第 3 章 土中应力计算

土中的应力—指土体在自重、构筑物荷载以及其它因素（如水渗流、地震等）作用下，土体中所产生的应力，包括自重应力和附加应力。 自重应力—土体受自重作用而产生的应力。 附加应力—土体受建筑物等外荷载作用而产生的应力。 土中应力按其作用原理或传递方式可分为有效应力和孔隙应力两种。 有效应力是指土粒所传递的粒间应力，是影响土体强度的一个重要因素。 孔隙应力是指土中水和土中气所传递的应力，包括孔隙水压力和孔隙气压力。饱和土中只有孔隙水压力。

土中应力计算目的 : 为了对建筑物地基基础进行沉降（变形）、承载力与稳定性分析，必须掌握建筑前后土中应力的分布和变化情况。 计算时，主要采用弹性力学公式，将地基土视为均匀的各向同性的半无限弹性体。这虽然与土体的实际情况有差别，但其计算结果能满足实际工程的要求。

3.1 土的自重应力 3.1.1均质土的自重应力 若土体是均质的半无限 体，重度为γ，土体在自身 重力作用下任一竖直切面都 3.1 土的自重应力 3.1.1均质土的自重应力 若土体是均质的半无限 体，重度为γ，土体在自身 重力作用下任一竖直切面都 是对称面，因此切面上不存 在剪应力。如图所示，考虑 长度为z，截面积F=1的土柱 体，设其重量为 W，取隔离 体，则竖直方向的自重应力为： 均匀土的自重应力分布

3.1.2当土体成层及有地下水时的计算公式 1、当土体成层时 设各土层厚度及重度 分别为hi和γi(i= 1，2， … n)，这时土柱体总重 重应力计算公式为： 成层土的自重应力分布 n：深度Z范围内土层总数，有地下水时，地下水位面也应作为分层的界面。

2、土层中有地下水时 1) 地下水位以下的土，受到水的浮力作用，使土的 重度减轻。计算时采用水下土的重度 2)不透水层的影响 不透水层指基岩层、只含强结合水的坚硬粘土层。 地下水位以下若有不透水层，由于不透水层不存在 水的浮力，因此不透水层层面及该层面以下的土体的 自重应力应按上覆土层的水土总重量计算。 3)地下水位升降引起的自重应力变化：地下水位下 降自重应力增大，因没有水的浮力，地下水位上升自 重应力减小。

地下水升降对土中自重应力的影响

成层土中水下土的自重应力分布

例：某土层及其物理性质指标如图 所示，试计算土中自重应力并绘出 分布图。 【解】第1层为粗砂，水下的砂土 要受浮力作用，其浮重度为： 第2层为粘土，其液性指数为： 故该层粘土不受浮力作用，土层 面上要考虑静水压力作用。 a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点（砂土中）：z=10 m， σcz=γ’z=9.69×10=96.9 kPa b ’点（粘土中）：z=10 m , σcz =γ’z+ γwhw=9.69×10+9.81 ×13=226.9 kPa c点：z=15 m， σcz = 9.69×10+9.81 ×13 +19.3 × 5＝323.4 kPa 土层中的自重应力scz分布，如图所示。

例：某建筑场地的地质柱状图和有关指标例于下图中。试计算地面下深度为2.5m、5m、和9m处的自重应力，并绘出分布图。 解：本例天然地面下第一层粉土厚6m，其中地下水位以上和以下的厚度分别为3.6m和2.4m，第二层为粉质粘土层。依次计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m各深度处的土中竖向自重应力，计算过程及自重应力分布图一并列入下图中。

3.1.3 水平向自重应力计算 水平向自重应力σcx、σcy可按下式计算: 式中：K0为侧压力系数,由实验室测定。

3.2 基底压力 3.2.1基底压力分布 1、基础底面接触压力分布的决定因素 地基与基础的相对刚度 荷载大小与分布情况 基础埋深 地基土的性质 目前，在弹性理论中主要是研究不同刚度的基础与弹性半空间体表面的接触压力分布问题。

2、柔性基础与刚性基础 柔性基础： 基础本身的刚度很小，在竖向荷载作用下没有抵抗弯曲变形的能力，基础随地基同步变形。因此，柔性基础接触压力分布与其上部荷载分布情况相同。但基础底面的沉降各处不同，中央大而边缘小。

刚性基础 基础本身刚度超过地基的刚度，可认为是刚性基础。不会产生挠曲变形，在中心荷载作用下基底各点的沉降是相同的，基底接触压力分布图形很复杂。 刚性基础基底压力分布图

在外荷载作用下，基础底面基本保持平面，即基础各点的沉降几乎是相同的，但基础底面的地基反力分布则不同于上部荷载的分布情况。刚性基础在中心荷载作用下，开始的地基反力呈马鞍形分布；荷载较大时，边缘地基土产生塑性变形，边缘地基反力不再增加，使地基反力重新分布而呈抛物线分布，若外荷载继续增大，则地基反力会继续发展呈钟形分布。

