平面向量基本定理
2.3.1平面向量的基本定理
设 、 是同一平面内的两个不共线向量,它们的和向量a=? 设 、 是同一平面内的两个不共 线的向量，a 是这一平面内的任一向量， 我们研究 a 与 、 之间的关系。 a 研究
OC = OM + ON = OA + OB 即 a = + . M M a a C A B O N N
平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使 共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不 a = + 示这一平面内所有向量的一组基底。 我们把不共线的向量 、 叫做表
思考 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） A N B a M O C M M O C N a F F N E E
思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同） O C F M N a E OC = OF + OE B OC = 2OA + OE A OC = 2OB + ON E N
= = 0 特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ： 为什么？ + 可使 0 = 特别的，若a与 （ ）共线，则有 =0（ =0），使得: . 特别的，若a与 （ ）共线，则有 =0（ =0），使得: a = + . ？若 与 中只有一个为零，情况会是怎样？
检测 B 1、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； （3）零向量不可作为基底的向量 其中正确的说法是( ) A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2) B
梯度训练 C －2 和 －2 和 －2 和 －2 和 －2 和 + 和 －2 －2 4 和 + － 和 2、已知 、 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是（ ） A、 B、 C、 D、 C －2 和 －2 和 －2 和 －2 和 －2 和 + 和 －2 －2 4 和 + － 和
例3： 、 已知向量 求做向量-2.5 +3 C B A · O
例3： 、 已知向量 求做向量-2.5 +3 还有其他作法? O
总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
2.3.2 平面向量的坐标表示
向量夹角 阅读课本P94页和P95页第3段 检测:已知∠AOB是两个非零向量a，b的夹角 （1）∠AOB的取值范围什么？ （5）什么是正交分解？
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作为基底?为什么？ 平面向量基本定理的内容？什么叫基底？ 分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作为基底?为什么？ 任一向量a ，平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x，y，使得a=？ a=xi+yj （x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y) O x y i j a 那么i =（ ， ） j =( ， ) 0 =（ ， ） 1 0 0 1 0 0
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ 2.3.2 平面向量的坐标表示 概念理解 1．以原点O为起点作 ，点A的位置由谁确定? 由a 唯一确定，为什么？ O x y i j a A(x, y) 2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ 两者相同，为什么？ 向量a坐标 OA坐标 终点A坐标 就是 3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？
小结 a=xi+yj a=(x,y) O x y i j a A(x, y) OA=(x,y) 终点A(x,y)
点A、B坐标是什么？OA、OB的坐标又是什么？ 解：由图可知 同理， 点A、B坐标是什么？OA、OB的坐标又是什么？
思考 设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线，求k的值。 A、B、D三点共线 解： AB与BD共线，则存在实数 λ使得AB = λBD.
由于BD = CD – CB =(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = (a – 4b ) 由向量相等的条件得 2 = k = 4 k = 8 .
此处可另解： 则需 2a + kb = (a – 4b ) 即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0 2 - = 0 k – 4 = 0 k = 8 .
评析 本题在解决过程中用到了两向量共线的充要条件这一定理，还用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好。
谢谢同学们 再见