多項式的乘法 多項式的除法 自我評量

首先，讓我們複習指數律，做為多項式乘法運算的基礎。指數律：若 x 為任意數，且 m、n 為正整數，則 xm‧xn＝xm＋n。

依據交換律、結合律與指數律可得： 6‧2x＝（6‧2）x＝12x 3x‧6x＝3‧x‧6‧x ＝3‧6‧x‧x＝18x2 (－3x)‧4y＝（－3）‧x‧4‧y ＝（－3）‧4‧x‧y ＝－12xy 也可用指數律 （xm） n ＝xm×n， （ax）m＝amxm (－5x3)2 ＝(－5)2 ( x3)2 ＝25x3×2 ＝25x6

由上面的例子可知， 單項式乘以單項式時，係數與係數相乘，文字符號與文字符號相乘。

(4)（－2x）‧3y＝（－2）‧3‧x‧y＝－6xy 解 配合習作P9基礎題1 1單項式乘以單項式 計算下列各式： (1) 5x‧3x (2) 2x‧（－5x2） (3)（4x3）2 (4)（－2x）‧3y (1)5x‧3x＝5‧3‧x‧x＝15x2 (2)2x‧（－5x2）＝2‧x‧（－5）‧x2 ＝2‧（－5）‧x‧x2＝－10x3 (3)（4x3）2 ＝4x3‧4x3＝4‧4‧x3‧x3＝16x6 (4)（－2x）‧3y＝（－2）‧3‧x‧y＝－6xy 解

計算下列各式： (1)（－3x）‧5x (2)（－6x2）‧3x ＝－15x2 ＝－18x3 (3)（9x2）2 (4) 3x‧7y ＝81x4 ＝21xy

單項式與多項式相乘，可以用分配律來計算，如下例。 配合習作P9基礎題1 2多項式的單項式與多項式相乘 計算下列各式： (1) 2x‧（3x＋2） (2)（x＋8）‧（－3x）

解 (1) 2x‧（3x＋2）＝2x‧3x＋2x‧2 ＝6x2＋4x (2)（x＋8）‧（－3x） ＝x‧（－3x）＋8‧（－3x） ＝－3x2－24x

計算下列各式： (1) 6x‧（7x＋1） (2)（－5x＋1）‧6x ＝42x2＋6x ＝－30x2＋6x

1-1 曾介紹過下面的分配律： （ a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd 也可以利用此方法計算多項式乘以多項式，如 （x＋3）（x ＋2）： （x＋3）（x＋2）＝x2＋2x＋3x＋6 ＝x2＋5x＋6

分配律也可以寫成直式，方法如下： x ＋ 3 ×） x ＋ 2 x2 ＋ 3x 2x ＋ 6 x2 ＋ 5x ＋ 6 x ＋ 3 ×） x ＋ 2 2x ＋ 6 x2 ＋ 3x x2 ＋ 5x ＋ 6 或

3 多項式乘以多項式 計算（2x2－3x＋1）（3x＋5）的結果。 解 橫式 （2x2－3x＋1）（3x＋5） 配合習作P9基礎題 2 3 多項式乘以多項式 計算（2x2－3x＋1）（3x＋5）的結果。 解 橫式 （2x2－3x＋1）（3x＋5） ＝6x3＋10x2－9x2－15x＋3x＋5 ＝6x3＋x2－12x＋5 一般而言，從最高次項開始算時，式子宜靠左對齊；從常數項開始算時，式子宜靠右對齊。

從高次項開始算： 解 直式 從常數項開始算： 直式： 2x2 － 3x ＋ 1 ×） 3x ＋ 5 10x2－15x ＋ 5 6x3－ 9x2＋ 3x 6x3 ＋ x2 －12x ＋ 5 2x2 － 3x ＋ 1 ×） 3x ＋ 5 6x3 － 9x2 ＋ 3x 10x2 －15x ＋ 5 6x3＋ x2 －12x ＋ 5

解 分離係數法 分離係數法： 2 － 3＋1 ×） 3＋5 10－15＋5 6－ 9 ＋ 3 6＋ 1 －12＋5 2－ 3 ＋ 1 ×） 3＋5 10－15＋5 6－ 9 ＋ 3 6＋ 1 －12＋5 所以(2x2－3x＋1)(3x＋5) ＝6x3＋x2－12x＋5 2－ 3 ＋ 1 ×） 3＋ 5 6－ 9 ＋ 3 10 －15＋5 6＋ 1 －12＋5 由於 2x2‧3x＝6x3，因 此積的最高項為三次，並依降冪排列得 （2x2－3x＋1）（3x＋5）＝6x3＋x2－12x＋5

