6 简单的超静定问题 6.1 超静定的概念 6.2 拉压超静定问题 6.3 扭转超静定问题 6.4 简单超静定梁

6.1 超静定问题及其解法 静定：结构或杆件的未知力个数等于独立静力方程的个数， 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力——静定问题 6.1 超静定问题及其解法 静定：结构或杆件的未知力个数等于独立静力方程的个数， 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力——静定问题 超静定：结构或杆件的未知力个数多于独立静力方程的个数， 只利用静力方程不能求出所有的未知力——超静定问题 A B C 1 2 D 3 a 多余约束

多余约束： 在超静定系统中，多余维持结构几何不变性所需要的杆或支座。 C C 多余约束 多余约束： 在超静定系统中，多余维持结构几何不变性所需要的杆或支座。 超静定结构大多为在静定结构的基础上再加上一个或若干个多余约束，这些约束对于特定的工程要求往往是必要的。 超静定的次数 = 未知力个数 – 独立平衡方程个数。

基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定结构的基本静定系（简称为静定基）。 静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同的选择。 C C C

4、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。 6.2 拉压超静定问题 6.2.1 拉压超静定问题的解法 综合考虑几何条件、物理关系和静力学平衡方程三方面来求解 步骤： 1、根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。 2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据物理关系写出补充方程。 4、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。

例6-1 两端固定的等直杆 AB 横截面积为 A，弹性模量为 E，在C点处承受轴力 F的作用，如图所示 。计算约束反力。 FB F B FA A C F b l B A C a B A C = 解： 1）此杆系为一次超静定结构，列平衡方程: 变形协调条件：杆的总长度不变 几何方程为：

F b l B A C a FB FA = 物理关系： 补充方程 平衡方程

例6-2 图示杆系结构，已知：l1 = l2，E1A1 = E2A2，E3A3，求：各杆的内力。 解： 1）此杆系为一次超静定结构，列平衡方程: B D C 3 1 2 a a 2）几何方程——变形协调方程： A 3）物理关系 x y FN1 A a FN2 FN3 F 4）联解方程得:

A B C F 1 2 3 a l 例 6-3 图示平行杆系1、2、3 悬吊着横梁 AB（AB 刚性），横梁上作用荷载 F。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别 为 A，l，E。试求1、2、3 三杆的轴力 。 解： 一次超静定问题 (1) 平衡方程 FN1 FN2 A B C F 3 FN3 1 2

画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致。 (2) 变形协调条件 A 1 2 3 C B (3) 物理关系 补充方程 (4) 联立平衡方程与补充方程求解得 解超静定问题注意 画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致。

6.2.2 装配应力 A B C D  2 1 3 l 图示杆系，若3杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后，各杆将处于图中位置，因而产生轴力。3杆的轴力为拉力，1、2杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为装配内力。与之相对应的应力称为装配应力。  1、静定问题无装配应力  2、超静定问题存在装配应力。 代表杆3 的伸长 (1) 变形几何关系 代表杆1或杆2 的缩短  代表装配后 A 点的位移

补充方程与平衡方程联解得 FN1 、 FN2 、 FN3 (2) 物理关系 A B C D  2 1 3 l   补充方程 (4) 平衡方程 补充方程与平衡方程联解得 FN1 、 FN2 、 FN3

例6-4 两铸件用两根钢杆1、2连接，其间距为L=200mm。现要将制造得过长了e=0 例6-4 两铸件用两根钢杆1、2连接，其间距为L=200mm。现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。 A B C 1 2 a l 3

1 B C 2 A l 3 变形几何关系为

联解平衡方程和补充方程即可得装配内力，进而求出装配应力。 列平衡方程 a x 物理关系 补充方程 联解平衡方程和补充方程即可得装配内力，进而求出装配应力。

6.2.3 温度应力 温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。 温度引起的变形量 — 1、静定问题无温度应力。 温度引起的变形量　— 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。

杆的变形为两部分，即由温度升高引起的变形 lT 以及与轴向压力F1 = F2 相应的弹性变形lN 例6-5 图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。设两支承的距离（即杆长）为 l，杆的横截面面积为 A，材料的弹性模量为 E，线膨胀系数为  。试求温度升高 T时杆内的温度应力。 l A B 解： 一次超静定问题 变形相容条件是，杆的总长度不变。即 杆的变形为两部分，即由温度升高引起的变形 lT 以及与轴向压力F1 = F2 相应的弹性变形lN A 变形几何方程是 A B

l A B 物理关系 由以上三式得温度内力 温度应力

例6-6 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A、L、E，求：当1杆温度升高DT时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数a B C 1 2 A a 3a 解： 解除1杆约束，使其自由膨胀； AB 横梁最终位置在 A′B′ 1、平衡方程: 2、几何方程： 3、物理方程：

作业： 习题 6-2 习题 6-5 习题 6-9

6.3 扭转超静定问题 例6-7　两端固定的圆截面杆AB，在截面 C 处受一个扭转力偶矩Me 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIP，试求杆两端的支反力偶矩。 C Me a b A B l 1 2 解： 一次超静定问题 杆的变形协调条件是，C 截面相对于两固定端 A 和 B 的相对扭转角相等。 A C B 1 2 Me 变形几何方程

物理关系 C Me a b A B l 1 2 补充方程 平衡方程 解得

变形相容条件是，内，外杆的扭转变形应相同。 M l A B 例6-8　图示一长为 l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度 GaIPa ，GbIPb 。当此组合杆的两端各自固定在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为 M 的扭转力偶的作用，试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩。 Mb 解：列平衡方程 M 一次超静定问题 Ma 变形相容条件是，内，外杆的扭转变形应相同。 变形几何方程

M l A B Mb Ma 物理关系 补充方程 平衡方程

6.4 简单超静定梁 简单超定静梁的解法 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 6.4 简单超静定梁 简单超定静梁的解法 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 4、 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。

超静定梁在多余约束处的约束条件，就是原超静定梁的变形相容条件，即 wB = 0。 A B q l 例 6-9 求图示超静定梁的约束反力。 解: 一次超静定，取基本静定系。 超静定梁在多余约束处的约束条件，就是原超静定梁的变形相容条件，即 wB = 0。 q A B 变形几何方程 q A B B A 补充方程 按平衡方程求出

例6-10 梁 A C 如图所示, 梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为 A, 试求钢杆 AD 内的拉力 FN。 a 2a A B C q 2q D

解：一次超静定问题。将 AD 杆与梁 AC 之间的连结绞看作多于约束。拉力FN为多余反力。基本静定系如图。 A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即 拉杆 AD 的伸长 A D FN B C q 2q

B C q 2q FN A B C q 2q 补充方程 解得 C B FN

例6 -11 求图示梁的支反力，并作梁的剪力图和弯矩图。已知 EI = 5×103 kN·m2 解：一次超静定问题 4m 3m 2m A B D C 30 kN 取支座 B 截面上的相对转动约束为多余约束。 基本静定系为在 B 支座截面上安置铰的静定梁 多余反力为分别作用于简支梁 AB 和 BC 的 B 端处的一对弯矩 MB 。 D C 30 kN A B 变形相容条件为，简支梁 AB 的 B 截面转角和 BC 梁 B 截面的转角相等

查表得 4m 3m 2m A B D C 30 kN 补充方程 解得 负号表示 与假设相反。

+ - 由基本静定系的平衡方程可求得其余反力 在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图。 30 kN C A D B 32.05 18.40 47.95 18.40 11.64 25.68 31.80 23.28 1.603 m 在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图。

作业： 习题 6-11 习题 6-17