§1．11　 三垂线定理     教学目标 1．使学生理解并掌握三垂线定理及其三垂线定理的逆定理； 2．通过对三垂线定理的探求过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想．具体体现在线线与线面垂直的辩证关系上； 3．能初步掌握三垂线定理与三垂线定理逆定理的应用．注意培养学生对变异形式下三垂线定理的应用能力．进一步提高学生的空间想象能力．

教学重点和难点 1．三垂线定理的引入与证明，在教学过程中发展学生的探索能力； 2．变异位置下三垂线定理的应用． 教学设计过程 师：请同学回忆空间中的两条直线具有什么样的位置关系？ （思维从问题开始，点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续） 生：相交、平行或异面． 师：对．我们可把上述三种情况表述为

其中空间两条直线平行，这种特殊位置关系我们已经研究过了．两条直线相交与异面的另一特殊位置关系——空间两直线互相垂直，值得作深入的研究．而相交两直线的垂直问题，我们已经在平面几何中作过系统的研究，现在我们重点研究异面直线互相垂直的情况． （进一步点明研究空间直线和直线的垂直问题） 我们的问题是：如何判定两条异面直线的垂直位置关系呢？ 生：根据两条异面直线互相垂直的定义来判定．即如果两条异面直线所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直． 师：回答得很好．实际上是根据两条异面直线所成的角为直角来判定的．这是由两条异面直线垂直的定义来判定，即定义法．但这样归结为定义判定往往在操作上不是很简便，在今后的证明中运用也不太方便，能不能换一个角度考虑呢？有没有判定两条异面直线垂直的比较简便的方法呢？ （进一步调动学生思维，抛开定义去探求新的判定方法） 生：可利用直线和平面垂直的性质定理来判定．即如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任何一条直线垂直，而平面内存在无数多条直线与该垂线异面，这样就可以判定了． 师：很好！同学们已经掌握了证明线线垂直的基本思维方法．要证线线垂直，只需证线面垂直．

（为三垂线定理的证明埋下伏笔！） 如图1，若l⊥α，a α，则l⊥a． 但这里l⊥α，情况太特殊了，如果l与a斜交呢？即l为平面α的斜线，能不能判定平面内的直线a与直线l垂直呢？ 画出图2，a α，l∩α＝O，（l α）．这时你又如何判定a与l是否垂直呢？ （提出问题，请学生思考） 师：进一步启发（分析图2）根据线面垂直的定义，我们知道 如果直线a能垂直于过直线l的一个平面，那么a⊥l． 于是，新问题是：如何找出这样一个平面——过l且与a垂直的平面呢？我们知道，满足条件的这样一个平面必须有两条相交直线（l当然不在其内）都与直线a垂直，能不能先解决一部分，即先作出一条与l相交的直线又与a垂直呢？

（启而不发，由学生思考） 生：过l上一点P（异于点O），作PA⊥α于A，则由线面垂直的性质有a⊥PA． 师：很好！在图3中，作出PA⊥α于A（此时不连结AO），并板书 由PA∩PO＝P，确定平面PAO，要使a⊥l，只需a⊥平面PAO．故只要有平面PAO内的另一条直线与a垂直就行了！而平面PAO内的哪一条线用起来最方便呢？

生：一条直线如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 师：对吗？请同学看是否正确？ 生：不对，首先应刻画“在平面内”的一条直线． 师：对！这非常重要（板书三垂线定理）．试分析定理中的关键词语，并用符号语言表述． 如图4，PA⊥α于A，PO∩α＝O，AO是PO在平面α上的射影．a α，若a⊥AO，则a⊥PO． 请写出条件和结论．（板书） 已知：PA⊥α于A，PO∩α＝O，（这里已隐含AO为斜线PO在平面α上的射影）a α，a⊥AO． 求证：a⊥PO． （请学生完成证明过程．事实上通过前面的探求过程等于已把这条定理证明了．只要请学生到黑板板演，并订正即可）

两位同学总结了这三个垂直，哪个垂直是关键呢？显然平面α的垂线PA是关键！我们如何记忆这条定理呢？ 生甲：平面内一直线只要与射影垂直，则与斜线垂直． 生乙：我记忆为先有平面内垂直，再转化到空间的垂直关系． 师：很好！两位同学的记忆方法各有千秋，可按自己的习惯给予记忆．实际上两位同学的本质是一样的，还应强调PA⊥α于A的前提条件和a α内的关键词语． 要深刻理解该定理的证明思路，证明中主要体现了什么数学思想？ 生：转化的思想，即要证线线垂直，只要转化为证线面垂直，就可以了． 师：请同学探求一下平面内的直线a就这一条吗？ 生：不止一条，因为在平面α内，只要与a平行的直线，就一定和射影垂直，则它必定和斜线垂直，这样的直线是一组平行直线．

师：演示一组抽拉投影片．如图5，只需将动片（含直线a的抽拉片）左、右抽动，即可显示这一组平行直线．当且仅当a通过O点时a与PO是共面垂直，而其余的都是异面垂直关系． 师：你能构造三垂线定理的逆命题吗？判断它是真命题吗？并证明． （前面在三垂线定理的探求过程中，已把它的大前提、小前提及结论分析清楚，故在这里学生可比较顺利地构造出它的逆命题） 生：只要把三垂线定理中的小前提a⊥AO，与结论中的a⊥PO互换一下就可以了．

（师把板书中的条件a⊥AO与结论a⊥OP互换） 是真命题吗？ 生：是！与三垂线定理的证明思路一样．

例1  如图6，PA垂直于以AB为直径的圆O平面，C为圆O上任一点（异于A，B）．试判断图中共有几个直角三角形，并说明理由． （这是立体几何中一个重要图形．既有线面垂直问题，又有线线垂直，既有三垂线定理的应用，又有平面几何知识的运用） 生甲：两个．分别是Rt△PAC，Rt△PAB． 生乙：三个．还应有Rt△PCB． 师：谁是直角？理由是什么

生乙：∠PCB，由三垂线定理可证． 师：你能叙述一下吗？根据三垂线定理的操作程序叙述清楚． 生乙：因为PA⊥⊙O平面，PC∩⊙O面＝C，因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，所以BC⊥PC． 师：生乙证明中，什么地方还应再强调一下． 生丙：BC 平面⊙O． 师：除这三个直角三角形外，还有吗？ 生：还应有一个Rt△ABC，因为直径上的圆周角为直角． 师：好！这样才全面认识了这个空间图形．事实上图形P-ABC是一个三棱锥．原来三棱锥的四个面可以都是直角三角形，请同学思考：你能再构造一个三棱锥，使它的四个面全是直角三角形吗？（课下继续思考） 师：通过例1，作出判断的关键是什么？ 生：平面的垂线PA是关键，有它就能保证前三个Rt△．

课堂教学小结 这节课我们通过对“平面内是否存在与平面的斜线垂直的直线”问题的探讨．具体方法是把问题转化为“平面内的直线与平面的斜线在平面上唯一的直线——射影”的位置关系的研究，而得出三垂线定理．这充分体现了研究立体几何的基本思想方法——降维转化的思想方法，将空间问题转化为平面问题来解决． 对三垂线定理本质的理解有如下四点： （1）从证明思路看 a⊥AO a⊥平面AOP a⊥PO （2）三垂线定理及其逆定理是空间两条直线垂直的判定定理．对证明线线垂直问题有着广泛的应用．