利用直式與分離係數法計算（x＋2）（3x2－2x＋5） 直式： x ＋2 ×） 3x2－2x ＋5 3x3＋6x2 －2x2－4x ＋5x＋10 3x3＋4x2＋ x＋10

分離係數法： 1＋2 ×） 3－2＋5 3＋6 －2－4 ＋5＋10 3＋4＋1＋10 得 3x3＋4x2＋x＋10

利用直式與分離係數法計算（2x2－5）（3x－6） 配合習作P9基礎題2 4 缺項的多項式乘法 利用直式與分離係數法計算（2x2－5）（3x－6） 從高次項開始算： 從常數項開始算： 解 直式： 2x2＋ 0x－ 5 ×） 3x－ 6 －12x2－0x＋30 6x3＋ 0x2－15x 6x3－12x2－15x＋30 直式 2x2 ＋ 0x － 5 ×）3x － 6 6x3 ＋ 0x2 －15x － 12x2 － 0x＋30 6x3 －12x2 －15x＋30

分離係數法 分離係數法： 解 2＋ 0－ 5 ×） 3－ 6 －12－ 0＋30 6＋ 0－15 6－12－15＋30 所以(2x2－5)( 3x－6) ＝6x3－12x2－15x＋30 2 ＋ 0 － 5 ×） 3 － 6 6 ＋ 0 －15 －12 － 0 ＋30 6 －12 －15＋30 所以（2x2－5）（3x－6） ＝6x3－12x2－15x＋30

利用直式與分離係數法計算（2x2＋1）（x－7） 直式： 2x2＋ 0x ＋1 ×） x － 7 2x3＋ 0 x2＋ x －14x2＋0x－7 2x3－14x2＋ x－7

分離係數法： 2＋ 0＋1 ×） 1－ 7 －14＋0－7 2－14＋1－7 得 2x3－14x2＋x－7

5 和的平方公式之運用 計算下列各式： (1)（5x＋4）2 (2)（x2＋3）2 (3)（x＋2y）2 (1) 解 配合習作P10基礎題 3(1)(2) 5 和的平方公式之運用 計算下列各式： (1)（5x＋4）2 (2)（x2＋3）2 (3)（x＋2y）2 (1) 解 (a ＋b) 2 ＝ a2 ＋ 2‧ a ‧ b ＋ b2 （5x＋4）2 ＝（5x）2 ＋2‧5x‧4 ＋ 42 ＝25x2＋40x＋16 （5x）2表示 5x‧5x，結果等於 25x2。

(2) 解 (a ＋b) 2 ＝ a2 ＋ 2‧ a ‧ b ＋ b2 （x2＋3）2 ＝（x2）2 ＋2‧ x2‧3＋32 ＝x4＋6x2＋9 (3) (a ＋b) 2 ＝ a2＋2‧ a ‧ b ＋ b2 （x＋2y）2 ＝ x2 ＋ 2‧x‧2y＋（2y）2 ＝x2＋4xy＋4y2

計算下列各式： (1)（x＋7）2 (2)（6x＋1）2 ＝x2＋14x＋49 ＝36x2＋12x＋1 (3)（2x＋5y）2 (4)（x2＋1） ＝4x2＋20xy＋25y2 ＝x4＋2x2＋1

6 差的平方公式之運用 計算下列各式： (1)（y－5）2 (2)（3x2－1）2 (1) 解 配合習作P10基礎題3(3)(4) 6 差的平方公式之運用 計算下列各式： (1)（y－5）2 (2)（3x2－1）2 (1) 解 ( a － b) 2 ＝ a2 － 2 ‧a‧b＋b2 （y－5）2 ＝（y）2－2‧y‧5＋52 ＝y2－10y＋25

(2) 解 ( a － b) 2 ＝ a2 － 2 ‧a ‧ b＋b2 （3x2－1）2 ＝(3x2) 2 －2‧3x2‧1＋12 ＝9x4－6x2＋1

計算下列各式： (1)（y－9）2 (2)（3－7x）2 ＝y2－18y＋81 ＝9－42x＋49x2 (3)（2x－5y）2 (4)（2x2－3）2 ＝4x2－20xy＋25y2 ＝4x4－12x2＋9