3.2.2 基底压力的简化计算方法 1、中心荷载作用时，基底压力 p 按中心受压公式计算： 式中： N－作用在基础底面中心的 竖直荷载； A－基础底面积； F－基础上的竖向力设计值； G－基础自重设计值及其上回填土重标准值总和。

rG：基础及回填土的平均重度，一般取20kN/m3，在地下水位以下部分用有效重度； d：基础埋深，必须从室外设计地面或室内外平均设计地面起算，m； A：基础底面面积，m2。 对于条形基础，可沿长度方向取1m计算。

2、偏心荷载作用时，基底压力按偏心受压公式计算： 式中： F＋G、M－作用在基础底 面中心的竖直荷载及弯矩。 M=(F＋G)e； e－荷载偏心距； W－基础底面的抵抗矩（抗弯截面系数），对矩形基础 W＝bl2/6; b、l－基础底面的宽度与长度。 基底压力分布的简化计算 偏心荷载时

（1）当 e < l/6，pmin>0， 基底压力呈梯形分布（图a）； （2）当 e ＝ l/6，pmin＝0， 分布可能出现下述三种情况： （1）当 e < l/6，pmin>0， 基底压力呈梯形分布（图a）； （2）当 e ＝ l/6，pmin＝0， 基底压力呈三角形分布（图b） ； （3）当 e > l/6，pmin<0，即基底产 生拉力（图c） 。但基底与土之间是 不能承受拉力的，这时，产生拉力部 分的基底将与土脱开，而不能传递荷 载，基底压力将重新分布（图d） 。 重新分布后的基底最大压力为： 偏心荷载时基底压力分布的几种情况

ro:基底标高以上天然土层的加权平均重度，其中地下水位以下取有效重度； d:基础埋置深度，必须从天然地面算起。 3.2.3 基底附加压力 基底平均附加压力p0值按下式计算： ro:基底标高以上天然土层的加权平均重度，其中地下水位以下取有效重度； d:基础埋置深度，必须从天然地面算起。 未建基础之前，某点早已存在土的自重应力，修基础时，将这部分土挖除后，再修建基础，因此某点实际增加的压力即为上式。 基坑平面尺寸和深度较大时，坑底回弹明显， p0值按下式计算：

3.3 地基附加应力 3.3.1竖向集中力下的地基附加应力 单个竖向集中力作用 均匀的各向同性的半无限 弹性体表面，作用一竖向 3.3 地基附加应力 3.3.1竖向集中力下的地基附加应力 单个竖向集中力作用 均匀的各向同性的半无限 弹性体表面，作用一竖向 集中力Q，计算半无限体 内任意点M(x,y,z)的应力。 该课题已在弹性理论中由 布西奈斯克解得，其应力 和位移的表达式分别为：

计算地面某点A（其坐标为z=0，R=r）的沉降 S可由下式求得： 式中： μ－泊松比。 E0－土的变形模量（kPa）。

多个集中力及不规则分布荷载作用

3.3.2 竖向分布荷载下地基附加应力 若在半无限体表面作用一分布荷载p(x,y)，如图所示。计算土中某点M(x,y,z)的竖向应力σz。在基底取微元面积dF=dξdη， 则作用在dF上的集中力: 由公式 可得：

在求解上式积分时与下面三个条件有关： 1、分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小； 2、分布荷载的分布面积F 的几何形状及其大小； 3、应力计算点M的坐标(x,y,z)值。 求解得： 下面介绍几种常见的基础底面形状及其分布荷载作用时，土中应力的计算公式。

1、空间问题的附加应力 (1) 矩形面积作用均布荷载 为均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，简称角点应力系数，可按l/b及z/b值由表3.4查得。

对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的情况，就可利用式(2—20)以角点法求得。图2—12中列出计算点不位于矩形荷载面角点下的四种情况(在图中0点以下任意 深度z处)。计算时，通过0点把荷载面分成若干个矩形面积，这样,0点就必然是划分出的各个矩形的公共角点，然后再按式(2-20)计算每个矩形角点下同一深度z处的附加应力，并求其代数和。四种情况的算式分别如下 : 以角点法计算均布矩形荷载下的地基附加应力

a)o点在荷载面边缘 式中 Kc1，Kc2分别表示相应于面积I和Ⅱ的角点应力系数。必须指出，查表2-2时所取用边长 应为任一矩形荷载面的长度，而 为宽度，以下各种情况相同不再赘述。 (b)o点在荷载面内

(c)o点在荷载面边缘外侧 此时荷载面abcd可看成是由I(ofbg)与Ⅱ(ofah)之差和Ⅲ(oecg)与Ⅳ(oedh)之差合成的，所以 (d)o点在荷载面角点外侧 把荷载面看成由I(ohce)、Ⅳ(ogaf)两个面积中扣除Ⅱ(ohbf)和Ⅲ(ogde)而成的，所以

