物理思想方法与高考能力要求（八） 处理带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法 物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态，叫做临界状态．突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变化．如光学中的“临界角”、超导现象中的“临界温度”、核反应中的“临界体积”、光电效应中的极限频率、静摩擦现象中的最大静摩擦力等，在中学物理中像这样的明确地指出的临界条件是容易理解和掌握的，但在高考试题中涉及的物理过程中常常是隐含着一个或几 个临界状态，需要考生通过分析思考，运用所学的知识和已有的能力去分析临界条件，挖掘出临界值，这对大多数考生来说是比较困难的．而带电粒子在有界磁场中运动的临界问题是历年高考理科综合命题中的热点．本节将结合这一问题，探讨一下如何确定它们的临界条件？其中主要有以下几种方法．

一、对称思想 带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动．分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ线间的夹角(也称为弦切角)相等，并有φ＝α＝2θ＝ω·t，如右图所示．应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷．

【例1】如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负分别是(　　)

解析：粒子穿过y轴正半轴，由左手定则可判断粒子带负电．根据带电粒子在有界磁场中运动的对称性作出粒子在磁场中运动轨迹如右图所示，由图中几何关系可得：r＋rsin 30°＝a， 答案：C

二、放缩法 带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大．可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP′上． 由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”．

【例2】 如图所示，宽度为d的匀强有界磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°.要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？

解析：用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如题图所示，当其运动轨迹与NN′边界线相切于P点时，这就是具有最大入射速率vmax的粒子的轨迹．由题图可知： R(1－cos 45°)＝d，又Bqvmax＝ 联立可得：vmax＝ 答案：

三、平移法 带电粒子以一定速度沿任意方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝mv0/(qB)，如图所示．同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心在以入射点P为圆心、半径R＝mv0/(qB)的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上． 由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为R＝mv0/(qB)的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移法”．

【例3】如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0 【例3】如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l＝16 cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比 ＝5.0×107 C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度．

解析：α粒子从S点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中均沿逆时针方向做匀速圆周运动，可求出它们的运动轨迹半径R，由qvB＝m ，得R＝ ，代入数值得R＝10 cm，可见2R＞l＞R. 由于朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，可先考查速度沿负y方向的α粒子，其轨迹圆心在x轴上的A1点，将α粒子运动轨迹的圆心A1点开始，沿着“轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如右图所示．由图可知，当轨迹圆的圆心移至A3点时，粒子运动轨迹与ab相交处P2到S的距离为2R，P2即为粒子打中ab上区域的右边最远点．由题中几何关系得：

当α粒子的轨迹的圆心由A3点移至A4点的过程中，粒子运动轨迹均会与ab相交，当移到A4点后将不再与ab相交了，这说明圆心位于A4点的轨迹圆，与ab相切的P1点为粒子打中区域的左边最远点．可过A4点作平行于ab的直线cd，再过A4作ab的垂线，它与ab的交点即为P1，同样由几何关系可知： NP1＝ . 则所求长度为P1P2＝NP1＋NP2，代入数值得P1P2＝20 cm. 答案：20 cm