(1)（x＋3）（x－3） (2)（x2－9）（x2＋9） 7 平方差公式的運用 計算下列各式： (1)（x＋3）（x－3） (2)（x2－9）（x2＋9） 配合習作P10基礎題3(5)(6) (1) 解 （a＋b）（a－b）＝a2－b2 （x＋3）（x－3）＝ x2－32 ＝ x2－9 (2) （a － b）（a ＋ b）＝ a2 － b2 （x2－9）（x2＋9）＝（x2）2－92 ＝x4－81

計算下列各式： (1)（x＋7y）（x－7y） (2)（2x2－5）（2x2＋5） ＝x2－49y2 ＝4x4－25

多項式的算式中有加、減、乘、除混合運算時，其運算順序與數的四則運算相同，要先算乘、除，後算加、減。 8 以文字符號代表多項式 已知多項式 A＝－x＋5，多項式 B＝8x2－6x＋9，多項式 C＝4x－3，求 A‧C＋B。 A‧C＋B ＝（－x＋5）（4x－3）＋（8x2－6x＋9） ＝（－4x2＋3x＋20x－15）＋（8x2－6x＋9） ＝4x2＋17x－6 解

已知多項式 A＝2x＋3，B＝x－5，C＝－x＋2，求 A‧C＋5B。 ＝（2x＋3）（－x＋2）＋5（x－5） ＝（－2x2＋4x－3x＋6）＋（5x－25） ＝－2x2＋6x－19

9以多項式表示周長與面積 求右圖中藍色區域的周長及面積。

如右圖，周長為 2〔x＋（5x－9）〕＋2〔2x＋（3x－1）〕 ＝2（6x－9）＋2（5x－1） ＝12x－18＋10x－2 ＝22x－20 解

如右圖，面積為 x‧2x＋〔x＋（5x－9）〕‧（3x－1） ＝2x2＋（6x－9）（3x－1） ＝2x2＋18x2－6x－27x＋9 ＝20x2－33x＋9 解

求右圖中藍色區域的周長及面積。 周長為 2〔x＋（x＋2）〕＋2〔x＋ 1＋（5x－4）〕 ＝16x－2 面積為 〔x＋（x＋2）〕〔x＋1＋（5x－4）〕－x（x＋2）－（5x－4） ＝11x2－x－2

我們已學習了多項式的乘法，接下來看看多項式的除法。像數的逆算一樣，例如，2×（　　）＝18，則（　　）＝18÷2＝9　 這種乘除互逆的關係，對於多項式也成立，實例說明如下。

10 乘除互逆 求下列（ ）中的多項式： (1)5x‧（ ）＝35x2 (2)5x‧（ ）＝7x3 (1) 5x‧（ ）＝35x2 配合習作P10基礎題 4 10 乘除互逆 求下列（　）中的多項式： (1)5x‧（ ）＝35x2 (2)5x‧（ ）＝7x3 (1) 5x‧（　）＝35x2 （　）＝35x2÷5x ＝ ＝ ‧x2－1 ＝7x (2)5x‧（　）＝7x3 （　）＝7x3÷5x ＝ ＝ ‧x3－1 ＝ x2 解

在下列空格中填入適當的多項式： (1) 5‧_______＝15x (2) 2x‧_______＝6x2 (3) _______‧9x＝36x3 (4) 5x‧_______＝ x2 3x 3x 4x2

在例題10第1題，35x2÷5x 也可利用直式計算： 除式 …商 ……商式 除數 …被除數 ……被除式 … 5×7 ……5x‧7x …餘數 …… 餘式 所以 35x2÷5x＝7x。 在上例35x2÷5x的直式除法中，35x2稱為被除式，5x稱為除式，7x稱為商式，0稱為餘式。當多項式除法的餘式為0時，稱為整除。

多項式的除法運算中，被除式、除式、商式、餘式都是多項式，且被除式與除式採用降冪排列。 當餘式不為0時，餘式的次數須低於除式的次數。 如果被除式的次數低於除式的次數，則商式為 0，而餘式即為被除式。 例如：2÷3x的商式為 0，餘式為 2。