(2)矩形面积作用三角形分布荷载 设竖向荷载沿矩形面积的一边b方向上呈三角形分布（沿另一边的荷载分布不变），荷载的最大值为 。取荷载零值边的角点1为坐标原点，则可将荷载面内某点（ ）处所取微面积 上的分布荷载以集中力 代替。

1、荷载为零的 1 角点下深度 z 处： 2、荷载最大的 2 角点下深度 z 处：

(3)圆形面积作用均布荷载 设圆形荷载面积的半径为 R ，作用于地基表面上的竖向均布荷载为 ，如以圆形荷载面的中心点为坐标原点0，并在荷载面积上取微面积dA=ρdφdρ ，以集中力代替微面积上的分布荷载，则可运用公式（3.20）以积分法求得均布圆形荷载中点下任意深度Z处M点的 为：

2、平面问题的附加应力 设在地基表面上作用有无限长的条形荷载，且荷载沿宽度可按任何形式分布，但沿长度方向则不变，此时地基中产生的应力状态属于平面问题。在工程建筑中，当然没有无限长的受荷面积，不过，当荷载面积的长宽比l/b≥10时，计算的地基附加应力值与按L/b=∝时的解相比误差甚少。因此，对于条形基础，如墙基、挡土墙基础、路基、坝基等，常可按平面问题考虑。条形荷载下的地基附加应力为：

（1）线荷载 由于线荷载沿y轴均匀分布且无限 延伸，因此与y轴垂直的任何平面 上的应力状态完全相同，根据弹 性力学原理可得：

（2）均布条形荷载 1）极座标表示

2）直角座标表示 均布条形荷载下的附加应力系数见表3.8（P60）

等值线图：同一应力的相同数值点的连线。

由例3.5分布图可得均布矩形荷载下地基附加应力的分布规律： ①附加应力 自基底算起，随深度呈曲线衰减； ② 具有一定的扩散性。它不仅分布在基底范围内，而且分布在基底荷载面积以外相当大的范围之下。 ③基底任意深度水平面上的 ，在基底中轴线上最大，随距中轴线距离越远而越小。

坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩性土层（应力集中图a） 3.3.3非均质和各向异性地基中的附加应力 1、双层地基 坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩性土层（应力集中图a） 软弱土层上覆盖着一层压缩模量较高的硬壳层（应力扩散图b）

2、变形模量随深度增大的地基 在地基中，土的变形模量Eo常随着地基深度增大而增大，这种现象在砂土中尤其显著。与均质地基相比，这种地基沿荷载中心线下，地基附加应力将产生应力集中。 可用以下半经验公式修正： v － 为应力集中因素，对粘性、完全弹性体v＝3；硬土v ＝6；砂土与粘土之间的土v ＝3～6。

在直径和高度完全相同的甲、乙两个量筒底部，放置一层松散砂土，其质量与密度完全一样。 在甲量筒中放置若干钢球，使 3.4 有效应力原理 1、土中二种应力试验 在直径和高度完全相同的甲、乙两个量筒底部，放置一层松散砂土，其质量与密度完全一样。 在甲量筒中放置若干钢球，使 松砂承受σ的压力；在乙量筒中小 心缓慢地注水，在砂面以上高度h 正好使砂层表面也增加σ的压力。 结论：甲、乙两个量筒中的松砂顶 面都作用了相同的压力σ，但产生 两种不同的效果，反映土体中存在 两种不同性质的力： 土中两种应力试验

（1）由钢球施加的应力，通过砂土的骨架 传递的应力（有效应力σ’），能使土层发生 压缩变形，从而使土的强度发生变化； （2）由水施加的应力通过孔隙水来传递 （孔隙水压力u），不能使土层发生压缩 变形。 现象：甲中砂面下降，砂土发生压缩。乙中砂面并不下降，砂土未发生压缩。

2、饱和土的有效应力原理 饱和土的有效压力原理：土的总应力σ 等于有效应力σ’与孔隙水压力 u 之和。 即 σ=σ’+ u 式中：σ－总应力，由土体的重力、静水压力及外荷载所产生的应力； σ’－总应力的一部分是由土颗粒接触面承担，为有效应力； u－总应力的另一部分是由土体孔隙内的水承担，称为孔隙水压力。 适用条件：饱和土 有效应力原理包含下述两点含义： （1）土的有效应力σ’等于总应力σ减去孔隙水压力u； （2）土的有效应力控制了土的变形及强度性能。

3、证明： 如图，在土中某点取一水平截面，其面积为F，截面上作用应力σ，沿a-a截面取脱离体。FS、FW、Fa为截面上的土粒、水、气体的接触面积，σs、uw分别为土颗粒间接触面上的法向应力和孔隙水压力。 对于饱和土： 相关实验证明：FS/F一般小于0.03， 所以，1－Fs/F ≈ 1 上式也可写成 ： 有效应力

3.4.1毛细水上升时土中有效自重应力的计算

3.4.2土中水渗流时（一维渗流）有效应力计算

静水时

水自上向下渗流 

水自下向上渗流