m 是 f (x) 在[a, b]上的最大、 最小值.
二、介值性定理 (定理4.7) 设函数 f (x) 在闭区间 [a, b]上连续, 且 f (a) f (b). 证 在第四章中, 我们已经用确界定理证明此定理. 现在用区间套定理来证明.
将 [a, b] 等分成两个区间 [a, c], [c, b], 若 F(c)=0, 已证. 不然, 函数 F(x)在这两个区间中有一个区 间端点上的值异号, 将这个区间记为[a1, b1]. 再 将 [a1 , b1] 等分成两个区间 [a1, c1], [c1 , b1], 若 F(c1) = 0, 已证. 不然同样可知函数 F(x) 在其中一 个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行 下去, 得到一列闭子区间
{ [an , bn] }, 满足: 由区间套定理, 存在惟一的
三、一致连续性定理 (定理4.9) 若函数 f (x) 在 [a ,b]上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上一致连续. 证 (证法一) 首先用致密性定理来证明该定理. 在 下述证明过程中, 选子列的方法值得大家仔细探 究. 设 f (x) 在 [a, b] 上不一致连续, 即存在
现分别取 ……
因为 {x'n} 有界, 从而由致密性定理, 存在 {x'n} 的
因为 所以由极限的不等式性质 以及 f 连续, 所以由归结原理得到 矛盾. (证法二) 再用有限覆盖定理来证明.
因 f (x) 在 [a, b] 上连续, 对任意一点 考虑开区间集 那么 H 是 [a, b] 的一个开覆盖. 由有限覆盖定理, 存在有限个开区间
也覆盖了 [a, b]. 对于任何 那么 必属于上述 n 个小区间中的 一个,
所以由小区间的定义得知 这就证明了 在[a, b]上的一致连续性.