配合習作 P11基礎題5(1) 11多項式除以單項式 求下列各式的商式及餘式： (1)（6x2＋8x－3）÷2x (2)（5x2－4x）÷x

所以（6x2＋8x－3）÷2x 的商式為3x＋4，餘式為－3。 (1) 解 8x÷2x＝4 ………………2x‧3x ………8x的次數沒有低於 2x的次數，還要繼續除。 2x‧4………… ……餘式－3的次數低於除式 2x的次數，除法直式計算到此為止。 所以（6x2＋8x－3）÷2x 的商式為3x＋4，餘式為－3。

(2) 解 （5x2－4x）÷x 的商式為 5x－4，餘式為 0。

求下列各式的商式及餘式： (1)（9x2－6x＋5）÷3x 商式為 3x－2 餘式為 5

(2)（4x2－6x）÷（－2x） 商式為 －2x＋3 餘式為 0

（4x2－2x＋5）÷（2x＋1）的商式為 2x－2，餘式為 7。 配合習作P11基礎題 5(2) 12 二次式除以一次式(直式) 求（4x2－2x＋5）÷（2x＋1）的商式及餘式。 4x2÷2x＝2x 解 （－4x）÷2x＝－2 …（2x＋1）‧2x （4x2－2x＋5）÷（2x＋1）的商式為 2x－2，餘式為 7。 (2x＋1)‧(－2)……

求下列各式的商式及餘式： (1)（x2－5x＋4）÷（x－8） 商式為 x＋3 餘式為 28

(2)（6x2－13x－7）÷（3x＋1） 商式為 2x－5 餘式為 －2 除法也可以用分離係數法來計算。

13二次式除以一次式(分離係數法) 求（－4x2＋12x＋1）÷（－2x＋1）的商式及餘式 － 4x2 ＋ 12x ＋ 1 － 4x2 ＋ 2x 10x ＋ 1 10x － 5 6 －2x＋1 2x － 5 解 所以（－4x2＋12x＋1）÷（－2x＋1）的商式為 2x－5，餘式為 6。

解 我們也可以用分離係數法，將左邊的直式運算記錄如下： － 4 ＋ 12 ＋ 1 － 4 ＋ 2 10 ＋ 1 10 － 5 6 －2 ＋1 2 － 5

求下列各式的商式及餘式： (1)（－6x2＋11x＋8）÷（2x＋1） 商式為 －3x＋7 餘式為 1

(2)（－x2＋11x－31）÷（－x＋5） 商式為 x－6 餘式為 －1

所以（3x2＋6x＋1）÷（3x＋5）的商式為 x＋ ，餘式為－ 。 14二次式除以一次式（商式的係數有分數） 求（3x2＋6x＋1）÷（3x＋5）的商式及餘式。 解 分離係數法 所以（3x2＋6x＋1）÷（3x＋5）的商式為 x＋ ，餘式為－ 。

求下列各式的商式及餘式： (1)（2x2＋2x＋1）÷（2x＋3） 商式為 x－ 餘式為

(2)（x2－12x＋5）÷（3x＋9） 商式為 x－5 餘式為 50

15 三次式除以一次式 求（x3＋3x2－5x＋1）÷（x＋1）的商式及餘式。 解 所以（x3＋3x2－5x＋1）÷（x＋1）的商式為 x2＋2x－7，餘式為 8。

解 分離係數法

求（2x3－3x2－5x＋46）÷（x＋3）的商式及餘式。 餘式為 －20

除法和乘法一樣，遇到被除式或除式缺項時，通常要補零。 配合習作P11基礎題 5(3)(4)(5)(6) 16多項式的除法（缺項補零） 求下列各式的商式及餘式： (1)（4x2＋1）÷（2x＋1） (2)（x3＋x2＋2）÷（x2＋1）

(1) 解 分離係數法 4x2 ＋ 0x ＋ 1 4x2 ＋ 2x － 2x ＋ 1 － 2x － 1 2 2x＋1 2x － 1 4 ＋ 0 ＋ 1 4 ＋ 2 － 2 ＋ 1 － 2 － 1 2 2＋1 2 － 1 所以（4x2＋1）÷（2x＋1）的商式為 2x－1，餘式為 2。

x3＋ x2＋0x＋2 x3＋0x2＋ x x2－ x＋2 x2＋0x＋1 － x＋1 x ＋ 1 (2) 解 分離係數法 1＋ 1＋0＋2 1＋ 0＋1 1－1＋2 1＋0＋1 －1＋1 1＋ 1 所以（x3＋x2＋2）÷（x2＋1）的商式為 x＋1，餘式為－x＋1。

