3．1.3 导数的几何意义
1.理解函数y＝f(x)在点(x0，y0)处的导数与函数y＝f(x)图象在点(x0，y0)处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义． 2.已知函数解析式，会求函数在点(x0，y0)处切线的斜率，能求过点(x0，y0)的切线的方程.
1.根据导数的几何意义，求函数在点(x0，y0)处的切线的方程．(重点) 2.准确理解在某点处与过某点处的切线方程．(易混点)
1．平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？
2．如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？
3.设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割线AB的斜率kAB与曲线在点A处的切线的斜率k之间有什么关系？与f′(x0)有什么关系？
1．导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率
切线 f′(x0)
(2)导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 斜率 f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 答案： B
2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( ) A．4 B．16 C．8 D．2 答案： C
3．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________． 答案： 4x＋y＋1＝0
4．已知曲线y＝3x2，求在点A(1,3)处的曲线的切线方程．
[策略点睛]
[题后感悟] (1)已知曲线的切点P(x0，y0)，怎样求曲线的切线方程？ ①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，得切线的斜率k＝f′(x0)； ②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)注意事项 ①求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上；在点P处的切线，点P必为切点，且在曲线上； ②若曲线y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行或不存在；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平行．
1.求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程． 由y＝x3＋2x－1得 Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1 ＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.
求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．
[题后感悟] (1)求曲线的切线方程的类型：
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：
2.已知曲线y＝3x2，求过点B(1，－9)的曲线的切线方程．
在曲线y＝x2上哪一点处的切线，满足下列条件： (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． 分别求出该点的坐标．
[题后感悟] 解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法．
3.已知抛物线y＝2x2＋1，求 (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
[特别提醒] (1)若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行．f′(x0)＞0，切线与x轴正向夹角为锐角，f′(x0)＜0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行． (2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而可求出切线方程．
◎试求过点P(3,5)且与y＝x2相切的直线方程．
【错因】 求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同． 【正解】 f′(x)＝2x(解法同上)，设所求切线的切点为A(x0，y0)， 因为点A在曲线y＝x2上，所以y0＝x， 又因为A是切点，所以过点A的切线的斜率为f′(x0)＝2x0，
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)， 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10， 因此所求的切线有两条， 方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
练考题、验能力、轻巧夺冠