求下列各式的商式及餘式 ： (1)（3x2－5）÷（x＋1） 商式為 3x－3 餘式為 －2

(2)（x3＋2x2）÷（x2－1） 商式為 x＋2 餘式為 x＋2

整數的除法中，我們知道「被除數＝除數×商＋餘數」。 例如：37÷7的商為5，餘數為2，則37＝7×5＋2。 由例題13的計算結果，我們檢查看看多項式的除法是不是也具有「被除式＝除式×商式＋餘式」的結果。

（－2x＋1）（2x－5）＋6 ＝－4x2＋10x＋2x－5＋6 ＝－4x2＋12x＋1 即（－2x＋1）（2x－5）＋ 6 ＝－4x2＋12x＋1 除式 × 商式 ＋ 餘式＝ 被除式

17 被除式＝除式×商式＋餘式 已知多項式 A，A 除以 2x－5 得商式為 3x＋6，餘式為 3，求 A。 解 被除式＝除式 × 商式 ＋ 餘式 A ＝（ 2x－5）（ 3x＋6）＋ 3 ＝6x2－3x－27

已知多項式 A，A 除以 x2－3x＋1 得商式為 x＋5，餘式為 2，求 A。 ＝（x3＋5x2－3x2－15x＋x＋5）＋2 ＝x3＋2x2－14x＋7

1.多項式的乘法：利用分配律與乘法公式進行多項式的乘法。 2.多項式的除法：多項式除以多項式時，先做降冪排列，再用直式算法來演算。 3.多項式的乘除法都可用分離係數法來演算，如有缺項通常必須補 0。 4.被除式＝除式×商式＋餘式

1.計算下列各式的結果： (1)（－5x＋3）（－4x） ＝20x2－12x (2)（2x＋1）（3x－8） ＝6x2－16x＋3x－8 1-3 自我評量 1.計算下列各式的結果： (1)（－5x＋3）（－4x） ＝20x2－12x (2)（2x＋1）（3x－8） ＝6x2－16x＋3x－8 ＝6x2－13x－8

(3)（4x＋3）2 ＝16x2＋24x＋9 (4)（2x－5）2 ＝4x2－20x＋25

(5)（5x＋4）（5x－4） ＝25x2－16 (6)（x＋1）（2x－1）－（x－1）2 ＝（2x2－x＋2x－1）－（x2－2x＋1） ＝x2＋3x－2

2.求下列各式的商式及餘式： (1)（6y－4y2＋8y3）÷2y 商式為 4y2－2y＋3 餘式為 0

(2)（x2＋5x＋6）÷（x＋2） 商式為 x＋3 餘式為 0

(3)（16x2－10）÷（4x－1） 商式為 4x＋1 餘式為 －9

3.已知A為一多項式，且A‧（4x－3）＝－20x2＋47x－24，求A。

4.已知 A 為一多項式，且 3x3＋5x2＋x＋10＝（x2＋2x＋1）．A＋11，求 A。 （x2＋2x＋1）．A＝（3x3＋5x2＋x＋10）－11 ＝3x3＋5x2＋x－1 A＝（3x3＋5x2＋x－1）÷（x2＋2x＋1） ＝3x－1

冪的故事 　「冪」原本的字義是「覆蓋器物的布巾」，後來引申為凡是方形的東西都叫「冪」。 　　我國古代的數學典籍《九章算術》卷一＜方田＞中，有一段敘述：「廣從步數相乘得積步。」劉徽注：「此積謂田冪，凡廣從相乘謂之冪。」田表示平面圖形，廣指的是長方形的寬，從指的是長方形的長，步是長度單位，積

步是以平方步表示面積；因此長方形的長與寬相乘的積稱為冪。這是「冪」字第一次出現在數學典籍中。 在本章課文中提到「將計算的結果依降（升）冪排列」，這裡所說的「冪」指的是「同一數自乘若干次」，如2自乘四次，就是2的四次冪。

an 指數 冪 底數